黎曼论弯曲空间的经典演讲

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日期：2020年08月16日

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来源：《物理双月刊》

1915 年，爱因斯坦基于他在狭义相对论提出的四维时空概念，发表了广义相对论，改变了我们对宇宙的看法。他说明时空中的翘曲与弯曲，乃是对质量与能量的响应。广义相对论的几何基础是由德国数学家黎曼（G. Riemann）于大约60 年前的研究所奠定的。

黎曼

1826 年，黎曼出生于现在的德国，家中有6 个小孩，他排行第二，父亲是路德教派的牧师，亲自教导儿子直到他10 岁为止。年轻的黎曼既害羞又神经质，但很有数学天赋，当他在汉诺威上中学时，他的数学好到有时超越了他的老师。1846 年，他父亲凑了足够的钱，送儿子去哥廷根大学就读。黎曼起先想要研读神学，以便帮忙维持家里的生计。但之后，他去上高斯（C. Gauss）和斯特恩（M. Stern）的课，他们都鼓励他改换研习科目。黎曼带着父母的祝福，于隔年转学到柏林大学，跟随当时几个最有名的数学家学习。

两年后，于1849 年，他回到哥廷根跟着高斯修习博士学位，于1851 年完成复变量理论的学位论文，这是我们现在所说黎曼曲面的基础，高斯形容黎曼论文的报告有着“极其辉煌的独创性”。两年后，黎曼为了求取哥廷根大学的教职而需要做演讲时，高斯给他这位耀眼的学生所指定的讲题是几何的基础，这对资浅的数学家来讲似乎是乏味的题目。

虽然黎曼对演讲有恐惧症，然而他并未让他的指导教授失望。他利用此机会发展出一个更高维的极度原创理论，在1854 年6 月10 日的演说“论几何基础上的假说”中，他描述包含如何测定空间曲率的可行定义。此演说在1866 年他去世后两年才发表出来，现在被视为几何学上最重要的研究成果之一。

黎曼的演说包括两个部分，第一、我们如何定义一个n 维空间，产生黎曼空间和黎曼张量的定义，这奠定了黎曼几何领域的基础。第二、黎曼讨论真实空间的维度，以及该用什么几何来加以描述。

黎曼的演说轰动成功，虽然他的观念太高深，只有高斯能完全领会其深奥。毕竟高斯在他学术生涯中曾研究过二维表面的理论，所以能精确地以数学来评量曲率。高斯以前便曾思考推想空间的可能曲率，他于1824 年给施维卡特（F. Schweikart）的一封信中坦言说：“我不时会开玩笑地表示，希望欧几里得几何是不正确的。”

高斯证明说，在二维空间中，需要单一数值来说明附近一点的曲率（高斯曲率），黎曼将此概念延伸到任何维度的空间，证明需要6 个数值来描述三维空间任一点的曲率（黎曼度量），四维空间则需20 个数值。黎曼曲率张量则只是空间任一点描述其曲率数值的总和。

黎曼继续在其它领域例如分析、数论，以及复数流形理论等方面作出宝贵的贡献。虽然哥廷根大学于1857 年聘任他为带薪教授，但他的师长努力为他在哥廷根争取讲座职位，皆未能成功。那一年他发表Abel函数的研究论文，以接续他的博士论文，并进一步延伸他在黎曼曲面的拓扑性质的概念。他终于在1859 年获聘为哥廷根大学数学系的讲座教授，并被选入柏林科学院。1862 年，他和妹妹的朋友结婚，生了一个女儿。

然而，他在生活和职业方面的幸福快乐皆很短暂。黎曼的身体一向不好，结婚后那年他罹患重感冒，导致肺结核。那年冬天，他到温暖的西西里岛避寒，但却没完全康复。因为健康恶化，后来几年他来回于哥廷根和意大利，于1866 年7 月20 日病逝，享年39 岁，当时他正在意大利有名的马焦雷湖边调养身子。有人猜测，他的管家在他死后整理他的办公室时，很可能丢弃了几份未发表的研究。

黎曼在数学和物理方面的影响力一直未减，爱因斯坦后来观察黎曼的研究后说：“物理学家的思考方式仍和他很不一样。”

“只有黎曼的天才，当年孤独而无人理解，终于克服万难，在上世纪中成就了空间的新概念，让空间不再僵硬，且被认知可以参与物理事件并产生影响。”现在数学家仍努力思考他的概念所带来意想不到的结果。

除了爱因斯坦外，黎曼对几何学重大的贡献很可能也鼓舞了卡罗尔（L. Carroll，笔名），即牛津大学数学教授道奇森（C. Dodgson），在创作《爱丽丝梦游仙境》（Alice in Wonderland）和《爱丽丝镜中奇遇》（Through the Looking Glass）两本儿童文学作品的灵感。道奇森实际是传统的欧几里得派，他喜欢欧几里得的平面空间。道奇森为爱丽丝在很多方面所创造出虚幻世界的荒谬，反映出19 世纪末数学界知识的遽变，而致学者得费力地思考混乱的、充满弯曲空间与虚构数目的镜中世界。

■萧如珀、杨信男/译

■译自 APS News，2013 年6月

( 本文转载自2016 年6 月《物理双月刊》

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