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数学算法俱乐部

日期：2020年10月02日

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来源：刘建平博客

谱聚类（spectral clustering）是广泛使用的聚类算法，比起传统的K-Means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，聚类效果也很优秀，同时聚类的计算量也小很多，更加难能可贵的是实现起来也不复杂。在处理实际的聚类问题时，个人认为谱聚类是应该首先考虑的几种算法之一。下面我们就对谱聚类的算法原理做一个总结。

1. 谱聚类概述

谱聚类是从图论中演化出来的算法，后来在聚类中得到了广泛的应用。它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以用边连接起来。距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，通过对所有数据点组成的图进行切图，让切图后不同的子图间边权重和尽可能的低，而子图内的边权重和尽可能的高，从而达到聚类的目的。

乍一看，这个算法原理的确简单，但是要完全理解这个算法的话，需要对图论中的无向图，线性代数和矩阵分析都有一定的了解。下面我们就从这些需要的基础知识开始，一步步学习谱聚类。

2. 谱聚类基础之一：无向权重图

由于谱聚类是基于图论的，因此我们首先温习下图的概念。对于一个图GG，我们一般用点的集合V和边的集合E来描述。即为G(V,E)。其中V即为我们数据集里面所有的点(v1,v2,...vn)。对于V中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。我们定义权重wij为点vi和点vj之间的权重。由于我们是无向图，所以wij=wji。

对于有边连接的两个点vi和vj，wij>0,对于没有边连接的两个点vivi和vj，wij=0。对于图中的任意一个点vi，它的度定义为和它相连的所有边的权重之和，即

利用每个点度的定义，我们可以得到一个nxn的度矩阵D,它是一个对角矩阵，只有主对角线有值，对应第i行的第i个点的度数，定义如下：

利用所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵W，它也是一个nxn的矩阵，第i行的第j个值对应我们的权重wij。

除此之外，对于点集V的的一个子集A⊂V，我们定义：

3. 谱聚类基础之二：相似矩阵

在上一节我们讲到了邻接矩阵W，它是由任意两点之间的权重值wij组成的矩阵。通常我们可以自己输入权重，但是在谱聚类中，我们只有数据点的定义，并没有直接给出这个邻接矩阵，那么怎么得到这个邻接矩阵呢？

基本思想是，距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，不过这仅仅是定性，我们需要定量的权重值。一般来说，我们可以通过样本点距离度量的相似矩阵S来获得邻接矩阵W。

构建邻接矩阵W的方法有三类。ϵ-邻近法，K邻近法和全连接法。

对于ϵ-邻近法，它设置了一个距离阈值ϵϵ，然后用欧式距离sijsij度量任意两点xi和xj的距离。即相似矩阵的, 然后根据sij和ϵ的大小关系，来定义邻接矩阵W如下：

从上式可见，两点间的权重要不就是ϵ,要不就是0，没有其他的信息了。距离远近度量很不精确，因此在实际应用中，我们很少使用ϵ-邻近法。

第二种定义邻接矩阵W的方法是K邻近法，利用KNN算法遍历所有的样本点，取每个样本最近的k个点作为近邻，只有和样本距离最近的k个点之间的wij>0。但是这种方法会造成重构之后的邻接矩阵W非对称，我们后面的算法需要对称邻接矩阵。为了解决这种问题，一般采取下面两种方法之一：

第一种K邻近法是只要一个点在另一个点的K近邻中，则保留sij

第二种K邻近法是必须两个点互为K近邻中，才能保留sij

第三种定义邻接矩阵W的方法是全连接法，相比前两种方法，第三种方法所有的点之间的权重值都大于0，因此称之为全连接法。可以选择不同的核函数来定义边权重，常用的有多项式核函数，高斯核函数和Sigmoid核函数。最常用的是高斯核函数RBF，此时相似矩阵和邻接矩阵相同：

