从零实现深度学习框架（十）线性回归简介
引言
本着“凡我不能创造的，我就不能理解”的思想，本系列文章会基于纯Python以及NumPy从零创建自己的深度学习框架，该框架类似PyTorch能实现自动求导。
要深入理解深度学习，从零开始创建的经验非常重要，从自己可以理解的角度出发，尽量不适用外部完备的框架前提下，实现我们想要的模型。本系列文章的宗旨就是通过这样的过程，让大家切实掌握深度学习底层实现，而不是仅做一个调包侠。
我们自动求导工具第一阶段的实现已经完成了，本文最简单的模型——线性回归模型进行简单的介绍。
线性回归
给定输入，可能有多个维度(特征)，和输出。线性回归(linear regression)假设输入和输出之间的关系是线性的。即可以表示为中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声，我们假设任何噪声都比较正常，比如噪声遵循高斯分布。
我们举一个例子：我们希望根据房屋的面积(㎡)和房龄(年)来估计房屋的售价(万/㎡)。以某卖房软件上深圳南山区近地铁口售价的真实数据为例。我们收集了房屋的售价、面积和房龄。在机器学习中，该数据集称为训练集(training data set)。每行数据(一次房屋交易相对应的数据)称为样本(sample)，也称为数据点(data point)。我们把试图预测的目标(比如房屋价格)称为标签(label)或目标(target)。预测所依据的自变量(面积或房龄)称为特征(feature)。
我们使用来表示数据集中的样本数，对索引为的样本，其输入表示为，其对应的标签是。
我们收集到的数据集如下：
X = [
[64.4, 31], # [面积， 房龄]
[68, 21],
[74.1, 19],
[74.8, 24],
[76.9, 17],
[78.1, 16],
[78.6, 17]
]
y = [6.1, 6.25, 7.8, 6.66, 7.82, 7.14, 8.02]
线性回归假设目标(房屋价格)可以表示为特征(面积和房龄)的加权和，如下：
有了数据集以后，我们的目标是寻找线性回归模型的权重和偏置，以对新的样本进行预测。
在机器学习领域，我们使用的一般是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。假设我们的输入包含个特征时，我们将预测结果表示为：
比如在我们房价预测的例子中总共有2个特征，分别是房屋面积和房龄。所以可以写成：
假设表示面积；表示房龄。
如果将所有的特征都放到向量中，并将所有权重放到向量中，我们可以用点积形式来简介地表达模型：
向量表示包含所有特征的单个样本数据。那么用符号可以表示我们整个数据集中的个样本，其中，的每一行是一个样本，每一列是一种特征。
那么预测值就可以通过矩阵-向量乘法表示：
有时候也可以把加到权重中去，也进行相应的变化得到增广矩阵。上面的式子展开如下：
这里的会进行广播。我们如果把加到权重中去，就变成了：
上式最后用和表示增广后的矩阵和向量。
我们已经有了数据集和模型，那么如何得到模型参数呢？答案就是学习过程。
学习过程
学习过程说的是：基于初始的模型参数，我们可以得到一个预测输出，然后我们计算该输出和真实输出之间的距离。通过最小化损失函数和优化方法就可以来优化模型参数。
损失函数：衡量实际值与预测值之间的差距。数值越小代表损失越小，完美预测时损失为0。
优化：改变模型参数以获得更少的损失
损失函数
我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如上图所示。一维情况即样本只有一个特征。比如横坐标代表身高，纵坐标代表体重。
假设某人的真实身高是180cm，你预测的身高是156cm。那么衡量距离，你首先想到的应该是它们之间的差值。为了避免负数，也应该加一个绝对值。所以定义为，但是绝对值是不可求导的，我们可以把绝对值改成平方，并加上系数好进行求导。这就是平方误差损失函数：
我们要找的就是能使所有训练样本上的损失均值最小的参数：
梯度下降
对于线性回归来说，有一种方法叫作解析解。但是它应用有限，无法进行推广。因此这里不做分析。
本节介绍的方法即使我们无法得到解析解的情况下，仍然可以有效地训练模型。
那就是梯度下降(gradient descent)的方法，这种方法几乎可以优化所有的深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。
梯度下降最简单的用法是计算损失函数关于模型参数的导数(或者说是梯度)。通常是遍历完整个数据集再进行参数更新，但实际上可能非常慢。因此我们遍历的时候只遍历部分批量数据，遍历完该批量数据即进行参数更新。
我们刚刚看到的方法叫作小批量随机梯度下降法,随机指的是每批数据都是随机抽取的。
用下面的数学公式来表示这一更新过程：
其中表示偏导数；代表小批量数据；表示这一小批量数据的数量；是学习率。
算法的步骤如下：
初始化模型参数，通常采用随机初始化 从数据集中随机抽取小批量样本，且在梯度的反方向上更新参数，不断迭代这一步骤。
批量大小和学习率的值通常需要预先指定，而不是通过学习得到的，这种参数叫作超参数(hyperparameter)。
在训练了预先确定的若干次迭代次数后(或满足某些停止条件)，我们保存此时模型参数的估计值，记为。
优化方法
线性回归恰好只有一个最小值，但是对于深度神经网络这种复杂的模型来说，可能有多个局部极小值点。
此时可能需要用到随机梯度下降法的一些变体，比如Adagrad、RMSProp等。这些变体被称为优化方法或优化器。
关于这些变体后面的文章会讨论。
从最大似然来看均方误差
本节来看一下为什么采用均分误差作为损失函数。
我们上面说过，假设噪声(误差)遵循高斯分布(正态分布)。为什么要这么假设呢，一种解释是，根据中心极限定理：许多独立随机变量的和趋向于正态分布。因为影响噪声的因素有很多，而这些因素都是独立且随机分布的，所以这么假设。
若随机变量具有均值和方差，其正态分布概率密度函数如下：
改变均值会产生沿轴的偏移，增加方差会降低分布的峰值。
均方误差损失函数（简称均方误差）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。则预测函数可以写为：
其中，有
根据，也可写成。
因此，我们可以写出给定观测到特定的似然：
参数和的最优值是使整个数据集的似然最大的值：
由于取对数不改变单调性，同时优化一般是指最小化，我们再加上负号，变成最小化负对数似然，由此可得：
代入得：
上面式子的解并不依赖于，因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。
参考
动手学习深度学习
最后一句：BUG，走你！
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