取石子游戏，程序员用博弈论教你如何必胜
1.游戏规则
有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子(至少取1个)。
每次有两种不同的取法，规则如下：
1.一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；
2.二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。
最后把石子全部取完者为胜者，假设双方都采取最好的策略，给定初始数量，你是否有必胜的把握？
2.分析
为方便描述，设
表示两堆石子数量分别为
，且你先取。
1.
表示必胜
2.
表示必败
3.石堆没有顺序优先级，所以
2.1首先分析3种特殊情况
1.两堆石子数量一样，两堆都取
个，必胜，得
2.只有一堆石子，一堆取
个，必胜，得
3.石子数量为
，只能取(1,0),(2,0),(1,1)，剩下石子为(1,1),(0,1),(1,0)对方都能胜，所以必败，得
，称此为奇异局势(必败局势)。
2.2列出前面的几种情况如下：
可以得到如下规律：
-
奇异局势有，必败 -
蓝色为先取的数量，一次就可以将状态转为奇异局势，必胜 -
都可以转为 ，必胜 -
都可以转为 ，必胜 -
可以转化为 的奇异局势，而且 也可以转化为
即奇异局势为，且
结论：如果两个人都采取最优策略，面对非奇异局势，先拿必胜；面对奇异局势，后拿必胜。
3.理论推广
这个其实是经典的威佐夫博弈问题，但首先我们先介绍另一个定理，贝蒂定理。
3.1贝蒂定理
设
是正无理数，且
。
记，(
为取整函数)。
则
是
的一个划分，
。
证明如下
1.任一个整数至多在集合P或Q中出现一次。
，对于不同整数 各不相同。
2. (反证法)
假设
，则存在正整数
使得
，
即
，
，
两式相加得
，与
为整数矛盾。
3. (反证法)
假设
， 则存在正整数
使得，
由此得
(因为a是无理数)，
类似有
，
两式相加得
，与
为整数矛盾。
3.2回归威佐夫问题
设奇异局势构成的序列组为
，
即为通项公式，可以看出
是一个贝蒂序列。
设
，
因为，即
。
代入
，得
。
即
。
而
。
3.3如何快速判断
给定一个局势
，得
，
如果
，则是奇异局势，否则不是。
3.4例题
poj1067：http://poj.org/problem?id=1067
3.5代码实现
const double q = (1 + sqrt(5.0)) / 2.0;
bool isWythoff(int a, int b) {
int t;
if (a > b) t = a, a = b, b = t;
return (int) ((b - a) * q) == a;
}
扫描下方二维码关注公众号，第一时间获取更新信息！