几何与物理

数学算法俱乐部

日期：2020年09月06日

正文共：4188字1图

预计阅读时间：11分钟

来源：《吉林师大学报》

编者注：本文是Atiyah1978年在日本数学会创立100周年纪念会上的演讲，刊登于《吉林师大学报》自然科学版1979年第2期，译者王家彦。

30年多后的2010年， Atiyah 与 Dijkgraaf 以及 Hitchin 合作，发表了一篇同一主题的综述，有兴趣的读者可见 geometry and physics，Phil. Trans. R. Soc. A 2010 368。

>>>> 

首先说明我报告的性质。借庆祝日本数学、物理学会创立一百年的今天, 我想这正是回顾数学在这一百多年间的进展以及展望将来的很好机会。我之所以把“ 几何学” 列为报告题目是因为它是我的专长, 也是我最关心的学科, 当然是在较广泛的意义下来论述它的。我还选择“ 物理学” 作为题目, 因为在当时没了解到今天有这么多物理学家在座听讲, 我想我关于“ 物理学” 的讲述一定会是很整脚的。但是数学与物理学在一百年前几乎是不可分割的。虽然由于后来科学各部门的专业化而使两者分离开来, 但是还保留着紧密的联系, 在现在又可重新看到有象过去那样逐渐接近的发展趋势。这就是把“ 物理学” 也列入报告题目的理由。

从作为近代数学的出发点的欧几里得以来经过几个世纪, 都确信几何学是研究物理空间的, 这种看法在1828年鲍约、罗巴切夫斯基以及高斯的非欧几何被发现之后已经站不住脚了。这在数学史上是值得大书特书的。此后，几何学成为与物理空间完全独立的概念, 而剩下的问题则是到底存在哪些种类的几何学的问题了。到十九世纪末, 所确立的主票思想方法是由F. Klein 如所提出的“ 几何学是对于对称的研究” 。即在空间中作用的“ 对称群= 变换群” 决定着几何学, 换句话说, 几何学就是研究在这个对称群下的不变性质的学科, 描述所有可能的几何学与确定所有的对称群是等价的。引进连续概念的S. Lie的工作，也与这种思想方法有关而起着重要的作用。在近代物理学中也是这样, Einstein, Weyl 以及现在的M. Gellman等的工作, 以空间的旋转群, 洛伦兹群的作用中可以看出对称群是非常重要的。现在, 比对称群的概念为基础的Klein思想更具有普遍的、划时代意义的思想，是由十九世纪中叶的Riemann所提出的。

Riemann舍弃了Klein关于群的思想,引入了在各点都不均质的最一般的空间几何学, 即今天所谓的微分几何学。Riemann的这种几何学, 如所周知, 后来被Einstein 应用于广义相对论。但到这里还没说完, 物理学家们迫切感到除时间、空间变量以外，还须引进更多的变量。例如他们所说的内部变量就是如此。如果把它们用数学来描述, 就只能用纤维丛的思想方法来描述。即纤维丛包含着内部变量, 而时空世界起着底空间的作用。

在微分几何学中，这个纤维丛的概念的形成是二十世纪初叶, 以E.Cartan 的工作为先驱。他的贡献是把Klein和Riemann的思想统一起来, 大概说来, 就是Cartan以Klein作为纤维、以Riemann作为底空间。

这个图表示Riemann 与 Klein 两者的作用。亦即, 把前者空间的概念一般化, 而对后者把它的对称群加以严格的限制。若对数学中的纤维丛的理论和物理学中与之相对的规范理论进一步加以阐述的话, 这些理论的基本想法是平行移动的概念。即对于连结空间( 底空间两点的曲线, 第一点的内部变量( =纤维方向的变量) 给出了第二点和它相连接的规则。现在我们把这个平行移动的概念限制在— .无穷小范围内来考虑, 则可得到数学中的联络以及物理学中的向量势的概念。又, 如果在空间内给出闭曲线时, 沿这条曲线平行移动引起在一点上的内部变量的变换, 一般地不是恒等变换, 这样如果把恒等变换扩张, 则在数学中可用曲率, 在物理学中可用场强予以描述。上述考察的重要之点不是把空间变量和内部变量完全独立开来, 而是考虑它们之间的相互作用。在物理学中引进这种几何学观点, 是从 H. Weyl 于1918年进行Maxwell方程的研究开始的。虽然Weyl的思想远远超越他所处的时代, 但是他对物理学的解释是不正确的。尽管如此, 规范 理论的研究还是从Weyl 的工作开始的。这种想法后来在

