如何进行算法的复杂度分析?

你好，我是彤哥，一个每天爬二十六层楼还不忘读源码的硬核男人。

大家都知道，数据结构与算法解决的主要问题就是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快， 如何让代码更节省存储空间。

所以，“快”和“省”是衡量一个算法非常重要的两项指标，也就是我们经常听到的时间复杂度和空间复杂度分析。

那么，为什么需要复杂度分析呢？复杂度分析的方法论是什么呢？

这就是我们本节要解决的问题。

好了，进入今天的学习吧。

首先，我们来思考一个问题：对于两个算法，我们如何评判谁运行得更快，谁运行时更节省内存？

你可能会说，这还不简单，把这两个算法运行一遍，统计下运行时间和占用内存不就可以了吗？

没错，这确实是一种不错的方法，而且它还有个非常形象的名字：事后统计法。

但是，这种统计方法具有非常明显的问题：

1. 不同的输入对结果影响很大

   对于一些输入，可能算法A执行得更快；对于另外一些输入，可能算法B执行得更快。比如，我们后面要学习的排序算法，输入的有序性对于不同的排序算法的影响是完全不同的。

2. 不同的机器对结果影响很大

   对于同样的输入，可能在一台机器上算法A更快，而在另外一台机器上算法B更快。比如，算法A可以利用多核而算法B不能，那么CPU的核数对这两个算法的影响将截然不同。

3. 数据规模对结果影响很大

   当数据规模小时，可能算法A更快，而数据规模变大时，可能算法B更快。比如，我们后面要学习的排序算法，当数据规模比较小时，插入排序反而比归并排序更快。

所以，我们需要一种可以不用实际运行算法，就可以估计算法执行效率的方法。

这也就是我们所说的复杂度分析。

那么，怎么进行复杂度分析呢？有没有什么方法论呢？

还真有，这个方法论叫做渐近分析法。

渐近分析法，是指将算法执行的效率与输入的规模进行挂钩，随着输入规模的增大，算法执行所需要的时间（或空间）将呈现一种什么样的趋势，这种趋势就叫作渐近，而这种方法就叫作渐近分析法。

概念可能比较拗口，我举个简单的例子，对于给定的一个有序数组，我要查找其中某个值所在的位置，比如，查找8这个元素，有哪些方法呢？

简单暴力点的方法，从头遍历，查找到该元素即返回。

更友好一点的方法，采用二分法，每次定位到数据的中间位置，看其值与目标值的大小，判断是在左边还是右边继续以二分的方式查找。

上面我们举的例子的输入规模是8个元素的有序数组，目标值为8，使用第二种方法明显比第一种方法要快很多。

但是，如果查找的目标是1呢？

对于第一种方法，查找一次足矣。

对于第二种方法，需要查找3次。

此时，第二种方法又次于第一种方法了。

所以，比较两个算法的执行效率，不能只考虑到个别元素，而应该顾及到所有元素的感受。

我们以数学的方法来统计两种方法的平均执行效率，假设输入规模扩展到n。

对于第一种方法，1号元素查找一次，2号元素查找两次，3号元素查找三次……，而查找每个元素的概率都是1/n。

所以，它的执行效率为：1x1/n + 2x1/n + 3x1/n + ... nx1/n = nx(n+1)/2/n = (n+1)/2。

对于第二种方法，中间的元素有一个，查找一次，次中间的元素有两个，查找两次，次次中间的元素有四个，查找三次...，每次查找的规模都缩小一半，而查找每个元素的概率都是1/n。

所以，它的执行效率为：1x1x1/n + 2x2x1/n + 4x3x1/n + ... + 2^(log2(n)-2) x (log2(n)-1) x 1/n+ 2^(log2(n)-1) x log2(n) x 1/n = ?

我了个去，这个结果等于多少？

是时候展现真正的实力了：

你可能要骂娘了，对于我一个小学毕业的，难道我没办法学习数据结构与算法了？

No，No，No，肯定不能这么玩，那么，应该怎么玩呢？我们下一节接着讲。

本节，我们从算法执行效率方面阐述了为什么需要复杂度分析，并介绍了复杂度分析的方法，即渐近分析法，如果严格地遵循渐近分析法，需要大量的数学知识，这无疑增加了我们分析算法的难度，那么，有没有什么更省心地计算复杂度的方法呢？