名人论数学——数学的本质

任何一门数学分支，不管它如何抽象，总有一天会在现实世界中找到应用.

罗巴切夫斯基(Н.И.лобачевский，1792～1856，俄国数学家)是非欧几何的创始人之一，但他的工作在其所处的时代并未获得赞赏，反而遭到嘲弄和打击.去世后不久，人们发现大数学家高斯的手稿中记载了关于非欧几何的同类成果，他的思想才逐渐被接受.罗巴切夫斯基是一位杰出的教育家和管理者，创立了喀山数学学派和喀山数学教育学派，在无穷级数论（特别是三角级数）、积分学和概率论等方面均有出色的工作.罗巴切夫斯基反对康德的唯心主义观点，认为人们头脑里产生的概念来源于客观世界的物质运动.数学概念从现实世界抽象和概括出来，反映了诸多客观事物数量关系和空间形式方面的本质和共性.因此不管数学理论如何抽象，一定会在实际问题中得到应用.事实也是如此，他创造的非欧几何已在描述宇宙空间结构中得到某些应用.

使数学脱离实际需要，就好比把母牛关起来不让她接触公牛.

这是切比雪夫批评那些轻视数学应用的数学家时说出的一句非常经典的话.切比雪夫(П.Л.Чебьшев，1821～1894，俄国数学家、力学家)是彼得堡数学学派的创始人，其特点是将数学理论与自然科学技术的实践紧密结合，这使得他的许多科学创造都具有极其重要的实用价值.例如，他从研究机诫原理出发，建立了用多项式逼近连续函数的理论，创立了新的数学分支.关于科学与实践的关系，切比雪夫曾指出：“科学在实践中获得了正确的领导地位”，“科学本身在实践的影响下发展，又为实践开发了新的研究对象” .

尽管评论家大声叫喊：2加2应等于5；业余艺术家倾情哭诉：2加2应等于3；对数学家而言，2加2永远等于4.

数学最显著的特点是理论的严谨性，一般从两个方面考虑：一是数学推理的严格性，二是数学结论的确定性.惠斯勒的这句名言恰好幽默地说明了后者.惠斯勒(J．M．Whistler，1834～1903，美国画家)早年考入西点军校，I855年去巴黎，1859年定居英国，担任过不列颠美术家协会主席.代表作《在钢琴旁》、《白衣女郎》曾引起轰动.晚年作品追求东方趣味，画中少女常穿日本和服并摆上几件中国瓷器.作品还有铜版画《法国组画》、肖像画《母亲》及组画《泰晤士河》等.

在大多数学科里，一代人的建筑往往被另一代人所摧毁，一个人的创造被另一个人所破坏；唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加一层楼.

在讲解数学科学的特点时，一般人津津乐道的有三点：高度的抽象性、体系的严谨性、应用的广泛性，往往忽略了它的第四个特点：发展的连续性.对此，汉克尔提出了上述精彩论述，这也是数学与其他自然科学的显著差异.汉克尔(H. Hankel，1839～1873，德国数学家、数学史家)在复数和超复数理论、函数论、数学史等方面皆有所贡献.他修正了形式律的皮科克不变性，证明了任何超复数系都不能满足全部普通算术定律，强调点集的测度性质，系统阐述了黎曼可积性准则，讨论了函数的分类及各类函数的可积性，并提出构造以有理点为奇点函数的方法.汉克尔是著名的数学史家，其著作《近几世纪数学的发展》、《古代与中世纪数学史》等享有盛名，受到数学史家康托尔、卡约里、希思等的重视.

数学的本质在于它的自由.

康托尔（G.F.L.P.Cantor，1845～1918，德国数学家）注意到在数学发展进程中往往有些理论不能被普遍接受，如概率论.于是，他提出“数学的本质在于它的自由”，即不必受传统观念束缚，并于19世纪70年代提出无穷集合论.这种富有革命性的学术思想遭到同时代一些学者的反对和嘲笑，但也得到几位大数学家的支持，如戴德金、魏尔斯特拉斯、希尔伯特等.自20世纪20年代以来，集合论已享有很高的声誉，正如希尔伯特在1926年的一次讲话中强调指出的：“没有人能把我们从康托尔为我们创建的乐园中赶走！”罗素则把康托尔的工作称颂为“可能是这一时代所能夸耀的最巨大的工作” .

对于任何一种将一个学科与它的历史割裂开来的企图，我确信，没有哪一个学科比数学的损失更大.

与其他自然科学相比，数学的独特之处在于它是积累的科学，它本身就是历史的记录，或者说数学的过去融合于现在与未来之中.正是为了强调数学史的重要性，格莱舍说出以上名言.格莱舍(J.W.L．Glaisher，1848～1928，英国数学家、天文学家)1867年入剑桥大学三一学院读书，毕业后留校任教.一生未婚，致力于科学研究，共发表近400篇文章和笔记.1871年担任《数学信使》编辑，1878年兼任《数学季刊》编辑.主要贡献在特殊函数（特别是椭圆模函数）理论和数学史等方面，另外对天文学也有研究.1884年任伦敦数学学会理事长，1901年任皇家天文学会理事长.他还是英国皇家学会及其他若干科学团体成员.

