前言

机器学习｜数学基础｜线性代数

Mathematics for Machine Learning

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5.7 正定二次型

二次型的标准型不是惟一的，只是标准形中所含的项数是确定的（即二次型的秩）

定理9：惯性定理

设有二次型，它的秩为，有两个可逆变换

使

和

则中正数的个数与中正数的个数相等

二次型的标准型中「正系数」的个数称为二次型的「正惯性系数」，负系数的个数称为「负惯性系数」

若二次型的正惯性系数指数为，秩为，则的规范形可确定为

定义10

设有二次型

• 如果对任何，都有，则称为「正定二次型」，并称对称阵A是正定的
• 如果对任何，都有，则称为「负定二次型」，并称对称阵是负定的

定理10

元二次型为正定的充分必要条件是：它的标准型的个系数「全为正」，即它的规范形的个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于

推论

对称阵为正定的充分必要条件是：的特征值「全为正」

定理11：赫尔维茨定理

对称阵为「正定」的充分必要条件是：A的「各阶主子式」都为正，即

对称正为「负定」的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即

举例

例17

判定二次型的正定性

「解答：」

二次型的矩阵为

一阶主子式

二阶主子式

三阶主子式

发现一阶、三阶都为负，二阶为正

根据定理11：赫尔维茨定理，得到

是负定二次型

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

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