复杂度 O、Θ、Ω、o、ω,别再傻傻分不清了!

Java技术栈

共 427字,需浏览 1分钟

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2020-09-28 21:34


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转自公众号:彤哥读源码

前言

在我们表示复杂度的时候,通常使用大O来表示。

但是,在其他书籍中,你可能还见过Θ、Ω、o、ω等符号。

那么,这些符号又是什么意思呢?

本节,我们就来解决这个问题。

读音

我们先来纠正一波读音:

  • O,/əʊ/,大Oh

  • o,/əʊ/,小oh

  • Θ,/ˈθiːtə/,theta

  • Ω,/oʊˈmeɡə/,大Omega

  • ω,/oʊˈmeɡə/,小omega

是不是跟老师教得不太一样^^

数学解释

Θ

Θ定义了一种精确的渐近行为(exact asymptotic behavior),怎么说呢?

用函数来表示:

对于f(n),存在正数n0、c1、c2,使得当 n>=n0 时,始终存在 0 <= c1*g(n) <= f(n) <= c2*g(n),则我们可以用 f(n)=Θ(g(n))表示。

用图来表示:

Θ同时定义了上界和下界,f(n)位于上界和下界之间,且包含等号。

比如说,f(n) = 2n^2+3n+1 = Θ(n^2),此时,g(n)就是用f(n)去掉低阶项和常数项得来的,因为肯定存在某个正数n0、c1、c2,使得 0 <= c1*n^2 <= 2n^2+3n+1 <= c2*n^2,当然,你说g(n)是2*n^2也没问题,所以,g(n)实际上满足这个条件的一组函数。

好了,如果Θ你能理解了,下面四个就好理解了。

O

O定义了算法的上界。

用函数来表示:

对于f(n),存在正数n0、c,使得当 n>=n0 时,始终存在 0 <= f(n) <= c*g(n),则我们可以用 f(n)=O(g(n))表示。

用图来表示:

O只定义上界,只要f(n)不大于c*g(n),就可以说 f(n)=O(g(n))。

比如说,对于插入排序,我们说它的时间复杂度是O(n^2),但是,如果用Θ来表示,则必须分成两条:

  1. 最坏的情况下,它的时间复杂度为Θ(n^2);

  2. 最好的情况下,它的时间复杂度为Θ(n)。

这里的n^2只是g(n)这一组函数中最小的上界,当然,g(n)也可以等于n^3。

不过,我们一般说复杂度都是指的最小的上界,比如,这里插入排序的时间复杂度如果说是O(n^3),从理论上来说,也没问题,只是不符合约定罢了。

插入排序最好的情况就是数组本身就是有序的。

o

o定义的也是算法的上界,不过它不包含等于,是一种不精确的上界,或者称作松上界(某些书籍翻译为非紧上界)。

用函数来表示:

对于f(n),存在正数n0、c,使得当 n>n0 时,始终存在 0 <= f(n) < c*g(n),则我们可以用 f(n)=o(g(n))表示。

用图来表示:

o表示仅仅是大O去掉等于的情况,其他行为与大O一模一样。

Ω

Ω定义了算法的下界,与O正好相反。

用函数来表示:

对于f(n),存在正数n0、c,使得当 n>=n0 时,始终存在 0 <= c*g(n) <= f(n),则我们可以用 f(n)=Ω(g(n))表示。

用图来表示:

Ω只定义下界,只要f(n)不小于c*g(n),就可以说 f(n)=Ω(g(n))。

比如,对于插入排序,我们可以说它的时间复杂度为Ω(n),不过,这通常没有什么意义,因为插入排序在最好的情况下很少,基本都是在最坏情况或者平均情况。

ω

ω同样定义的是下界,只不过不包含等于,是一种不精确的下界,或者称作松下界(某些书籍翻译为非紧下界)。

用函数来表示:

对于f(n),存在正数n0、c,使得当 n>n0 时,始终存在 0 <= c*g(n) < f(n),则我们可以用 f(n)=ω(g(n))表示。

用图来表示:

ω表示仅仅是大Ω去掉等于的情况,其他行为与大Ω一模一样。

通俗理解

符号含义通俗理解
Θ精确的渐近行为相当于“=”
O上界相当于“<=”
o松上界相当于“<”
Ω下界相当于“>=”
ω松下界相当于“>”

小结

为了帮助同学们快速查阅英文资料,彤哥特地把这几节涉及到的英语单词汇总了一下:

汉语英文
复杂度complexity
时间复杂度time complexity
空间复杂度space complexity
渐近分析asymptotic analysis
最坏情况the worst case
最好情况the best case
平均情况the average case
精确的渐近行为exact asymptotic behavior
低阶项low order terms
常数项(前置常数)leading constants
松上界loose upper-bound

后记

本节,我们分别从读音、数学、通俗理解等三个方面阐述了Θ、O、o、Ω、ω的含义,并在最后给出了这几节涉及到的术语对应的英文,有了这些英文,你也可以快速地查阅这方面的资料。
不过,在我们平时与人交流的过程中,大家还是习惯于使用大O表示法,一来它表示最坏情况,最坏情况通常可以直接代表算法的复杂度,二来它比较好书写。
所以,我们只需要记住大O就可以了,只不过在别人提到Θ、Ω、ω我们知道是什么含义就可以了。




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