1954年由杨振宁和米尔斯 甚至把非可换群( 例如 SU(2) ) 推广为结构群所容许的形式。直到现在，Yang-Mills 理论还是作为理论物理学的一个主要最活跃的研究课题。

为了使Riemann空间概念一般化, 创始了作为现代几何学的一个重要分科的拓扑学。它与Klein所考虑的各点均质的空间不同, 在一般化的Riemann空间里, 不能把它的局部性质推广到大范围的性质。拓扑学为理解大范围性质提供了新的手段。但是Riemann所考虑的拓扑不是与他的几何学直接相关联, 而是与复变函数论有关。即, 例如他研究多项式的平方根那样函数的大范围性质的最佳方法, 即现在通常所说的引入Riemann面才能得到的方法。又因Poincare 以研究微分方程的大范围理论相关联的概念作为拓扑学的起源。从Riemann的例子中, 函数所具有的奇点从引入的Riemann面的新观点中去掉而代之以具有复杂结构的空间二出现的Riemann面。从这个简单的例子足以揭示出对奇点赋以拓扑关系的一般原理。又以Riemann几何学为基础的Einstein理论, 对当时的微分几何给以很大刺激。而近代的几何学家则把大范围的几何学的发展反映到物理学上, 开始了对Einstein方程的解的大范围的研究。例如, 霍金与彭罗斯指出Einstein方程解的奇点( 例如黑洞) 不是偶然的产物, 从大范围的观点来看, 它可以极自然地用数学和物理学的假说来说明。这样在大尺度的物理学中, 拓扑学等大范围几何学的作用就易于被理解。最近, 又了解到它在反常 现象研究上也起作用。例如, 儿个粒子存在于某很狭窄的领域中, 它的外部暂定呈单纯的自由场状态。作为描述这种状态的数学方法, 尽管是掌握具有什么样的奇点的方法, 但在描述这个系统的内部变数的空间时, 可以考虑具有某种挠曲的空间。实际上理论物理学家们, 站在后者的立场上, 由对局部拓扑的考查, 给描述反常现象的规范理论中的某整数不变量下了定义, 称之为拓扑量子数。当然, 在近代量子论中, 把连续的现象用离散量来描术的强而有力的方法作为基础, 对数学各个分支中的诸连续元由离散量分类表现的理论, 例如依赖于连续势的微分方程的特征值以及紧致群的表现理论, 在量子论中都起着重要作用, 但是拓扑的量子数在数学中是纤维的全空间中的挠曲的量化, 迄今为止, 都是用性质完全不同的新方法求得的。

现在暂且放下物理学, 再回到几何学上来。如前所述, Riemann和Poincare奠定了拓扑学的基础, 他们的动机是基于解析学 ( 复变函数论和微分方程理论) 的要求, 从而自然地形成在解析问题方面, 把注意力集中到大范围拓扑作用的研究上。解析学与拓扑学相结合的设想是1930 一1960 的一个主要论题。在这方面, 最早的主要成果是在1930年代由Hodge作出的。他研究Riemann流形的拓扑与Laplace算子间的大范围关系, 并且得出许多重要的定理。这个工作为后来的小平和Weyl所继承。这个时期中的另一个方向是由小平, 岗洁 ,H.Cartan创始的多变数的复解析学。这方面的研究在1940一1950 年代是非常活跃的, 但它的一个最重要结果是确定了层上同调的新手法。层上同调可以说是同调以及循环的拓扑概念与复变函数论相结合而产生的混合理论。现在在这里仅就作为近代数学的两个主要部门的微分儿何与复数解析稍加叙述。在前者中最基本的是它所考虑的空间是非齐性的，因此用曲率来描述它的程度, 而曲率用张量分析来计算。另一方面, 后者所考虑的空间的各点都是同样的, 但是它与Klein所考虑的大范围的 齐性空间不同, 它一般不存在对称群。从而在对这种空间的研究中, 对把大范围的现象与局部理论之间的关联的方法方面大有开展研究的必要。而前面提出的层上同调就是具有这种效用的。

