贪心算法-纸币问题

从一个生活问题谈起　　

先来看看生活中经常遇到的事吧——假设您是个土豪，身上带了足够的1、5、10、20、50、100元面值的钞票。现在您的目标是凑出某个金额w，需要用到尽量少的钞票。　

依据生活经验，我们显然可以采取这样的策略：能用100的就尽量用100的，否则尽量用50的……依次类推。在这种策略下，666=6×100+1×50+1×10+1×5+1×1，共使用了10张钞票。

function main () {  const RMB = [100, 50, 20, 10, 5, 1] // 钞票金额  const NUM = 6 // 6种面值  let x = 666  let count = 0  for (let i = 0; i < NUM; i++) {    let use = Math.trunc(x / RMB[i])    count += use    x = x - RMB[i] * use    console.log(`${use}张${RMB[i]}`)  }  console.log(`总共需要${count}`)  return count}

这种策略称为“贪心”：假设我们面对的局面是“需要凑出w”，贪心策略会尽快让w变得更小。能让w少100就尽量让它少100，这样我们接下来面对的局面就是凑出w-100。长期的生活经验表明，贪心策略是正确的。　　

但是，如果我们换一组钞票的面值，贪心策略就也许不成立了。如果一个奇葩国家的钞票面额分别是1、5、11，那么我们在凑出15的时候，贪心策略会出错：　

15=1×11+4×1 （贪心策略使用了5张钞票）

15=3×5 （正确的策略，只用3张钞票）

为什么会这样呢？贪心策略错在了哪里？

鼠目寸光。　

刚刚已经说过，贪心策略的纲领是：“尽量使接下来面对的w更小”。这样，贪心策略在w=15的局面时，会优先使用11来把w降到4；但是在这个问题中，凑出4的代价是很高的，必须使用4×1。如果使用了5，w会降为10，虽然没有4那么小，但是凑出10只需要两张5元。　　

在这里我们发现，贪心是一种只考虑眼前情况的策略。

那么，现在我们怎样才能避免鼠目寸光呢？

重新分析刚刚的例子。w=15时，我们如果取11，接下来就面对w=4的情况；如果取5，则接下来面对w=10的情况。我们发现这些问题都有相同的形式：“给定w，凑出w所用的最少钞票是多少张？”接下来，我们用f(n)来表示“凑出n所需的最少钞票数量”。

这给了我们一个至关重要的启示—— f(n) 只与 f(n -1),f(n - 5),f(n - 11) 相关， 更确切地说：

f(n) = min{f(n -1),f(n - 5),f(n - 11)} + 1

这个式子是非常激动人心的。我们要求出f(n)，只需要求出几个更小的f值；既然如此，我们从小到大把所有的f(i)求出来不就好了？注意一下边界情况即可。代码如下：

function coinChange (coins, amount) {  const Max = amount + 1  const dp = new Array(amount + 1)  dp.fill(Max)  dp[0] = 0  for (let i = 1; i <= amount; i++) {    for (let j = 0; j < coins.length; j++) {      if (coins[j] <= i) {        dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1)      }    }  }  return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount]}console.log(coinChange([1, 5, 11], 15)) // 3种

f(n) 只与 f(n -1),f(n - 5),f(n - 11) 相关。 

我们只关心 f(w) 的值，不关心是怎么凑出w的。

这两个事实，保证了我们做法的正确性。它比起贪心策略，会分别算出取1、5、11的代价，从而做出一个正确决策，这样就避免掉了“鼠目寸光”！

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