机器学习的 Learning theory 学习理论综述

Learning Theory and Advanced Machine Learning

先放一张课程大纲的图，各种 learning 方法，大概纠葛缠绕成这个样子：

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1.

Introduction

所谓的 learning，一句话说就是关于从有限的数据中推断预测和规律。那么，

• 我们希望得到什么样的保证？
• 我们如何获得它们？

另外，学习可能意味着多个学习 agents，如集成学习：

• 他们之间应该交流什么信息？

在 stationary 环境的情况下，有一个完善的理论称为“ learning 的统计理论”。

但 learning 也可能意味着几个连续的学习任务，如：

• domain adaptation (领域适应)
• transfer learning (迁移学习)
• online learning (在线学习)。

也叫做 Out-Of-Distribution learning。而这也就引申出了一些问题，比如：

• 当训练数据和测试数据之间的环境发生变化时，可以做什么？
• 同样，上下文之间应该传达什么？

The statistical theory of learning(学习的统计理论)

介绍一下机器学习里最基本的概念。

• 预测错误的 cost。

- 也就是 loss function（损失函数）。

• 如果我选择 h，expected cost （期望风险）是多少？

- real risk (或者叫作 true risk)

• 另外还有一个概念是：empirical risk（经验风险）

ERM (Empirical risk minimization)经验风险最小化

学习策略：

– 选择具有零经验风险的假设（无训练误差）

– 期望 h 的泛化性能如何？

– 出现错误 R(h) > ε 的风险是什么？

PAC learning（Probably Approximatively Correct）概率近似正确学习

概念

PAC 学习是机器学习的理论框架，它为学习算法的准确性和置信度提供数学保证。

它的目标是找到一个具有高概率“可能近似正确”的假设（模型或预测规则），这意味着该假设将以高置信度接近真实函数。该理论提供了一种评估学习算法的样本复杂度和计算复杂度的方法，使其成为设计和分析机器学习算法的有用工具。

Learning 最后就变成了：

1. 假设空间(hypothesis space) H 的选择

– 受必要性的限制

1. 归纳准则 (inductive criterion) 的选择

– 经验风险必须被 regularized

1. 为了最小化正则化经验风险的 H 探索策略 (exploration strategy)

– 必须高效：

• 快速地

• 如果可能，只有一个最优解（例如凸问题）

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2.

Semi-supervised learning (半监督学习）

半监督学习其实是有监督学习和无监督学习的结合。它利用一小部分标记数据和大量未标记数据训练，模型必须从这些数据中学习并对新数据进行预测。

General principle

– 决策函数不穿过 X 的高密度区域

– 例如 SVM 算法

给个图比较好理解：

半监督学习：如何在理论上接近它？

unlabeled 数据提供帮助的能力取决于两个量：

• 目标函数确实满足给定假设的程度：即决策函数不切割高密度区域。
• 该分布允许这个假设排除替代假设的程度：即无监督训练样本有助于限制可能的决策函数。

（The extent to which the distribution allows this assumption to rule out alternative hypotheses）

其它 learning scenarios

• Transductive learning (转导式学习)
• Weakly supervised learning (弱监督学习)
• The Multi-Instance problem (多实例问题)
• Analogical induction (类比归纳法)

Transductive learning (转导式学习)

它和半监督学习的区别在于：

– 半监督学习在输入空间 X 上寻求一般假设（decision rule）

– Transductive learning 试图仅对测试点（问题）进行预测。

所以，我提前知道我会在哪里被 queried:

放一点人生哲学：

“在解决感兴趣的问题时，不要将解决更一般的问题作为中间步骤。

尝试获得你真正需要的答案，而不是更笼统的答案。”

——(Vapnik, 1995)

3.

LUPI Framework（Learning Using Privileged Information 基于特权信息的学习方法）

这个方法是受 learning at school 的启发

• 目标是学习一个函数

• 假设学习时比测试时有更多的可用信息

• 那么我们能否提高泛化性能

在计算机视觉中，我们用下面这个图来解释：

• 核心在于特权信息允许我们区分简单和困难的例子训练集。
• 假设相对于特权信息容易/困难的 example 对于原始数据也将是容易/困难的，我们使信息从特权信息传输到原始数据模态。
• 更具体地说，我们首先定义并确定哪些样本很容易并且对于分类任务来说很难，并结合将特权信息放入编码容易/困难的样本权重中。”（更重视简单的例子）

real risk 和 empirical risk 的界限

一个解决方法是 SVM+

经典的优化问题是这样的：

然后我们可以变成：

Intuition:

• 找出比较难分类的数据点(outliers)
• 因此回到 realizable case 并获得 而不是 的收敛率

Early Classification of Time Series（早期时间序列分类）

标准的时间序列分类:

下图中新时间序列 的类别是什么?

