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引言

本着“凡我不能创造的，我就不能理解”的思想，本系列文章会基于纯Python以及NumPy从零创建自己的深度学习框架，该框架类似PyTorch能实现自动求导。
要深入理解深度学习，从零开始创建的经验非常重要，从自己可以理解的角度出发，尽量不适用外部完备的框架前提下，实现我们想要的模型。本系列文章的宗旨就是通过这样的过程，让大家切实掌握深度学习底层实现，而不是仅做一个调包侠。

上篇文章对Softmax逻辑回归进行了简单的介绍，本文我们就来从零实现Softmax逻辑回归。

实现Softmax函数

首先我们实现Softmax回归的灵魂：

def softmax(x, axis=-1):
    y = x.exp()
    return y / y.sum(axis=axis, keepdims=True)

实现交叉熵损失函数

def cross_entropy(input: Tensor, target: Tensor, reduction: str = "mean") -> Tensor:
    N = len(target)

    p = softmax(input)

    errors = - target * p.log()
    # errors = - p[np.arange(N), target.data].log()

    if reduction == "mean":
        loss = errors.sum() / N
    elif reduction == "sum":
        loss = errors.sum()
    else:
        loss = errors
    return loss

这里调用刚才实现的softmax函数把输入input转换成概率，所以这里的输入实际上是logits，即未经过Softmax的值。

然后我们基于此实现损失类：

class CrossEntropyLoss(_Loss):
    def __init__(self, reduction: str = "mean") -> None:
        super().__init__(reduction)

    def forward(self, input: Tensor, target: Tensor) -> Tensor:
        return F.cross_entropy(input, target, self.reduction)

实现Softmax回归

class SoftmaxRegression(Module):
    def __init__(self, input_dim, output_dim):
        self.linear = Linear(input_dim, output_dim)

    def forward(self, x: Tensor) -> Tensor:
        # 只要输出logits即可
        return self.linear(x)

这里只需要计算出的结果即可。

使用Softmax回归分类鸢尾花

我们加载sklearn中的iris数据集。

鸢尾花如上所示，有4个特征：

Sepal.Length（花萼长度）
Sepal.Width（花萼宽度）
Petal.Length（花瓣长度）
Petal.Width（花瓣宽度）

有三个类别：Iris Setosa（山鸢尾）、Iris Versicolour（杂色鸢尾），以及Iris Virginica（维吉尼亚鸢尾）。

为了可视化的方便，我们先只考虑两个特征，可视化结果如下：

从上图可以看到，只考虑前两个特征的情况下，橙色店和绿色点看起来不太好分，这暂且不管，我们先写代码，硬Train一发。

def generate_dataset(draw_picture=False):
    iris = datasets.load_iris()

    X = iris['data'][:, :2]  # 我们只需要前两个特征
    y = iris['target']
    names = iris['target_names']  # 类名
    feature_names = iris['feature_names']  # 特征名

    if draw_picture:
        x_min, x_max = X[:, 0].min() - 0.5, X[:, 0].max() + 0.5
        y_min, y_max = X[:, 1].min() - 0.5, X[:, 1].max() + 0.5

        plt.figure(2, figsize=(8, 6))
        plt.clf()

        for target, target_name in enumerate(names):
            X_plot = X[y == target]
            plt.plot(X_plot[:, 0], X_plot[:, 1],
                     linestyle='none',
                     marker='o',
                     label=target_name)
        plt.xlabel(feature_names[0])
        plt.ylabel(feature_names[1])
        plt.xlim(x_min, x_max)
        plt.ylim(y_min, y_max)

        plt.axis('equal')
        plt.legend()

        fig = plt.gcf()
        fig.savefig('iris.png', dpi=100)

    y = np.eye(3)[y]

    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, test_size=0.2, random_state=2)

    return Tensor(X_train), Tensor(X_test), Tensor(y_train), Tensor(y_test)


if __name__ == '__main__':
    X_train, X_test, y_train, y_test = generate_dataset(True)
    epochs = 2000

    model = SoftmaxRegression(2, 3)  # 2个特征 3个输出

    optimizer = SGD(model.parameters(), lr=1e-1)

    loss = CrossEntropyLoss()

    losses = []

    for epoch in range(int(epochs)):
        outputs = model(X_train)
        l = loss(outputs, y_train)
        optimizer.zero_grad()
        l.backward()
        optimizer.step()

        if (epoch + 1) % 20 == 0:
            losses.append(l.item())
            print(f"Train -  Loss: {l.item()}")

    # 在测试集上测试
    outputs = model(X_test)
    correct = np.sum(outputs.numpy().argmax(-1) == y_test.numpy().argmax(-1))
    accuracy = 100 * correct / len(y_test)
    print(f"Test Accuracy:{accuracy}")

为了验证泛化能力，我们这里还区分了训练集和测试集。

Train -  Loss: 0.9068448543548584
Train -  Loss: 0.8322725296020508
Train -  Loss: 0.7793639302253723
Train -  Loss: 0.740231454372406
...
Train -  Loss: 0.4532046616077423
Train -  Loss: 0.45260095596313477
Train -  Loss: 0.45200586318969727
Train -  Loss: 0.45141926407814026
Train -  Loss: 0.45084092020988464
Train -  Loss: 0.4502706527709961
Train -  Loss: 0.44970834255218506
Train -  Loss: 0.4491537809371948
Train -  Loss: 0.44860681891441345
Test Accuracy:76.66666666666667

如果我们考虑所有的特征准确率会不会很一点？

我们只要修改两行代码：

def generate_dataset(draw_picture=False):
    iris = datasets.load_iris()

    X = iris['data'] # 修改这里
    
# 修改模型的参数
model = SoftmaxRegression(4, 3)  # 4个特征 3个输出

再次训练查看结果：

Train -  Loss: 0.7530185580253601
Train -  Loss: 0.6372731328010559
Train -  Loss: 0.5648812055587769
Train -  Loss: 0.5048649907112122
Train -  Loss: 0.44937923550605774
Train -  Loss: 0.3961796164512634
Train -  Loss: 0.3457953631877899
Train -  Loss: 0.3021572232246399
Train -  Loss: 0.27336016297340393
...
Train -  Loss: 0.09917300194501877
Train -  Loss: 0.09881455451250076
Train -  Loss: 0.09846225380897522
Train -  Loss: 0.0981159582734108
Train -  Loss: 0.09777550399303436
Test Accuracy:100.0