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假设我们有两个图像I和J，它们之间有一个小的转换，可以表示如下。

其中，I（x）和J（x）可以看作是一个映射函数，其中像素位置x为自变量，像素灰度为因变量。这两个图像。我们从优化的角度考虑这个问题，如下

通过连续地调整该二维平移d，J和I之间的差异被最小化。

为了解决这个问题，我们首先求解目标函数相对于自变量的导数，可以得到以下公式。

接下来，我们采用J（x + d）的一阶泰勒展开式，然后将其简化为误差函数的导数，如下所示：

最后，必须添加这些错误以获得总错误。

经过迭代计算，我们可以收敛到最终结果。

两个帧之间相应点的光流关系可用于估计3D速度。

其中，点p是使用校准相机的投影方程式从3D点P在图像平面上的投影。

或矢量记法

区分wrt时间收益：

光流场矢量可以分为平移部分和旋转部分，如下所示：

如果存在3个非共线的光流向量和深度，则可以求解3D速度。

通过将翻译部分跨越的线相交，我们可以获得扩展焦点（FOE），也称为Epipole：

我们可以如下设置碰撞时间

与FOE处于相同径向距离的点的流动矢量长度与反深度成比例。

我们可以获得以下共面条件

这表示像点，流量和线速度都在同一平面上。

我们可以从两点获得V：

从n个点得到一个齐次系统

V是A的零空间，可以从SVD获得。

对于平移和旋转情况，我们可以重写：

可以线性写成反深度和Ω。

对于n点，我们可以写出一个方程组。

对于Φ，矩阵是2N x（N + 3）矩阵，并且是V的函数。

如果我们求解反深度和Ω的未知矢量，则会得到。

我们可以将其插入目标函数中。

在球上搜索得到V：

参考文献

Robotics: Perception Coursera ,Université de Pennsylvanie

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