很多刚刚接触SLAM的小伙伴在看到李群和李代数这部分的时候，都有点蒙蒙哒，感觉突然到了另外一个世界，很多都不自觉的跳过了，但是这里必须强调一点，这部分在后续SLAM的学习中其实是非常重要的基础，不信你看看大神们的论文就知道啦。

关于李群李代数，其实高翔的《视觉SLAM十四讲》里推导什么的挺清楚了，本文就在高博的基础上用比较容易理解的语言讲述一下重点。

首先，假装（也可能是真的）自己是个小白，我们假想对面坐了一个大牛师兄，下面我们开启问答模式。

求解此问题，就是求目标函数J对于变换矩阵T的导数。

小白：嗯，对矩阵求导？第一次 听说啊。。

师兄：听起来确实有点怪。我们先来看看变换矩阵T，我们知道T所在的SE(3)空间，对加法计算并不封闭，也就是说任意两个变换矩阵相加后并不是一个变换矩阵，这主要是因为旋转矩阵对加法是不封闭造成的，它是有约束的。

小白：旋转矩阵对加法不封闭啥意思？

师兄：嗯，这个我一会会细讲，这里你先记住好了。到后面你就知道了

小白：好的，那刚才的问题怎么解决呢？

师兄：这个问题问的好，李代数就是解决这个问题的。我们把大写SE(3)空间的T映射为一种叫做李代数的东西，映射后的李代数我们叫做小se(3)好了。它是由向量组成的，我们知道向量是对加法封闭的。这样我们就可以通过对李代数求导来间接的对变换矩阵求导了。

小白：原来如此啊！不过刚才说了那么多概念，都是什么意思啊？

师兄：不急，我一个个说。我先说说李群吧，额，不，先说说群吧。按照数学上定义：群（group）就是一种集合加上一种运算的代数结构。群有几个运算性质，好像高博说是“凤姐咬你”

小白：（瞪大了眼睛）嗯？

师兄：哦，谐音谐音。。。就是：封闭性，结合律，幺元，还有逆。对了，比如旋转矩阵和乘法就构成了旋转矩阵群，变换矩阵和乘法也构成了变换矩阵群。对了，你说，旋转矩阵和加法能构成群吗？

小白：额。。刚才好像说不行吧？

师兄：嗯，不行的 ，他们不满足封闭性。刚才没有细讲，下面仔细解释原因。我们知道旋转矩阵R本身有一定的约束：

两个旋转矩阵R1+R2的结果就不能满足上述约束了，但是R1*R2满足。此外，旋转矩阵还满足结合律：R1*R2=R2*R1，还有幺元是单位矩阵I，也有逆矩阵满足R乘以R的逆等于幺元（单位阵）。还有，我们在SLAM里最常说的有两个，一个是特殊正交群SO(3)，也就是旋转矩阵群，还有特殊欧氏群SE(3)，也就是变换矩阵群，3代表是三维的。

小白：嗯嗯，书上看了，我差不多理解群是个什么东东了，那李群呢？

师兄：李群的定义是指连续光滑的群，比如我们前面说的旋转矩阵群SO(3)，你想象你拿个杯子就可以在空间中以某个支点连续的旋转它，所以SO(3)它就是李群。如果你一般旋转一边移动它，也是连续的或者说光滑的运动，所以变换矩阵群SE(3)也是李群。

小白：嗯，师兄，那李代数呢，它和李群都姓李，他们什么关系？

师兄：（一脸黑线）我个人的理解是这样的，就是我们相机在三维空间中是连续的旋转或者变换的嘛，刚才说过，而我们SLAM目的就是优化求解相机的这个最佳的位姿T（变换矩阵），优化方法一般都采用迭代优化的方法，每次迭代都更新一个位姿的增量delta，使得目标函数最小。这个delta就是通过误差函数对T微分得到的。也就是说我们需要对变换矩阵T求微分（导数），我们先以SO(3)空间中的旋转矩阵 R为例来说说吧，你觉得如何对R求微分呢？