在这个报告的最后, 想举出与我到现在所说过的问题有关的一些例子, 这些例子仅是从我有限的经验中选取的, 它们无非是现代几何学与理论物理相关的绕有兴趣的课题, 但毕竟限于我的经验, 它们在物理学上只不过是个可能出现的模型。在这些模型中出现一种叫作反常现象。它具有不被期望或不寻常的意思, 所以这样称呼的理由是, 当考虑描述量子场理论的模型时, 总是在程序上先从古典的状态出发依次把它量子化。这时, 在古典状况的基础上所存在的某种对称性, 在量子化过程中有时变成0。这种现象叫作反常。最近发现, 在某种情形下这个反常与前面说过的拓扑量子数有密切关系。总的说来,反常是在这个情形下的空间中分布的密度, 它的积分恰是拓扑的量子数。特别是前面的拓扑量子数己知并非为零的情况下, 可以得出反常存在的结论。尽管对它的研究己近十年左右, 可是我最近才注意到一些几何学家们在这十年间只不过是重复着同一个问题, 虽然不能作详细的说明, 但例如对由流形上的Laplace算子的特征值 \lambda 所定义的函数\sum e^{\lambda t}, 当 t 趋于0时的渐近性质的研究就属于此类间题。这个研究已经列入Hodge的计划。由此可见，解析、拓扑以及微分几何之间具有种种不可分割的关系。但是把所用的术语翻译过来之后, 可以看到物理学家与数学家互不通气地在进行着平行地研究完全雷同的课题。这种事买在某种意义上虽是个努力勤奋的好现象, 但是在双方共同解决间题之后再来理解它毕竞过于迟缓。

在下面, 我在结束问题之前说两个术语翻译成功的例子。现在在理论物理学方面, 面临着相当的困难, 我觉得关于什么是它的基本基础的本质, 确有重新给以考虑的必要。在这里介绍一下我的牛津大学同事彭罗斯对时空世界概念进行修正的新想法, 他认为时空世界的点在某种意义上说它不是最基本的对象, 而是把通过各点的光线的全体也考虑在内, 这样他把Minkowski空间代之以三维的复流形。这样对所考虑的各种基本方程可以希望在这新空间中要比原来的简单的多。对Maxwell方程来说, 它的解可用几何学家已经发明的所谓层上同调来描述。彭罗斯对层上同调是不了解的, 在某次与他谈话时, 我立即提醒他注意, 他所考虑的问题与层上同调在本质上是相同的。这里重要的是彭罗斯的空间是不可缩的, 上同调是不可能等于0的。这个事实放在局部上来考虑,也容易从光锥是二维球面的这一点上推导出来。下面再把话题转到苏联物理学家Polyakov最近提出的课题上来。他把4 维Yang-Mills方程放到通常的4维欧几里得空间中进行研究, 而全力求出这个方程的所有解( 叫作“瞬子”)。但是这个问题是数学中的代数几何问题, 也就是与3 维复射影空间中的代数曲线的研究的等价问题。

这是在对后者相当理解的基础上而对瞬子 的一般性进行了论述。这就是在前面所说的在结束以前进行翻译的例子。

现在把我说过的问题归纳一下。从上述事实里, 我想是不是可以这样说: 现代几何学的诸概念在物理学的模型的构成中是有效的。我在这里是想强调观念这个词。可以说，在物理学与几何中，比起计算，更为重视的是观念, 在这一点上比几何学与代数学之间的关系更密切。在历史上的某个时期里, 物理学偏重于重视数学计算的方法。但是我认为如果几何学家与物理学家之间增进了解, 那么几何学的观念在物理学中将是有用的。

— THE END —

☞传销——从数学游戏到经济邪教

☞爱因斯坦和高中几何问题

☞细讲傅立叶变换

☞机器学习中需要了解的 5 种采样方法

☞北大读博手记：怎样完成自己的博士生涯？非常具有指导性！

☞一份数学小白也能读懂的「马尔可夫链蒙特卡洛方法」入门指南