用 Python 进行系统聚类分析

在进行机器学习时，我们往往要对数据进行聚类分析，聚类，说白了就是把相似的样品点/数据点进行归类，相似度高的样品点会放在一起，这样一个样本就会被分成几类。而聚类分析也有很多种方法，比如分解法、加入法、有序样品的聚类、模糊聚类法以及系统聚类法等。而本文要介绍的就是系统聚类法，以及如何用python来进行系统聚类分析。

首先来看一下系统聚类法的定义。系统聚类法（hierarchical clustering method），又叫分层聚类法，是目前最常用的聚类分析方法。其基本步骤如下：假设样本中有n个样品，那么就先将这n个样品看作n类，也就是一个样品一个类，然后将性质最接近的两类合并为一个新的类，这样就得到n-1个类，接着从中再找出最接近的两个类，让其进行合并，这样就变为n-2个类，让此过程持续进行下去，最后所有的样品都归为一类，把上述过程绘制成一张图，这个图就称为聚类图，从图中再决定分为多少类。其大致过程如图1所示。

图1. 系统聚类分析示意图

而这里我们要确定各个样品的相似度，才能将其归类，那么如何确定其相似度呢？通常我们用的方法是计算各个样品点之间的距离，然后再根据距离来分类。这里我们根据距离来分类，同样也是有几种方法的，比如最短距离法、最长距离法、重心法、类平均法以及ward法。下面我们对这几种方法进行一个简单的介绍。

1. 最短距离法

最短距离法就是从两个类中找出距离最短的两个样品点，如图2所示。点3和点7是类G1和类G2中距离最短的两个点。计算公式如图4所示。

图2. 最短距离法示意图

2. 最长距离法

最长距离法就是从两个类中找出距离最长的两个样品点，如图3所示。点1和点6是类G1和类G2中距离最长的两个点。计算公式如图4所示。

图3. 最长距离法示意图

3. 重心法

从物理的观点看，一个类用它的重心，也就是类样品的均值，来做代表比较合理，类之间的距离也就是重心之间的距离。若样品之间用欧氏距离，设某一步将类G1与G2合并成G3，它们各有n1、n2、n3个样品，其中n3=n1+n2，它们的重心用X1、X2和X3表示，则X3=1/n3(n1X1+n2X2)。重心法的计算公式参考图4。

4. 类平均法

这个顾名思义，就是取两个类之间所有点的距离的平均值。计算公式如图4所示。

图4. 常用的距离计算方法

5. 离差平方和法

离差平方和法又叫Ward法，其思想源于方差分析，即如果类分得正确，同类样品的离差平方和应当较小，类与类之间的离差平方和应该较大。计算公式如图4所示。

在了解了系统聚类法的基本知识以后，我们就用python代码来展示一下系统聚类法的具体使用。

首先还是导入各种库。

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage

接下来是生成数据集。我们这次用的数据集是随机生成的，数量也不多，一共15个数据点，分为两个数据簇，一个有7个数据点，另一个有8个。之所以把数据点数量设置这么少，是因为便于看清数据分布，以及后面画图时容易看清图片的分类。代码如下。

state = np.random.RandomState(99) #设置随机状态
a = state.multivariate_normal([10, 10], [[1, 3], [3, 11]], size=7)  #生成多元正态变量
b = state.multivariate_normal([-10, -10], [[1, 3], [3, 11]], size=8)
data = np.concatenate((a, b)) #把数据进行拼接

这里我们设置一个随机状态，便于重复试验。然后利用这个随机状态生成两个变量a和b，这两个变量就是前面说过的数据簇，a有7个数据点，b有8个，a和b都是多元正态变量，其中a的均值向量是[10, 10]，b的均值向量是[-10, -10]，两者协方差矩阵是[[1, 3], [3, 11]]。这里要注意的是协方差矩阵要是正定矩阵或半正定矩阵。然后对a与b进行拼接，得到变量data。