在实际的应用中，使用第三种全连接法来建立邻接矩阵是最普遍的，而在全连接法中使用高斯径向核RBF是最普遍的。

4. 谱聚类基础之三：拉普拉斯矩阵

单独把拉普拉斯矩阵(Graph Laplacians)拿出来介绍是因为后面的算法和这个矩阵的性质息息相关。它的定义很简单，拉普拉斯矩阵L=D−WL=D−W。DD即为我们第二节讲的度矩阵，它是一个对角矩阵。而WW即为我们第二节讲的邻接矩阵，它可以由我们第三节的方法构建出。

拉普拉斯矩阵有一些很好的性质如下：

1）拉普拉斯矩阵是对称矩阵，这可以由DD和WW都是对称矩阵而得。

2）由于拉普拉斯矩阵是对称矩阵，则它的所有的特征值都是实数。

3）对于任意的向量ff,我们有

这个利用拉普拉斯矩阵的定义很容易得到如下：

4) 拉普拉斯矩阵是半正定的，且对应的n个实数特征值都大于等于0，即0=λ1≤λ2≤...≤λn，且最小的特征值为0，这个由性质3很容易得出。

5. 谱聚类基础之四：无向图切图

对于无向图GG的切图，我们的目标是将图G(V,E)G(V,E)切成相互没有连接的k个子图，每个子图点的集合为：A1,A2,..Ak ,它们满足Ai∩Aj=∅,且A1∪A2∪...∪Ak=V.

对于任意两个子图点的集合A,B⊂V, A∩B=∅, 我们定义A和B之间的切图权重为：

那么对于我们k个子图点的集合：A1,A2,..Ak，我们定义切图cut为：

其中为Ai的补集，意为除Ai子集外其他V的子集的并集。

那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢？一个自然的想法就是最小化cut(A1,A2,...Ak), 但是可以发现，这种极小化的切图存在问题，如下图：

我们选择一个权重最小的边缘的点，比如C和H之间进行cut，这样可以最小化cut(A1,A2,...Ak), 但是却不是最优的切图，如何避免这种切图，并且找到类似图中"Best Cut"这样的最优切图呢？我们下一节就来看看谱聚类使用的切图方法。

6. 谱聚类之切图聚类

为了避免最小切图导致的切图效果不佳，我们需要对每个子图的规模做出限定，一般来说，有两种切图方式，第一种是RatioCut，第二种是Ncut。下面我们分别加以介绍。

6.1 RatioCut切图

RatioCut切图为了避免第五节的最小切图，对每个切图，不光考虑最小化cut(A1,A2,...Ak)，它还同时考虑最大化每个子图点的个数，即：

那么怎么最小化这个RatioCut函数呢？牛人们发现，RatioCut函数可以通过如下方式表示。

我们引入指示向量hj∈{h1,h2,..hk}j=1,2,...k,对于任意一个向量hj, 它是一个n维向量（n为样本数），我们定义hij为：

那么我们对于,有：

上述第（1）式用了上面第四节的拉普拉斯矩阵的性质3. 第二式用到了指示向量的定义。可以看出，对于某一个子图i，它的RatioCut对应于,那么我们的k个子图呢？对应的RatioCut函数表达式为：

其中tr(HTLH)为矩阵的迹。也就是说，我们的RatioCut切图，实际上就是最小化我们的tr(HTLH)。注意到HTH=I,则我们的切图优化目标为:

注意到我们H矩阵里面的每一个指示向量都是n维的，向量中每个变量的取值为0或者，就有2^n种取值，有k个子图的话就有k个指示向量，共有k2^n种H，因此找到满足上面优化目标的H是一个NP难的问题。那么是不是就没有办法了呢？

注意观察tr(HTLH)中每一个优化子目标,其中h是单位正交基， L为对称矩阵，此时的最大值为L的最大特征值，最小值是L的最小特征值。如果你对主成分分析PCA很熟悉的话，这里很好理解。在PCA中，我们的目标是找到协方差矩阵（对应此处的拉普拉斯矩阵L）的最大的特征值，而在我们的谱聚类中，我们的目标是找到目标的最小的特征值，得到对应的特征向量，此时对应二分切图效果最佳。也就是说，我们这里要用到维度规约的思想来近似去解决这个NP难的问题。