细讲傅立叶变换

数学算法俱乐部

日期：2020年08月31日

正文共：1679字12图

预计阅读时间：5分钟

作者：赵一帆

【注】：阅读该文章之前，建议先阅读笔者的前几篇文章：指数函数和自然对数、揭秘自然对数（ln）、从群论角度理解欧拉公式。

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个人看来，傅里叶变换是最深刻的见解之一。不幸的是，这个意义被隐藏在晦涩难懂的无穷级数中：

与其直接理解这些复杂的符号，不如让我们从生活出发，直观地理解它。

平时做饭的时候，比如做一个蛋炒饭，需要蛋，需要饭，还需要盐巴等等，而通过某种方式将这些混合起来，就变成了蛋炒饭。

如果是从业多年的厨师，你给他个蛋炒饭，他能告诉你，这蛋炒饭由哪些原料烹饪而成。而傅里叶也具备这样的能力。

当你给它一个信号（或函数）,傅里叶变换能采用基于时间的模式，测量该信号（或函数）的每一个可能周期，告诉你组成该信号（或函数）的循环周期的振幅、偏移量和旋转速度等“原料”。

傅里叶变换给予我们一种新思维，让我们从思考“这是什么”转变为思考“这是如何产生的”。

那么，傅里叶变换是如何找到各个周期函数的“原料”的呢？这就是接下来要讨论的问题了。

假设我们有很多过滤网，上面的孔径大小不同，将蛋炒饭往过滤网上一倒

第一个，网孔最大的过滤网把蛋过滤了出来

第二个，网孔适中的过滤网把饭过滤了出来

第三个，网孔较小的过滤网把盐巴过滤了出来

………………

通过无数孔径不一的过滤网，不同“原料”被过滤出来，而这些过滤网统称为“过滤器(filter)”。

傅里叶是这么说的：“任何信号（或函数）都可以转换成无穷多个周期函数的和。”

【题外话】：笔者最喜欢的两个数学家分别是“泰勒”和“傅里叶”，他们的两个定理貌似揭示了世界的真理。

泰勒说：“任何函数都可以转换成无穷多个幂函数的和。”

“泰勒的这句话，给后来计算机的发展带来了巨大贡献，举个例子，计算机并没办法计算类似于sin、cos这样的函数，只能通过将他们转换为各个幂函数的和来实现。”

傅里叶说：“任何信号（或函数）都可以转换成无穷多个周期函数的和。”这句话的涵义，我们后面会慢慢细讲。

傅里叶变换用滤波器把一个基于时间的信号（或函数）的每个“圆形原料”分解出来。

【注】：所谓“圆形原料”，思考一下，我们高中所学的圆周运动，它是否就包含了一定的循环周期、振幅、偏移量和旋转速度等“原料”？所以这里用“圆形原料”指代这些“原料”。

如果地震波可被分解，找出不同的振幅和速度，那么我们可以针对地震的特定振幅和速度设计对应的抗震建筑物。

如果声波可被分解成低音和高音，我们就可以放大我们关心的部分，缩小我们不关心的部分。

    "比如你喜欢小提琴，那便可以提高高音部分，隐去低音部分。

    如果你喜欢低音贝斯，那么你就可以提高低音部分，隐去高音部分。"

如果计算机数据可以用震荡波形表示，且其中包含可忽略的数据，那么就可以用傅里叶变换滤去不重要的数据。这在数据科学中被叫为“数据滤波器”。

如果是收音机的无线电波，那么我们就可以收听到特定频率的广播。

傅里叶变换在工程中的应用是十分广泛的，以上举例的只是小小一部分，希望能助于你们理解傅里叶变换背后的根源。

我们重新看看刚刚的公式

相当于单位向量绕着原点旋转角

由此我们可以推出就是单位向量绕着原点旋转一周

不难看出，傅里叶变换公式可以这么理解：

就是长度为的向量绕着原点旋转 圈

把这些不同单位向量的旋转叠加起来就是原信号（或原函数）

那么将原信号分解为多个圆相加是什么意思呢？

我们这么看，首先我们建立一个X轴和Y轴，并且再建立一个轴。

一个小球以轴为圆心，绿线为半径进行旋转，并且边旋转边上升。

接下来我们对坐标进行一个旋转，从另外一个角度来看看这个旋转过程

我们似乎发现了什么，我们对坐标继续的进行旋转，没错这就是我们的函数

而从坐标系上方往下看是这样子的

他是由一个一个的圆形组成的，而傅里叶变换就是将不同种类的圆形分解出来。

现在我们在加上一个红色的圆

同样的，让他们一起旋转起来

换个角度来看，这就是

 

这里有一种动图，大家可以更好的理解这个过程。

所以，我们很直观的发现，傅里叶变换其实就是一个找圆的过程，将不同的信号（或函数）分解成不同的圆形，当他们叠加起来就又变回我们原有的信号（或函数）。

— THE END —

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