接下来要绘制数据点的分布。代码如下。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,8)) #设置图片大小
ax.set_aspect('equal') #把两坐标轴的比例设为相等
plt.scatter(data[:,0], data[:,1])
plt.ylim([-30,30]) #设置Y轴数值范围
plt.xlim([-30,30])
plt.show()

这里代码比较简单，不再赘述，主要说一下ax.set_aspect('equal')这行代码，因为matplotlib默认情况下x轴和y轴的比例是不同的，也就是相同单位长度的线段，在显示时长度是不一样的，所以要把二者的比例设为一样，这样图片看起来更协调更准确。所绘制图片如图5所示，从图中可以明显看到两个数据簇，上面那个数据簇大概集中在坐标点[10, 10]附近，而下面那个大概集中在[-10, -10]附近，这和我们设置的是一样的。从图中可以很明显看出，这个数据集大概可以分为两类，即上面的数据簇分为一类，下面的数据簇分为另一类，但我们还要通过算法来计算一下。

图5. 所用数据分布图

然后是数据处理，代码如下。

z = linkage(data, "average") #用average算法，即类平均法

数据处理只有这一行代码，非常简单，但难点也就在这。首先我们来看一下z的结果，如图6所示。

图6. 聚类计算结果

很多人第一次看到这个结果都是一脸懵逼，甚至是n脸懵逼，但其实里面的道理很简单。scipy官方对此有一些设定，比如该结果中第一行有4个数字，即11、13、0.14740505、2，前两个数字就是指“类”，刚开始每个点就是一个类，所以11和13这两个点就是两个类，第三个数字0.14740505就是这两个点的距离，这两个点被合并成一个类，所以这个新的类包含两个点（11和13），这也就是第四个点的数值2，而这个新的类就被算为类15。注意这里是类15，不是第15个类，因为我们原来的数据集中有15个点，按照顺序就是类0、类1、类2...类14，因为python是从0开始，所以这里类15就是指第16个类。z的第二行数据里，前两个数字是2和5，就是原来类2和类5，距离是0.3131184，包含2个点，这行数据和第一行类似。然后再看第三行数据，前两个数字是10和15，就是类10与类15，类15就是前面第一行合并成的新类，其包含11和13这两个点，类15与类10的距离是0.39165998，这个数字是类11和13与类10的平均距离，因为我们这里用的算法是average，类10、11和13合并为了一个新类，其包含3个点，所以第四个数字就是3。z中其他行的数据按照此规律以此类推。最后一行数据中，类26和27合并成一个新类，这个类包含了全部15个点，也就是这15个点最终划为了一个类，算法终止。

接下来就是画图，代码如下，其结果如图7所示。

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8,8))
dendrogram(z, leaf_font_size=14) #画图
plt.title("Hierachial Clustering Dendrogram")
plt.xlabel("Cluster label")
plt.ylabel("Distance")
plt.axhline(y=10) #画一条分类线
plt.show()

图7. 聚类结果图

从图中可以看出，这15个点可以分为两类，前面绿色的线连接的点代表一类，即点0到点6这7个点，后面红色的线连接的点代表第二类，即点7到点14这8个点。我们可以看到这个划分结果是非常正确的，和我们当时的设定是一样的。

系统聚类法的算法比较简单，实用性非常高，是目前使用最广泛的聚类方法，但该方法在处理极大数据量时会有所不足，所以最好配合其他算法来使用，同时使用者在使用时要根据自己的情况，来选择合适的距离计算方法。本文主要用类平均法来进行聚类操作，因为这个数据集非常简单，所以用其他距离计算方法得到的结果和这个是一样的。如果数据量比较大时，最终不同距离计算方法得到的结果可能不同，所以使用者要根据自己的情况来进行选择。

作者简介：Mort，数据分析爱好者，擅长数据可视化，比较关注机器学习领域，希望能和业内朋友多学习交流。