小白：矩阵怎么求。。求微分，这个能微分吗？以前没有学过啊

师兄：可以的，李群和李代数都姓李（笑），你还别说，他们之间的确存在某种微分关系。我们先把结论放这里：李代数对应李群的正切空间，它描述了李群局部的导数。

小白：也就是说，李代数对应了李群的导数？

师兄：可以这么理解，你可以去看一下十四讲中65-66页那部分的推导，我们只关注两个结论就行了

第一个结论：

看下面的公式，我们发现旋转矩阵的微分是一个反对称(也叫斜对称)矩阵左乘它本身，也印证了我前面说的，矩阵是可以微分的。对于某个时刻的R(t)（李群空间），存在一个三维向量φ=（φ1，φ2，φ3）（李代数空间），用来描述R在t时刻的局部的导数。

小白：等一下，师兄，反对称矩阵是啥？第一次听说啊

师兄：哦哦，忘记解释了。反对称矩阵英文是skew symmetric matrix，有的地方也翻译为斜对称矩阵，其实是一个东西。

小白：这个反对称矩阵是啥意思？

师兄：反对称矩阵其实是将三维向量和三维矩阵建立对应关系。它是这样定义的：如果一个3 X 3的矩阵A满足如下式子

那么A就是反对称矩阵。你看左边有个转置，右边有个负号，叫反对称矩阵，还是挺形象的。

小白：额，好像有点明白，不过这个有啥用啊？

师兄：先别急，先问你一个问题，你觉得反对称矩阵它的元素有什么特点？

小白：啊。。特点啊，我想想（一分钟过去了。。）

师兄：根据它的性质，先想想对角线元素。你看，上式等式左边矩阵A转置后，对角线元素aii是不是还在对角线上？

小白：对哦，师兄好厉害

师兄：额。。别打岔，等式右边，所有元素取负号，那么对于对角线元素aii来说，是不是满足aii=-aii？

小白：是哦，所以aii=0，也就是说反对称矩阵对角线元素都为0？

师兄：bingo！确实是这样。那么非对角线元素还有6个，它们能不能精简呢？

小白：我想想，感觉好像是有重复的，好像可以用更少的元素来表示

师兄：没错！我举个例子，等式左边第2行第1列位置的元素，是矩阵A元素a12转置后到了位置a21，等式右边原来a21变成了 -a21，所以其实对于矩阵A，元素a12 = -a21，所以用一个元素及其负数就可以表示矩阵中这两个元素，同理，其他4个元素也是这样。所以，其实矩阵A中非对角线元素只用3个元素就可以表示。也就是说反对称矩阵A只有3个自由度。

小白：嗯呢，师兄好厉害！不过。。。知道这些有啥用啊？

师兄：这个反对称矩阵只有3个自由度很重要啊，这样我们就可以把一个三维向量和一个三维矩阵建立对应关系。

小白：师兄，感觉还是很抽象啊

师兄：哦哦，那我举个栗子给你看看。我们假设有一个反对称矩阵A的定义如下：

小白：等下，我看看是否满足性质：该矩阵的转置等于该矩阵元素取负数。。

师兄：你看是不是我们前面推算的一致啊，对角线元素为0，只有3个自由度？

小白：是哦，确实没错！师兄继续。。

师兄：我们定义对应的一个三维向量：

然后我们用一个上三角符号来表示这个向量α和三维矩阵A的对应关系

小白：这个符号感觉很神奇啊

师兄：是的，通过这个符号，我们把向量和矩阵建立了对应关系。这个在后面非常重要。你再看看前面的第一个结论

就好理解很多了。

小白：嗯嗯。确实是呢。师兄继续下一个结论吧。

师兄：这个图要理解透彻

小白：对了，师兄，好像还有一个左扰动，右扰动什么的，这个是干什么用的呀

师兄：这个是用李代数解决求导问题时使用的方法。对了，李代数是对加法封闭的吗？

小白：嗯，李代数是由向量组成的，向量对加法运算是封闭的。

师兄：嗯，学的真快！你说的没错。李代数求导分两种：一种是用李代数表示位姿，然后根据李代数加法来对李代数求导。这种方法书中也推导了，结果中有复杂的雅克比公式，不是很方便。一般都用第二种，就是对李群进行左乘或者右乘微小的扰动，然后对该扰动求导。书上高博也推导了，你看结果还是挺简洁的。

小白：那我们就用扰动模型好啦

师兄：确实实际SLAM问题中，扰动模型比较实用方便。扰动模型的推导一定要自己推一遍哦

小白：嗯，我尽量。。谢谢师兄耐心解答，走，请你吃烧烤去。