数学是最古老的科学之一，然而它又是最活跃的科学之一，因为它的力量来自永葆青春的活力.

18世纪的数学家曾对未来的数学感到茫然，1781年拉格朗日给达朗贝尔的信颇有代表性：“在我看来，似乎（数学的）矿井已经挖掘得很深了，除非发现新的矿脉，否则迟早势必放弃它.”然而数学在新世纪里的确发现了新的矿脉，产生了一大批新的分支.不仅如此，数学组织与刊物迅猛发展，数学家人数急剧增长，数学思想日新月异，数学应用日益广泛.数学“不断地用它扎在思维和自然中的深根获取营养”，正如福塞思形容的那样“它的力量来自永葆青春的活力” .福赛思（A.R.Forsyth，1858～1942，英国数学家）1877年就学于剑桥大学三一学院.1881年毕业时以数学优异成绩留校执教.1886年当选为皇家学会会员.他的名作《函数论》被认为是自牛顿《原理》以来对英国数学影响较大的专著之一，对数学现代化起了引导作用.另外著有《变分学》、《理想空间的内蕴几何学》等书.

这是一个可靠的规律，当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时，他是在胡说八道.

数学的特点在于简洁，即将最复杂的东西用最简单明了的内容来表示，而不是使用模糊深奥的语言，这就是怀特黑德的观点.怀特黑德(A.N.Whitehead．1861～1947，英国逻辑学家、数学家、哲学家)1884年毕业于剑桥大学三一学院，1905年获科学博士学位.先后任教于剑桥大学三一学院、伦敦大学学院和哈佛大学.曾获多种奖金，被选为皇家学会会员.怀特黑德主要贡献在数理逻辑和哲学方面，他和罗素被认为是数学基础三大学派之一的逻辑主义学派的创始人.他们合作的《数学原理》一书对逻辑主义学派的基本观点进行了论述，现已成为重要的历史文献.

数学不是算账和计数的技术，正如建筑学不是造砖伐木的技术，绘画不是调色的技术，地质学不是敲碎岩石的技术，解剖学不是屠宰的技术一样.

这是凯泽理解了数学的本质后，深入浅出说出的一句名言.凯泽(C.J.Keyser，1862～1947，美国数学家)1883年毕业于俄亥俄州师范大学.1901年获博士学位后在华盛顿大学、哥伦比亚大学等校任教，是美国科学发展协会和美国数学学会成员.著作有《新无穷与旧神学》、《数学哲学》等，对几何、逻辑和数学哲学都有贡献.

数学在用最不显然的方式证明最显然的事情.

波利亚（G.Polya，1887～1985，匈牙利一美国数学家、数学教育家）早年在布达佩斯、维也纳、格丁根、巴黎等地攻读数学、物理和哲学.1928年任瑞士联邦工学院数学教授.1940年移居美国，在斯坦福等大学执教.先后成为法国科学院、美国艺术与科学研究院、匈牙利科学院、美国科学院等成员.他在概率论、组合数学、图论等多个领域有建树，而影响最大的是他丰富的数学教育思想.他十分重视从小培养学生的解题能力，始终把高深的数学研究与数学的普及教育结合起来.相关名著《怎样解题》(1944)、《数学与合情推理》(1954)和《数学的发现》(1962～1965)风靡世界，多次修订，并被译为多种文字.其中仅中文就有数个版本，促进了我国数学教育改革和解题研究水平的提高.

严格性之于数学家，就如道德之于人.

韦伊（A.Weil, 1906-1998，法国数学家、数学史家）是20世纪最有影响的纯粹数学家之一，是公认的布尔巴基学派的精神领袖.20世纪30年代末完成专著《拓扑群的积分及其应用》，其中反映出的数学结构主义体现了布尔巴基学派的观点，开辟了群上调和分析的新领域.40年代，建立了严整的代数几何学体系：1946年出版的《代数几何学基础》建立的代数几何方法对解决代数数论问题具有重要意义.1948年提出了韦伊猜想.这些工作推动了现代数学的发展.1979年韦伊荣获沃尔夫奖，1994年荣获基础科学方面的京都奖.在韦伊看来严格是数学家最根本的素养，在上述名言中他以类比的方法形象地揭示了“严格”的重要性.

数学的真谛就在于不断寻求用越来越简单的方法证明定理和解决数学问题.

加德纳(M.Gardner，1914～2010，美国数学科普作家)被誉为“数学园丁”，在杂志《科学美国人》每月一篇的专栏发表数学科普文章持续20年以上.他坚信自己所说的这一论断，所以创造的数学趣题往往出人意料，但又非常简单而合乎逻辑.他的作品也以深入浅出著称，使许多读者陶醉于数学乐园之中，并在改善数学的可接受性方面做出了重要贡献.其中最著名的有《关于无穷相对论》、《数学的奇迹和秘密》、《数学游戏和娱乐>、《数学的余暇》、《数学故事>等.译成中文的有《啊哈！灵机一动》、《引人人胜的数学趣题》、《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》、《矩阵博士的魔法数》等.

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