“算法复杂度”——其实并没有那么复杂-轻识

算法是用于解决特定问题的一系列的执行步骤。使用不同算法，解决同一个问题，效率可能相差非常大。为了对算法的好坏进行评价，我们引入 “算法复杂度” 的概念。

1、引例：斐波那契数列（Fibonacci sequence）已知斐波那契数列：，求它的通项公式。

求解斐波那契数列的方法有很多种，这里只介绍两种：递归法和平推法。

package com.atangbiji;
public class Main {
  public static void main(String[] args) {    // 输出通项F(n)    System.out.println(fib1(1));    System.out.println(fib1(2));    System.out.println(fib1(3));    System.out.println(fib1(4));    System.out.println(fib1(5));    System.out.println(fib2(70));  }  /*   * 求斐波那契数列（Fibonacci sequence）   * F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）的通项F(n).   */
  /*   *  方法一：递归法   *  最高支持 n = 92 ，否则超出 Long.MAX_VALUE   * @param n    * @return f(n)    * */  public static long fib1(int n) {    if (n < 1 || n > 92)          return 0;    if (n < 3)      return 1;    return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);  }  /*   *  方法二：平推法   *  最高支持 n = 92 ，否则超出 Long.MAX_VALUE   * @param n    * @return f(n)    * */  public static long fib2(int n) {    if (n < 1 || n > 92)          return 0;
    //n:    1 2 3 4 5 ……    //F(n): 1 1 2 3 5 ……    long first = 1;    long second = 1;    for (int i = 3; i <= n; i++) {      long sum = first + second;      first = second;      second = sum;    }    return second;  }
}

通过测试，我们可以发现：当n的取值较大时（如：n = 60），若采用递推法计算则会发现迟迟不出结果，若采用平推法计算则可以秒出结果。由此可见， 平推法的效率明显高于递推法。

2、如何评估算法的好坏？

正确性
可读性
健壮性：对不合理输入的反应能力和处理能力。
时间复杂度（time complexity）： 估算程序指令的执行次数（执行时间）。
空间复杂度（space complexity）： 估算所需占用的存储空间。

注：一般情况下，我们主要考虑算法的时间复杂度。 （因为目前计算机的内存一般都比较大）

3、时间复杂度的估算我们可以用程序指令的执行次数来估算时间复杂度。例如：（1）函数test1

public static void test1(int n) {  //总执行次数 = 14  // 1（判断语句可以忽略）  if (n > 10) {    System.out.println("n > 10");  } else if (n > 5) {    System.out.println("n > 5");  } else {    System.out.println("n <= 5");  }  // 1 + 4 + 4 + 4  for (int i = 0; i < 4; i++) {    System.out.println("test");  }}

（2）函数test2

public static void test2(int n) {  //总执行次数 = 1 + 3n  //1 + n + n + n  for (int i = 0; i < n; i++) {    System.out.println("test");  }}

（3）函数test3

public static void test3(int n) {  //总执行次数 = 48n + 1  // 1 + 2n + n * (1 + 45)  for (int i = 0; i < n; i++) {    for (int j = 0; j < 15; j++) { // 1 + 15 + 15 + 15      System.out.println("test");    }  }}

（4）函数test4

public static void test4(int n) {  //总执行次数 = 3n^2 +3n +1  // 1 + 2n + n * (1 + 3n)  for (int i = 0; i < n; i++) {    for (int j = 0; j < n; j++) { // 1 + n + n + n      System.out.println("test");    }  }}

（5）★ 函数test5

public static void test5(int n) {  //总执行次数 = log2(n)  /*   * n = 2 , 执行 1 次   * n = 4 , 执行 2 次   * n = 8 , 执行 3 次    * */  while ((n = n/2) > 0) { // 倍速减小    System.out.println("test"); // 只考虑这一句的执行次数  }}

（6）函数test6

public static void test6(int n) {  //总执行次数 = log5(n)  while ((n = n/5) > 0) {    System.out.println("test"); // 只考虑这一句的执行次数  }}

（7）函数test7

public static void test7(int n) {  //总执行次数 = 3n*log2(n) + 3log2(n) + 1  // 1 + 2 * log2(n) + log2(n) * (1 + 3n)  /*   * n = 2 , 执行 1 次   * n = 4 , 执行 2 次   * n = 8 , 执行 3 次    * */  for (int i = 1; i < n; i += i) { // i = i + i = i * 2（倍速增大）    for (int j = 0; j < n; j++) { // 1 + n + n + n      System.out.println("test");    }  }}

4、大O表示法为了进一步简化复杂度的计算，我们一般使用大O表示法来描述时间（或空间）复杂度。它表示的是 数据规模为n 时算法所对应的复杂度。

大O表示法的性质：

（1）可以忽略常数、常系数和低阶项。

（）
（）
（）

（2）对数阶一般省略底数，统称 。注：大O表示法仅仅只是一种粗略的分析模型，是一种估算。 它能帮我们快速了解一个算法的执行效率。

5、常见的复杂度

其中：

当数据规模较小时， 各复杂度对应的曲线如下图所示。
当数据规模较大时， 各复杂度对应的曲线如下图所示。

所以，当数据规模比较大时，复杂度为我们就很难接受了。
6、斐波那契数算法复杂度分析

（1）递归法

public static long fib1(int n) {  if (n < 1 || n > 92)        return 0;  if (n < 3)    return 1;  return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);}

假设计算时和的值已经得到，我们可以发现该函数每次执行的时间主要取决于求和运算。因此，该算法函数指令的执行次数等价于该函数被递归调用次数。当时，该函数的调用过程如下图所示。

所以，该函数被递归调用的次数二叉树的节点数。即：。因此，该算法的复杂度为。注：细心的同学可能会发现，当时，函数被递归调用的次数并不完全等于。这里需要说明的是：复杂度是一种估算，我们关心的不是具体的数值，而是量级和趋势。 所以，呈指数级增长的趋势是毋庸置疑的。

（2）平推法

public static long fib2(int n) {  if (n < 1 || n > 92)        return 0;  //n:    1 2 3 4 5 ……  //F(n): 1 1 2 3 5 ……  long first = 1;  long second = 1;  for (int i = 3; i <= n; i++) {    long sum = first + second;    first = second;    second = sum;  }  return second;}

显然，平推法的时间复杂度为。

7、算法的优化方向（1）用尽量少的执行步骤（运行时间）。（2）用尽量少的存储空间。（3）根据情况，空间换时间或者时间换空间。更多关于复杂度的知识，我们会在后续数据结构和算法的设计与实现过程中穿插讲解。

有道无术，术可成；有术无道，止于术

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