【算法】894- 图文并茂讲解堆排序

前言

文中用 JavaScript 实现算法，详细解释堆排序 js 中堆的创建与维护，以及堆排序算法的实现堆创建。

理论

堆，是具有下列性质的完全二叉树：每个节点的值都小于等于其左右孩子节点值是小根堆；（大于等于则是大根堆）。批注：有些参考书将堆直接定义为序列，但是，从逻辑结构上讲，还是将堆定义为完全二叉树更好。虽然堆的典型实现方法是数组，但从逻辑的角度上讲，堆实际上是一种树结构。

对于数组实现的堆，是一个完全二叉树，其中任意一个节点 i 都满足以下公式

• Parent(i) = floor((i-1)/2)，i 的父节点下标
• Left(i) = 2i + 1，i 的左子节点下标
• Right(i) = 2(i + 1)，i 的右子节点下标

思路

• 此思路用于将任意数组调整成大根堆
• 首先将数组想象成是一个完美二叉树
• 我们的目的是将这个二叉数调整成大根堆，即每个节点的值都大于等于其左右孩子节点值
• 首先，寻找到最后一个根节点，此根节点有一个孩子是数组的最后一个元素
• 然后找出大的孩子节点与根节点对比，如果大的孩子节点比根节点大，则将根节点与大的孩子节点互换，保证根节点最大
• 接着向前遍历根节点
• 对每个根节点，都首先找出比较大的孩子节点，然后将大的孩子节点与根节点对比
• 如果孩子节点比根节点大，那么将孩子节点与根节点互换
• 然后将互换后得到新值的孩子节点作为新的根节点，将其与它自己的子节点再重复以上对比，以此进行深度遍历的重复操作，直到此相关树上的根节点都比孩子节点大为止
• 深度遍历操作完后，继续执行前面的根节点遍历操作，直到遍历到最后一个根节点

例子

• 现有数组 arr = [5,8,3,5,2,99,22,44]，将其调整为大根堆
• 数组可以表示堆即完美二叉树，因此将其转化成完美二叉树理解(此处可自行搜索，完美二叉树用数组表示)，如下图所示

• 寻找最后一个根节点，用 i 表示，从 arr.length / 2 作为初始值向前查找
• 当 i = arr.length / 2 = 4 时没有孩子节点，所以它不是根节点
• 向前遍历节点，当 i = 3 时，它拥有孩子节点 arr[arr.length - 1]，所以 arr[3] = 5 就是我们想找的最后一个根节点
• 此时我们可以得最后一颗子树，如下图标记所示

• 然后我们针对这颗子树进行调整操作

• 
  
• 找到最大的孩子节点，用 child 表示，此时只有一个孩子节点 arr.length - 1，所以 child = arr.length - 1 = 7
• 将 child 与根节点（i = 3）对比，如果 child 的值 i 的值大，则互换值
• 此处 child 比 i 的值大所以互换值，child 的值改为 5，i 的值改为 44
• 由于 child 没有孩子节点所以不进行更深层次的遍历

• 操作完之后如下图所示

• 然后向前继续寻找根节点，当 i = 2 的时候，我们将找到一颗新的子树

• 对这颗找到的树进行调整操作

• 
  
• 寻找大的孩子节点，用 child 表示，由图可知最大的孩子节点的值为 99，所以 child = 5
• 当前的根节点 i = 2，由于 child 的值比 i 的值大，所以互换
• 同时由于 child 后面没有孩子节点，所以结束操作

• 上面操作后可得到下图所示的树

• 继续向前寻找根节点，当 i = 1 的时候，我们找到一颗新的树

• 对这颗树进行调整操作，此时 i = 1，child = 3

• 
  
• 按照上面步骤，首先互换 child 和 i 的值

• 
  
• 然后由于 child 有孩子节点，所以将 i 指向 i，将 child 指向它自己的孩子节点
• 得到 i = 3， child = 7 重复比较操作，如果孩子节点比根节点大互换值
• 此处 arr[i] = 8，arr[child] = 5 根节点比孩子节点大，所以不替换
• 最终得到的树如下图所示

• 继续向前遍历，得到最后一颗新树，根节点为 i = 0

• 对这颗树进行调整操作

• 
  
• 此时 i = 0
• 先寻找 child = 2，arr[child] = 99
• arr[child] = 99 > arr[i] = 5，互换得到 arr[child] = 5，arr[i] = 99

• 
  
• 由于 child 有孩子节点，所以对 child 的孩子节点进行深度调整
• i = child = 2，child = 2 * i + 1 = 5
• 由于此时有左右两个孩子节点，索引分别为 5 和 6，并且索引为 6 的节点值比较大，所以 child 更改为 6
• 比较 i 与 child 的值
• arr[i] = arr[2] = 5 小于 arr[child] = arr[6] = 22
• 所以进行值互换，得到 arr[i] = 22，arr[child] = 5

• 
  
• 此时 child 没有孩子节点，停止深度调整
• 最终得到大根堆如下图所示

• 用数组进行表示则为：[99, 44, 22, 8, 2, 3, 5, 5]

代码

/**
 *  此代码建议 mock 数据，并将其绘制成完美二叉树，参照二叉树进行阅读
 */
function buildHeap(data){
    let len = data.length
        // 从最后一个根节点开始，向前遍历所有根节点
    // 取 len / 2 作为 i 的初始值，是因为最后一个孩子节点是 len - 1
    // 它可能是左孩子也可能是右孩子，那么可以根据公式算出对应的根节点
    // 它一定在 len / 2 附近，且小于 len / 2
    for(let i = Math.floor(len / 2); i >= 0; i --){
       heapAjust(data, i, len);
    }
}

/**
 * 调整操作
 * 根据传入的数据调整二叉树
 * i 为根节点的 key
 * len 为需调整数据的长度
 */
function heapAjust(data, i, len){
    // 寻找 i 的左孩子
    let child = 2 * i + 1
        // 如果 child 大于 len 说明 i 不是根节点
    while(child < len) {
                // 比较两个孩子节点，将 child 指向大的那个
        if(child + 1 <= len && data[child] < data[child + 1]){
            child = child + 1
        }
        // 如果孩子节点比根节点大，两个节点互换
        if(data[i] < data[child]){
                        let temp = data[i]
            data[i] = data[child]
            data[child] = temp 
            // 互换之后将被更新的孩子节点继续作为根节点，进行深度查找
            i = child
            child = 2 * i + 1
        }
        else {
            break
        }
    }
}

堆排序

思路

• 先将整个数组调整成大根堆
• 则数组的第一个元素最大，将其与数组最后一个元素替换，此时大根堆被破坏
• 重新调整前 length - 1 个元素，将它们调整成新的大根堆
• 以此循环，直到堆中的元素只有一个时

代码

var arraySort = function(arr) {
    // 将数组调整成大根堆
    buildHeap(arr);
    // 下面需要注意的时候参数的边界
    for(let i = arr.length - 1; i >= 0; i --) {
        // 互换数据
            let temp = arr[i]
        arr[i] = arr[0]
        arr[0] = temp 
                // 将前面的元素重新调整成大根堆
        heapAjust(arr, 0, i-1);
    }
}

总结

• 堆排序是不稳定的
• 在寻找前几个值最大的场景中比较好用