Go 数据结构和算法篇（七）：归并排序

一、实现原理

今天介绍比前面三种排序算法性能更好的排序算法 —— 归并排序。

所谓归并排序，指的是如果要排序一个数据序列，我们可以先把该序列从中间分成前后两部分，然后对这两部分分别做排序操作，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数据序列就都有序了。

归并排序使用了分治思想，分治，顾名思义，就是分而治之，将一个大问题分解成小的子问题来解决。说到这里，可能你会联想起我们之前讲到的一个编程技巧 —— 递归，没错，归并排序就是通过递归来实现的。这个递归的公式是每次都将传入的待排序数据序列一分为二，直到变成不能继续分割的最小区间单元，然后将最小区间单元数据排序后合并起来，最终返回的就是排序好的数据序列了。图示如下：

由于涉及到递归，所以归并排序从理解上要比前面三个排序要困难一些，还是建议通过这个动态图帮助理解：https://visualgo.net/zh/sorting（在界面顶部选择归并排序，然后在左下角点击执行即可）。

二、示例代码

通过上面的分析，我们知道归并=递归+合并，对应的 Go 实现代码如下：

package main

import (
    "fmt"
)

// 归并排序
func mergeSort(nums []int) []int {
    if len(nums) <= 1 {
        return nums
    }

    // 获取分区位置
    p := len(nums) / 2
    // 通过递归分区
    left := mergeSort(nums[0:p])
    right := mergeSort(nums[p:])
    // 排序后合并
    return merge(left, right)
}

// 排序合并
func merge(left []int, right []int) []int {
    i, j := 0, 0
    m, n := len(left), len(right)
    // 用于存放结果集
    var result []int
    for {
        // 任何一个区间遍历完，则退出
        if i >= m || j >= n {
            break
        }
        // 对所有区间数据进行排序
        if left[i] <= right[j] {
            result = append(result, left[i])
            i++
        } else {
            result = append(result, right[j])
            j++
        }
    }

    // 如果左侧区间还没有遍历完，将剩余数据放到结果集
    if i != m {
        for ; i < m; i++ {
            result = append(result, left[i])
        }
    }

    // 如果右侧区间还没有遍历完，将剩余数据放到结果集
    if j != n {
        for ; j < n; j++ {
            result = append(result, right[j])
        }
    }

    // 返回排序后的结果集
    return result
}

func main() {
    nums := []int{4, 5, 6, 7, 8, 3, 2, 1}
    sortedNums := mergeSort(nums)
    fmt.Println(sortedNums)
}

运行上述代码，打印结果如下：

三、性能分析

最后我们来看下归并排序的性能：

• 归并排序不涉及相等元素位置交换，是稳定的排序算法；

• 时间复杂度是 O(nlogn)，要优于冒泡排序和插入排序的 O(n²)；

• 归并排序需要额外的空间存放排序数据，不是原地排序，最多需要和待排序数据序列同样大小的空间，所以空间复杂度是 O(n)。

归并排序的时间复杂度推导过程

归并的思路是将一个复杂的问题 a 递归拆解为子问题 b 和 c，再将子问题计算结果合并，最终得到问题的答案，这里我们将归并排序总的时间复杂度设为 T(n)，则 T(n) = 2*T(n/2) + n，其中 T(n/2) 是递归拆解的第一步对应子问题的时间复杂度，n 则是排序合并函数的时间复杂度（一个循环遍历），依次类推，我们可以推导 T(n) 的计算逻辑如下：

T(n) = 2*T(n/2) + n
        = 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
        = 4(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
        = ...
        = 2^k*T(n/2^k) + k*n

递归到最后，T(n/2^k)≈T(1)，也就是 n/2^k = 1，计算归并排序的时间复杂度，就演变成了计算 k 的值，2^k = n，所以 k=log₂n，我们把 k 的值带入上述 T(n) 的推导公式，得到：

T(n) = n*T(1) + n*log2n = n(C + log2n)

注：上述公式中 2 是下标，即 log₂n。

把常量和低阶忽略，所以 T(n) = nlogn。