数字被修改了吗？-轻识

数学算法俱乐部

日期： 2021年10月05日

正文共：2801字

来源： chenqin

从7.23动车事故开始，死亡35人便成为了一部分网民经久不衰的话题。他们认为，当事故死亡人数超过35人时，省市官员就必须为此负责，因此官员将有动机将死亡人数实际超过35人的事故压低到死亡35人以内。那么，我们如何判断这种现象是否存在？数字到底有没有被修改？

由于随机数字的出现会满足一系列规律，因此，当一系列数字实际出现的规律与其应当出现的规律有显著不同时，这一系列数字就可能被人为更改了。先看几个简单的例子：

一，大量产生的随机数字汇总后往往会具有平滑的性质，印度人口普查的年龄是一个很好的反例。一般来说，如果没有很强烈的年份偏好或者战争和饥荒，那么一个国家的分年龄人口应当是平滑的。在一个较小的区间内，我们不应当看到波动很大的年龄结构。因此，印度人口普查显示的图形，就显得非常不正常——2011年，约有50%的人口错报了自己的年龄，他们以尾数为0或者5的数字来替代自己的真实年龄。

二，随机序列也有可能看起来不太随机。将一个硬币扔100次，得到一个序列，h为正面t为反面，下面哪个序列是真实的抛硬币结果，哪个是脑补出来的？

序列1：

tthhhhhtthhhhtthhthhhtthhhhttththhhtthhhhhhtthhhhh htthhthhhthhhhthhththtttththtthhtthhhhhttthhththtt

序列2：

hthtthhtthtthhhthtthtttththhthhththhhhthhtthtththh hthhhthtththhhthttththhthhhthththhhhthhthttththhth

答案是序列1。在一个完全随机的抛硬币过程中，100次抛掷得到至少一个连续6次相同结果的序列的概率大于80%，得到至少一个连续5次相同结果的序列的概率大于90%。而在序列2里，最长的一串连续序列的长度仅有4。一列伪造的硬币随机数为了让自己看起来更随机，可能会频繁变化正反，但正是这一点反而出卖了它的伪随机本质。

三，真实的数字序列会满足Benford法则。在真实产生的十进制数字中，不同数码的出现次数会满足Benford法则，见下表：

上表的第一列表示随机数字的第一位数中各数码可能出现的概率，即首位数为1的概率为30.1%，首位数为2的概率为17.6%……首位数字为9的概率仅有4.6%。同样我们也能计算第二位数字的出现概率。当一系列数字大幅度偏离Benford法则时，他就很有可能经过人为调整。

ANZ银行的研究人员就用该法则对中国的GDP增长数据进行了研究，他们发现，中国从1952年开始的年度GDP增长率中，首位数为1的次数为24次，高于Benford法则预测的18次；从1991年开始的季度GDP增长率中，第二位数为0的比例高达21次，而预测值仅有10次。该研究人员认为，这样的偏差说明了中国的GDP数据可能存在相当的「进位」现象，即将较大的数码进位到10，才导致了第一位数的数码1出现次数偏高且第二位数的数码0的出现次数偏高。

在这份报告里，首位数的Benford法则讨论其实是值得商榷的，假设一列随机数以正态分布取自均值为10的区间内，那么其首位数为1的概率将会高达50%，但这并不能说明这列随机数字是人为调整过的。但第二位数字就不会出现首位数字碰到的问题，其分布则较为均匀，可以进行比较好的比较。

我们可以将中国和美国的季度GDP增长率的第二位数字的出现概率放在一起进行比较，得到下图：

可以看到，中国在第二位数等于0的概率确实要远大于预测值12%，较大数码的出现概率则要小于Benford法则预测值。美国的第二位数字与Benford法也有差距，体现在数码0到3的出现概率提高上。但总体上来说，美国的统计数字距离Benford法则预测的差距要比中国统计数字的差距要小许多，中国在0和8两个数字上的实际出现次数甚至可以在5%水平上显著异于Benford法则的预测。中国是否将一系列尾数为8的GDP增长率给进位到10了？仍然不能确定，但至少这种解释与数据所体现的现象不矛盾。

四，特大事故的死亡人数被修改了吗？

终于回到本文正题。先看一个研究数据是否调整的典型例子：p=0.05现象。在统计分析中，当一项检验的p值小于0.05时，这个结果一般被认为是在统计上显著的。由于不显著的结果难以发表，因此「调整」p值直到小于0.05，成了一些科研人员的最后手段。这一项研究（http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/22853650）检查了三份心理学期刊，发现报告的p值略微小于0.05的文章比例畸高于正常情况，显示了「调整」p值可能已经成为了一种客观存在的现象。

在事故查询里我们能够查询到中国从2000年至今的两万四千余起事故。在所有能查询到的事故中（包括安全生产事故、交通事故与火灾），从2000年7月至2014年底，死亡人数在10人以上的事故有1187起，按照死亡人数排序可得下图：

将死亡在20到40人放大看，可得下图：
如果35人真的是一个分界点且在这个分界点附近的死亡瞒报现象真的存在，那么我们应当能看到报告死亡人数在33、34人的事故次数畸高（死亡35人及以上但被人为调整至35人以下，且不能调整幅度太大），而报告死亡35人的事故次数迅速下降。但是在图中我们并不能看到这一现象。35人死亡的事故次数甚至还高于33和34人的次数。因此，35人这个事故死亡人数分界点，是不存在的。

不过，虽然在35这个值上不存在分界点，在其他值上就不一定了。按照p值研究的方法，我们可以画一张类似的图：
上图中的横轴为死亡人数，纵轴为事故次数，99%置信区间的拟合线公式为“预测次数=252746*死亡人数^(-3.037)”，是一个典型的幂律分布。可以看到，唯一一个实际事故次数大幅超过了预测事故次数99%置信区间上限死亡人数发生在28人。大幅度越过99%而非95%这个置信区间，可以说是非常少见的现象，这意味着在该模型成立的情况下此情形出现的概率远小于1%。仔细检查数据的话，死亡28人的事故有22次（模型预测10.2次），29人事故13次（模型预测9.1次），30人和31人迅速下降到7次和4次。