详解Batch Normalization及其反向传播

1. Internal Covariate Shift

统计学习中的一个很重要的假设就是输入的分布是相对稳定的。如果这个假设不满足，则模型的收敛会很慢，甚至无法收敛。所以，对于一般的统计学习问题，在训练前将数据进行归一化或者白化（whitening）是一个很常用的trick。

但这个问题在深度神经网络中变得更加难以解决。在神经网络中，网络是分层的，可以把每一层视为一个单独的分类器，将一个网络看成分类器的串联。这就意味着，在训练过程中，随着某一层分类器的参数的改变，其输出的分布也会改变，这就导致下一层的输入的分布不稳定。分类器需要不断适应新的分布，这就使得模型难以收敛。

对数据的预处理可以解决第一层的输入分布问题，而对于隐藏层的问题无能为力，这个问题就是Internal Covariate Shift。而Batch Normalization其实主要就是在解决这个问题。

除此之外，一般的神经网络的梯度大小往往会与参数的大小相关（仿射变换），且随着训练的过程，会产生较大的波动,这就导致学习率不宜设置的太大。Batch Normalization使得梯度大小相对固定，一定程度上允许我们使用更高的学习率。

2. Batch Normalization

Batch Normalization的过程很简单。我们假定我们的输入是一个大小为 的mini-batch ，通过下面的四个式子计算得到的 就是Batch Normalization(BN)的值。

首先，由(2.1)和(2.2)得到mini-batch的均值和方差，之后进行(2.3)的归一化操作，在分母加上一个小的常数是为了避免出现除0操作。最后的(2.4)再对 进行一次线性变换得到BN的结果。整个过程中，只有最后的(2.4)引入了额外参数γ和β，他们的size都为特征长度，与 相同。

BN层通常添加在隐藏层的激活函数之前，线性变换之后。如果我们把(2.4)和之后的激活函数放在一起看，可以将他们视为一层完整的神经网络（线性+激活）。（注意BN的线性变换和一般隐藏层的线性变换仍有区别，前者是element-wise的，后者是矩阵乘法。）

此时， 可以视为这一层网络的输入，而 是拥有固定均值和方差的。这就解决了Covariate Shift.

另外， 还具有保证数据表达能力的作用。 在normalization的过程中，不可避免的会改变自身的分布，而这会导致学习到的特征的表达能力有一定程度的丢失。通过引入参数γ和β，极端情况下，网络可以将γ和β训练为原分布的标准差和均值来恢复数据的原始分布。这样保证了引入BN，不会使效果更差。

在训练过程中，还需要维护一个移动平均的均值和方差，这两个移动平均会用于推断过程。

3. 反向传播

再来用反向传播求梯度。我们先画出BN的计算图，由于节点的文本不支持Tex，其中x_即为 。

Batch Normalization的计算图

假定损失函数为L，已知L相对于 的偏导 ，求 ， ， 。

前两个比较直观，求 需要用到 ，也很简单，这里直接列出。

从计算图和(2.3)中可以看出，要求 ，要分成 ， ， 三部分来求。

我们还需要求 。

(3.6)可以由式(2.1)直接得到，(3.7)是运用链式法则的结果。

算 还需要 。

(3.8)可以由式(2.2)直接得到。

最后我们还需要方差的导数。

至此，(3.4)所需要的偏导都已求出，组合起来，我们得到最终的式子。

这个式子仍然具有进一步化简的空间。在展开之后，由式(2.3)，通过拼凑，可以将 和 凑成 _。_再提取公因式 ，可以将式(3.10)化简成：

4. 实现

参考cs231n的assignment2，我们将Batch Normalization分成正向（只包括训练）和反向两个过程。

正向过程的参数x是一个mini-batch的数据，gamma和beta是BN层的参数，bn_param是一个字典，包括 的取值和用于inference的 和 的移动平均值，最后返回BN层的输出y，会在反向过程中用到的中间变量cache，以及更新后的移动平均。

反向过程的参数是来自上一层的误差信号dout，以及正向过程中存储的中间变量cache，最后返回 ， ， 的偏导数。

实现与推导的不同在于，实现是对整个batch的操作。

import numpy as np
def batchnorm_forward(x, gamma, beta, bn_param):    # read some useful parameter    N, D = x.shape    eps = bn_param.get('eps', 1e-5)    momentum = bn_param.get('momentum', 0.9)    running_mean = bn_param.get('running_mean', np.zeros(D, dtype=x.dtype))    running_var = bn_param.get('running_var', np.zeros(D, dtype=x.dtype))
    # BN forward pass    sample_mean = x.mean(axis=0)    sample_var = x.var(axis=0)    x_ = (x - sample_mean) / np.sqrt(sample_var + eps)    out = gamma * x_ + beta
    # update moving average    running_mean = momentum * running_mean + (1-momentum) * sample_mean    running_var = momentum * running_var + (1-momentum) * sample_var    bn_param['running_mean'] = running_mean    bn_param['running_var'] = running_var
    # storage variables for backward pass    cache = (x_, gamma, x - sample_mean, sample_var + eps)
    return out, cache

def batchnorm_backward(dout, cache):    # extract variables    N, D = dout.shape    x_, gamma, x_minus_mean, var_plus_eps = cache
    # calculate gradients    dgamma = np.sum(x_ * dout, axis=0)    dbeta = np.sum(dout, axis=0)
    dx_ = np.matmul(np.ones((N,1)), gamma.reshape((1, -1))) * dout    dx = N * dx_ - np.sum(dx_, axis=0) - x_ * np.sum(dx_ * x_, axis=0)    dx *= (1.0/N) / np.sqrt(var_plus_eps)
    return dx, dgamma, dbeta

参考文献

1. Batch Normalization: Accelerating Deep Network Training by Reducing Internal Covariate Shift
2. Deriving the Gradient for the Backward Pass of Batch Normalization
3. CS231n Convolutional Neural Networks for Visual Recognition