Nature 最新封面：两大数学难题被 AI 突破！DeepMind yyds！

来自量子位

现在，AI 不仅能参与数学研究，甚至还快人一步，开始帮助人类提出数学猜想了。

就在今天，这只由 DeepMind 与顶级数学家合作研发的 AI，登上了最新一期 Nature 封面。

有多顶级呢？这些数学家全部都来自牛津大学、悉尼大学，其中还不乏英国皇家学会史上最年轻的院士。

就是这位，曾在两年内斩获谢瓦莱奖、克雷研究奖等 4 项数学大奖的 Geordie Williamson：

对于这项研究，DeepMind 官方自称其 “首次证明了人工智能可以走在纯数学研究的前沿”。

为什么这次的研究被 Nature 评价为「AI 与人类合作」甚至是「AI 指引人类直觉」，与「人类使用 AI 工具」有何不同？

首先我们要知道，证伪一个猜想相对简单，只需要找出一个反例即可。

但从零开始提出一个全新猜想这种工作，AI 还是首次参与进来。

猜想本身是推动数学发展的一大动力，世界近代三大数学难题都是猜想：费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。

此前提出猜想主要靠少数科学家的洞察力和个人经验积累，比如历史上两位天才，物理学家爱因斯坦和数学家拉马努金。

但随着科学不断发展，需要研究的问题复杂程度逐渐超出人类能力极限。

有的问题涉及的数据规模，是一个人一辈子也研究不完的。

有的研究对象复杂程度之高，甚至可以有几千个维度，超出了一般人类大脑从直觉上可以理解的能力。

除此之外，这次研究也帮忙搞了搞数学领域内存在了 40 年的陈年老题，得到了不小进展。

参与这次研究的数学家之一，牛津大学的 Marc Lackenby 说：

我很震惊机器学习在直觉指引上的作用这么大，也没想到我过去先入为主的一些观念被 AI 给颠覆了。

没有参与这次研究的另一位数学家，以色列特拉维夫大学的 Adam Zsolt Wagner 也很羡慕：

如果没有这个工具，我们数学工作者可能会花上数周至数月的时间，最终发现证明的公式或定理是错误的 。”

那么，AI 这次到底帮助数学家们解决了哪些问题？下面来一探究竟。

AI 发现代数和几何间的联系

第一个问题关于纽结理论（Knot Theory），是拓扑学的一个分支。

用数学语言来讲，纽结是一个圆在三维实欧氏空间中的嵌入。

呃…… 还是看图吧。

假设你有一根绳子，打上一个结。

再把两端粘起来，这就是一个纽结 （Knot）了。

结可以多打几个，比如这样：

或者，这样？

数学家倒是不关心纽结到底是用鞋带还是面包做的，他们最关心一件事：

一个复杂的纽结能不能被还原成简单的纽结，如果能就说明这两种纽结在拓扑上是等价的。

以此为依据给纽结分类，才能理解它们的性质，进一步与实际应用问题建立联系。

纽结理论在现实世界中，可以用来确定一个化学分子是否有手性，还有希望靠拓扑量子计算模型构建出量子计算机。

数学家们从几何特征和代数特征两个角度去研究纽结，分别定义了纽结的几个属性。

但问题难就难在纽结的种类太多，自 19 世纪以来人类已经收集了无数种，如果用上计算机自动生成，现在每天都能生成几十亿种。

普通人难以从海量数据中发现隐藏的模式，AI 这次却做到了。

AI 的贡献是发现了纽结的几何特征和代数特征之间存在直接的关联。

数学家由此发现提出猜想，再给出严格证明，为纽结问题研究开辟了新的方向。

40 年难题终于有望得证

除了解决了扭结问题之外，另一个则与表示论 （Representation theory）相关。

表示论是数学中抽象代数的一支，表示的所有构件都不可约。

而这种不可约表示（Irreducible representations）的结构主要受 Kazhdan-Lusztig（KL）多项式的影响。

组合不变性猜想（Combinatorial Invariance Conjecture）就是与 KL 多项式相关的一个重要猜想。

它指出，对称群 S_N 中两个元素的 KL 多项式可以从它们的无标记 Bruhat 区间，即一个有向图中计算出来：

△Bruhat 区间及其 KL 多项式的例子

这一猜想已经存在了 40 年，却只有部分进展。

两位科学家将这个猜想作为初始假设，通过 AI 中的监督学习模型从 Bruhat 区间预测 KL 多项式。

通过计算与确定的归因技术（Attribution Techniques）相关的代表性子图，并分析这些图与原始图的边缘分布，他们发现了进一步的结构证据：

如下图，KL 多项式可以通过一个公式直接从超立方体和 S_N-1 部分计算出来。

因此，科学家们提出猜想：

一个无标记的 Bruhat 区间的 KL 多项式可以用上述的方法，并通过任何超立方体分解（hypercube decomposition）进行计算。

虽然还没有进行严格证明，但目前他们已能在 300 万个测试例子上验证这一方法。

如果验证成立，那么对称群（Symmetric Group）的组合不变性猜想问题将得到解决。

AI 引导数学家直觉

那么整体来说，数学家们到底是怎么与 AI 合作解决问题的？

或者说 AI 到底是如何帮助引导数学家的直觉的呢？

简单来说，这篇论文中提出了一种框架，用来快速验证对两个量之间关系的猜想（直觉）是否值得继续探索，如果是的话，则指导如何进一步研究。

△框架流程图

具体的，先通过监督学习来验证数学对象中的某一结构 / 模式的假设是存在的。

然后，再使用归因技术来深入理解这些模式。

在这个过程中，AI 能够以人类无法比拟的规模输出数据，并从数据中挑选出人类无法检测到的模式。

这正是 AI 和人类合作与传统的数学研究方法的不同。

其实，数学在很大程度上是一门对关系和模式进行研究的学科。

比如我们小学时就学过的勾股定理，如果将平面上的三角形扩展到八维空间中的 900 边多面体，还能轻易找到 a²+b²=c² 的等价形式吗？

答案是：数学家们可以找到，但他们能做的工作量有限。

因为一个人必须评估许多例子，然后才能确定观察到的公式是普遍通用而非偶然。

当然，这篇论文也并不打算创造一个 “通用的纯数学助手”，而是让 AI 去帮助数学家更有效地发现和识别数学中的新模式。

论文的作者之一，牛津大学的 Juhász 教授表示：

任何可以生成足够大数据集的数学领域都可以使用这种方法，而生物、经济学等领域也将从其中收益。

除了 Nature 论文外，研究人员还在 Arxiv 上发布了数学角度解释两个研究的论文，将来会投到合适的数学期刊。

另外还为两个问题提供了 Colab 代码，让你体验一下与 AI 合作搞科研是什么感觉。

论文链接：
https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1
https://arxiv.org/abs/2111.15323
https://arxiv.org/abs/2111.15161

Colab 地址：
https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/knot_theory.ipynb
https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/representation_theory.ipynb

参考链接：
[1]https://deepmind.com/blog/article/exploring-the-beauty-of-pure-mathematics-in-novel-ways
[2]https://techcrunch.com/2021/12/01/ai-does-pure-mathematics-and-protein-hallucination/
[3]https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1