早期时间序列分类

下图中新的不完整时间序列 的类别是什么?

这里，我们就可以用 LUPI framework 了，但是不完全一样，因为我们不需要检查数据点是简单还是困难。

新决策问题：Early Classification

• 数据流

• 分类任务

• 越早越好

• trade-off

• 
  
  • 分类效果
  • 延迟预测的 cost

在线决策问题

• 可以选择在每个时间点推迟

– 如果预期的未来表现能够克服延迟决策的成本。

比如说，我们有一个输入序列：

然后，我们有：

• 错误分类的 cost 函数:

• delaying decision 的 cost 函数:

那么，做出决定的最佳时间是什么呢？

Optimal time 就是：

Early classification 和 LUPI

那么要怎么 take advantage of 这两个东西呢呢？

1. 未来可能序列的信息
2. 学习所有时间步长的分类器的可能性

原理

• Training:

  识别训练集中有意义的时间序列子集：

  对于这些子集 中的每一个，以及对于每个时间步长 ，估计混淆矩阵：

• Testing: 对于任何新的不完整输入序列

  确定最可能的子集：更接近 的形状

  计算所有未来时间步的预期决策成本

Out Of Distribution (OOD) learning (分布外学习）

先说一点背景：

• 世界为大脑提供了时间结构化的输入流，这些输入流不是独立的，也不是同分布的
• 生物体面对连续的任务并且它们能够完成持续学习
• 在学习任务 A 之后学习任务 B 可能会产生积极或消极的干扰：迁移学习

OOD learning 就是使用来自源域 (source domain) 的知识改进目标域 (target domain) 中的目标预测函数。

解释一些概念：

1. 源域和目标域可以相同，但具有不同的概率分布：“Domain Adaptation”

   Covariate shift：表示的就是同样的决策函数 , 但是不同的分布 .

2. Concept Drift (概念漂移)：决策函数 不同

3. 或者它们可以来自不同的域，也就是 Transfer Learning (迁移学习) 了。

4. Non-stationary 环境：

• Co-variate shift（协变量偏移）：

  – Virtual drift （虚拟漂移）

  – Non i.i.d.

  比如说, moving robot

• Change of concept（概念改变）：

  – Concept drift（概念漂移）

  – Non i.i.d. + non stationary

  比如说，消费者的 expectations,

介绍几种不同的 transfer(迁移)：

• 领域适应

和

– 但不同的分布

• 概念转变

和

– 但不同的分布

• 迁移学习

和/或

Hypothesis Transfer Learning

• Target domain:

  • 训练集：
  • Distribution:

• Source domain:

  – Source hypothesis

  我们想找的是：

  Hypothesis Transfer Learning Algorithm:

Covariate shift

先举几个例子：

• 垃圾邮件过滤

  – 不是同一个用户： 可能不同

  • 例如，对我来说，conference 公告很重要，但可能会打扰到其他人。

• 消费者口味或期望的变化

• 药物的变化

  – 例如 COVID 变体的严重程度不同

所以，对于 Covariate shift，不再是经验风险和实际风险之间的“直接”联系。

输入分布会发生改变：

funtional relation 不发生改变：

Distillation(蒸馏)

Motivation（动机）：

1. 我们想在计算受限的设备（例如智能手机）上部署分类器 (NN)

   – 不能使用深度神经网络

2. 学习任务困难，需要大数据集和复杂的学习方法（例如深度神经网络）

那么问题来了：

我们可以使用学习到的深度神经网络作为老师来帮助学生（即受限设备）学习更简单的分类器吗？

一种很复杂的 learning 技术——GoogLeNet：

Catastrophic forgetting

Pivot feature

Structural Correspondence Learning

4.

Transfer learning (迁移学习）

• domain 变更

  – 例如：在不同的环境中识别相同的对象

• task 变更

  – 例如：学会下国际象棋后又学下象棋

下面是 domain adaptation（领域适应） 的例子

其实上面说的 OOD Leaning 和 Curriculum Learning 都算是迁移学习的一种。

Reference

知乎链接:  https://zhuanlan.zhihu.com/p/604599762  

https://machinelearningmastery.com/what-is-semi-supervised-learning