【算法】1041- 图解 LeetCode第 70 题爬楼梯问题-轻识

最近开始努力研究算法，遇到这个很有意思的题目，因为从中复习到斐波那契数列，又通过某篇资料，查到中科院官网，看了很多科普文章。深挖下去能看到很多东西。

本着热爱分享的初衷，整理本文与大家分享，题目本身没啥难度，欢迎一起交流，算法大佬求不喷，多谢。

进入主题。

本题为 LeetCode第70题爬楼梯，题目如下：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

「大家可以先想想」。

流程分析

本题中，可以每次可以走 1 级，也可以一次走 2 级，因此我们会有 3 种走法：

全程任意走，如全部 1 级走；
前面任意走，最后一步只走 1 级；
前面任意走，最后一步只走 2 级；

我画了几张图方便大家理解，如下：

第一种走法就不做详细介绍。

第二种走法，倒数第二步的走法如下，有 1 步和 2 步两种方式：

第三种走法，倒数第二步的走法如下，也有 1 步和 2 步两种方式：

上面这个过程描述的是，从最后一层开始往下的每一层的走法。

在最后一步时，有 1 步和 2 步两种方式，可以理解为只能 1 步或者 2 步到达最后一层。

当最后一步为 1 步时，即从 n-1 层开始；
当最后一步为 2 步时，即从 n-2 层开始；

再理解一下这个过程，就是第 n 层的走法数量是第 n-1 层和第 n-2 层走法数量之和。

如果还不太理解，可以再看看前面的图。

归纳法分析

当然，遇事不决，归纳法走起，我们可以列举几种情况进行分析：

台阶层数	走法数量	走法
「1」	1	1
「2」	2	11、2
「3」	3	111、12、21
「4」	5	1111、112、121、211、22
「5」	8	11111、1112、1121、1211、2111、221、212、122
「...」	...	...

可以发现有个简单的规律，当台阶层数为 n 层，它的走法数量就有 n-1 层的走法数量加上 n-2 层的走法数量。

记做：f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

第 1 层固定 1 种走法；第 2 层固定 2 种走法；... 第 5 层走法的数量等于第 4 层加上第 5 层走法数量。

理解清楚整个流程规律以后，我们就可以编码就简单多了：

解法1：循环累加计算

通过简单的循环累加就能得到结果：

const climbStairs = (n = 1) => {
    if(n <= 2) return n;
    let res = 0, n1 = 1, n2 = 2; // n1 表示前 2 项，n2 表示前 1 项
    for(let i = 3; i<= n; i++){  // 前两项值固定，因此从第 3 项开始循环
        res = n1 + n2;
        n1 = n2;
        n2 = res;
    }
    return res;
}

测试下第 6 层的走法数量：

climbStairs(6); // 13

解法2：递归计算

按照 f(n)=f(n-1)+f(n-2)，这个方法更加简单：

const climbStairs = (n = 1) => {
    if(n <= 2) return n;
    return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
}

测试下第 6 层的走法数量：

climbStairs(6); // 13

这个方法比较简洁易懂，但递归比较费时，容易出现 LeetCode 超出时间限制的提示。

解法3：利用数组特性

利用 f(n)=f(n-1)+f(n-2) 这个规律，先预设好前 2 项，再开始循环，最后返回数组最后一项即可：

const climbStairs = n => {
    let result = [1,2];
    for (let i = 2; i < n; i++) {
        result.push(result[i-1] + result[i-2]);
    }
    return result[n-1];
};

解法4：利用 JavaScript ES6 新特性

利用数组结构赋值操作：[a, b] = [c, d]：

const climbStairs = n => {
    let a = b = 1;
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        [a, b] = [b, a + b];
    }
    return a;
};

当然，大家还有其他解法，欢迎一起讨论~

拓展知识：每次可以走 1 步、2 步、3 步

这里多增加了一次可以走 3 步，这时候最后一步会有以下情况：

当最后一步为 1 步时，即从 n-1 层开始；
当最后一步为 2 步时，即从 n-2 层开始；
当最后一步为 3 步时，即从 n-3 层开始；

改造一下前面解法，还是一样：

const climbStairs = (n = 1) => {
    if(n <= 2) return n;
   if(n == 3) return 4;
    return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2) + climbStairs(n-3);
}