你管这破玩意叫泰勒公式
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2024-04-12 01:08
小宇：闪客闪客，我今天被人欺负了！
闪客：谁欺负你了！说出来我找他... 道个歉...
小宇：你他喵。
闪客：开玩笑，说说怎么欺负你了？
小宇：那个人考我背泰勒公式，结果我没背出来，被嘲笑了！我是不是太笨了呀？
闪客：当然不是，泰勒公式是很多人的噩梦，不信你看看投票。
小宇：好吧，我应该是除了名字之外什么都不知道的那一波了。你能不能给我讲讲，让我一下子就把它记住呀？
闪客：当然可以，你现在有空吗？随时可以开始。
小宇：有空，我们开始吧！
合理的猜测
闪客：我问你一个问题，在不用计算器，也不知道 e 的具体值的情况下，如何计算下面这个数？
小宇：不会
闪客：你能不能想想再说！
小宇：你凶什么凶！我想想哈，e 的 0.1 次方，emmm，应该和 e 的 0 次方差不太多吧？
闪客：非常好！那么这个数应该是比 1 大还是比 1 小呢？
小宇：这个简单，我记得 f(x) = ex 这个函数图像应该是一个向上弯弯的曲线，指数越大函数值就越大，所以应该至少比 1 大。
闪客：非常好，你现在已经找到了 e0.1 的一个近似值，就是 1，而且还能确定 e0.1 应该是一个比 1 要大的数。这已经是一个非常大的突破了！
小宇：真的假的，这好像还挺显然的。
切线更近
闪客：的确，下面我们就一点一点往下探索，你能不能再找一个比 1 更大一些的下限值呢？
小宇：额，这好像有点难，但我觉得，应该也可以比 1.01 大吧，实在不行就 1.00001。不过我瞎蒙的。
闪客：没关系，我给你一个小动图，看看能不能启发你。
小宇：啊！我明白了，刚刚我们的估算太保守了，f(x) = ex 的曲线一定是在 g(x) = 1 的上方，但我们可以往上倾斜一下这条线，让这条线更接近 ex 但又始终在其下方，这样我们估算出的值应该就更大一些了！
闪客：没错，你想想看如何倾斜这条线，才能尽可能实现你的这种效果呢？
小宇：我知道了，是切线！切线依然永远比 ex 要小，而且是最大程度的倾斜了，再往上斜一点的话就可能比 ex 大了。
闪客：没错，这就是个很直观的描述了，你再想想看，这条切线的方程你能求出来吗？
小宇：这个简单，就是让这条线和 ex 在 0 点处的导数值一样！因为 ex 在 0 点处的导数值是 1，所以很容易算出这条切线的方程！
闪客：没错，这样新的下限值也就很容易算出来了，也就是 g(0.1) = 1.1，我说得对吗？
小宇：是的！足足提高了 0.1！太厉害了！
曲线更更近
闪客：现在我们来重新梳理一下思绪。其实上面的过程，换个角度想，可以理解为两个函数分别从 0 点出发到 0.1 或者更远的地方。那么怎么尽可能保证，你的这个函数和 f(x) = ex 这个函数尽可能一样呢？
小宇：明白了，按照刚刚的思路，那最起码应该先保证两者在 0 处的函数值一样，也就是让他们在同一起跑线上。
闪客：没错，继续说。
小宇：在这个的基础上，应该保证这两个函数在 0 点处的变化率一样，即导数相同。也就是让他们在同一起跑线上以相同的速度往前跑。
闪客：OK，这就得到了我们刚刚所说的切线。那你再想想看，为什么他们俩的起跑线一样，起跑速度也一样，但是两者仍然不一样呢？
小宇：哦我明白了，因为 f(x) = ex 的变化率是越来越大的，而 g(x) = 1 + x 的变化率一直保持不变。也就是说其中一个在加速跑，越跑越快！
闪客：没错，所以我们不但要保证它们的变化率（速度）一样，还得保证它们变化率的变化率（加速度）一样，也即二阶导一样！
小宇：原来如此！不过 g(x) = 1 + x 的二阶导好像永远等于 0，不可能和 ex 一样，这可怎么办？
闪客：没关系，再增加一项咯，你看看下面这个函数。
小宇：哦明白了！增加了一个二次项，那么二阶导就无法把它完全导没。而且上面这个函数的二阶导是 1，刚好和 ex 的二阶导完全一样！
闪客：嘿嘿是的，我直接帮你算好了，正常应该是算一下这个系数 a 的。
小宇：明白，详略得当！下面不劳你费心了，我画一下函数图像看看！
闪客：嗯，这个图画的很棒！可以看到，新的函数确实比之前更逼近了！那接下来是不是不用我说你也知道我要说啥啦？
小宇：是的！接下来我们就让它们的 3 阶导、4 阶导、5 阶导一直相等下去，那么就可以无限逼近了！
闪客：没错！
小宇：我太牛了！
发现规律
闪客：好了，刚刚我们是直接凭感觉找到的一些列函数，那我们现在整理一下，看看能不能找到规律。
小宇：没问题，我来说吧！其实我们刚刚是在用多项式函数来逼近，通用的形式是下面这个样子，并且它们的各阶导数只与对应项系数有关，这是个很神奇且方便的地方！
闪客：没错！我们其实就想找一个上面这样的多项式函数，让它的函数图像和 ex 贴得非常近，最起码在 0 点的附近是这样的。
小宇：是的，而且我们刚刚分析和尝试过了，让两个函数贴得非常近，就相当于让两个函数在某点处的函数值一样，1 阶导一样，2 阶导一样，3 阶导也一样，等等等。
闪客：是的，这是一件很神奇的事情，两个函数一样，居然可以描述成函数值与各阶导一样。函数值和各阶导数值，似乎可以描述一个函数的样子。
小宇：这太神奇了，我们即便完全不知道函数表达式是什么，但只要知道了仅仅一个点的函数值和各阶导数值，就可以几乎精确地知道这个函数长什么样子了！
闪客：是的！那回到我们的主线，如何让这个多项式函数和 f(x) = ex 在 0 点附近一样呢？
小宇：就像刚刚说的，让 g(x) 和 f(x) 在 0 点处的函数值和各阶导数值一样！
闪客：没错！而且你也发现了，这个多项式函数的 n 阶导数只和 n 次项系数有关，然后 ex 的各阶导数都是 ex 本身不变。这计算起来可真是太方便了！
小宇：对呀！我已经算好了！把它们都代入回 g(x) 里就得出了
这个函数图像和 f(x) = ex 是非常近似的，所以计算 e0.1 可以通过计算 g(0.1) 来得到答案，算的项数越多应该越精确！
闪客：没错！如果 n 趋向于无穷大时，g(x) 甚至可以和 ex 完全相同。但如果只计算到有限的一个 n 次项，那后面的项可以当做 xn 的高阶无穷小量，记为 o(xn)，所以就可以写为：
把 ex 换成更一般的函数 f(x) 就是：
这就是函数 f(x) 在 0 点处的 泰勒展开式，也叫 f(x) 的 麦克劳林公式。
小宇：哇，原来这就是泰勒公式呀！
闪客：还没完，你想想看还有哪里不对劲？
泰勒公式登场
小宇：哦我知道了，刚刚我们算 ex 的泰勒展开式，是通过在 0 点处的各阶导数值来计算的系数，这是因为 ex 在零点处的各阶导数值非常好算，都等于 1。
闪客：是的。
小宇：那如果有的函数是在另一个点，比如在 x0 处更好计算各阶导数，这该怎么办呢？
闪客：你问到点上了。其实，上面在 0 点处的计算方法，完全可以扩展到在任意一个点 x0 处的计算。
小宇：我明白了！之所以在 0 处计算各阶导数，能够让 2 阶导只和 2 次项系数有关，3 阶导只和 3 次项系数有关，是因为低次项导着到着就消失了，高次项导完之后还剩下 x，那么代入 0 之后也没了。
拿 2 阶导来说，就是下面这个样子。
闪客：是的，低次项系数怎么着都会导没，所以无需关注。而高次项系数如果期望带入 x0 代没的话，那只需要构造一个 x-x0 就可以了。
回到原来的式子里，就是
这个公式就是 f(x) 的在 x0 点处的泰勒展开式，也叫做 泰勒公式！而 x0 = 0 只是其中的一个特例，刚刚说过了，叫做 麦克劳林公式！
小宇：哦，原来这个破玩意，就叫做泰勒公式呀！
严格的泰勒公式定义和其证明过程，可以参见《数学分析（第五版）华东师范大学》定理 6.9
闪客：怎么样这回记住了吧！
小宇：嗯嗯，明天我就找那个人算账去！
还没完
小宇：呜呜呜，我又被欺负了！
闪客：怎么了，泰勒公式不是记住了吗？
小宇：但是那个人问我好多更深奥的问题，我没想明白。
闪客：我知道了，他是不是问你，如果一个函数只有 N 阶可导，或者说甚至是不可导的，那还怎么用多项式函数逼近？
小宇：啊对！你怎么知道？
闪客：他是不是还问，为什么我在某一点周围研究如何逼近某个函数，却似乎可以做到即便不在这一点周围，也和这个函数非常接近？
小宇：啊对！你怎么知道？
闪客：他是不是还问，如果要精确计算 e 的数值，泰勒公式是最快的方法么？
小宇：啊！你全都猜对了！
闪客：简单，你请我吃个饭，我再给你讲讲。
--- 完 ---
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