Introduction to Stochastic Integration

A highly readable introduction to stochastic integration and stochastic differential equations, this book combines developments of the basic theory with applications. It is written in a style suitable for the text of a graduate course in stochastic calculus, following a course in probability.

Using the modern approach, the stochastic integral is defined for predictable integran...

A highly readable introduction to stochastic integration and stochastic differential equations, this book combines developments of the basic theory with applications. It is written in a style suitable for the text of a graduate course in stochastic calculus, following a course in probability.

Using the modern approach, the stochastic integral is defined for predictable integrands and local martingales; then It’s change of variable formula is developed for continuous martingales. Applications include a characterization of Brownian motion, Hermite polynomials of martingales, the Feynman–Kac functional and the Schrödinger equation. For Brownian motion, the topics of local time, reflected Brownian motion, and time change are discussed.

New to the second edition are a discussion of the Cameron–Martin–Girsanov transformation and a final chapter which provides an introduction to stochastic differential equations, as well as many exercises for classroom use.

This book will be a valuable resource to all mathematicians, statisticians, economists, and engineers employing the modern tools of stochastic analysis.

The text also proves that stochastic integration has made an important impact on mathematical progress over the last decades and that stochastic calculus has become one of the most powerful tools in modern probability theory.

—Journal of the American Statistical Association

An attractive text…written in [a] lean and precise style…eminently readable. Especially pleasant are the care and attention devoted to details… A very fine book.

—Mathematical Reviews

钟开莱（Kai Lai Chung）1917年生于上海，浙江杭州人。1936年考入清华大学，先在物理系学习，后因与时任西南联合大学（随着抗日西迁重庆，清华等合并为西南联大，重组于云南昆明）理学院院长的吴有训“有所不快”转入数学系，1940年数学系本科毕业。研究生期间，先师从华罗庚学习数论，后因与之“有所不快”，转投中国概率论与数理统计研究开拓者许宝騄学习概率论。1942年清华大学（西南联大）数学系研究生毕业。1942年至1945年任昆明西南联合大学数学系助理教员。1944年考取第六届庚子赔款公费留美奖学金，1945年底赴美国普林斯顿大学留学，用两年时间于1947年获普林斯顿大学博士学位，师从当时正在普林斯顿大学访问的瑞典斯德哥尔摩大学教授、统计理论巨匠哈拉尔德·克拉梅尔（Harald Cramér），博士论文答辩委员会成员还有著名统计学家、快速傅里叶...

钟开莱（Kai Lai Chung）1917年生于上海，浙江杭州人。1936年考入清华大学，先在物理系学习，后因与时任西南联合大学（随着抗日西迁重庆，清华等合并为西南联大，重组于云南昆明）理学院院长的吴有训“有所不快”转入数学系，1940年数学系本科毕业。研究生期间，先师从华罗庚学习数论，后因与之“有所不快”，转投中国概率论与数理统计研究开拓者许宝騄学习概率论。1942年清华大学（西南联大）数学系研究生毕业。1942年至1945年任昆明西南联合大学数学系助理教员。1944年考取第六届庚子赔款公费留美奖学金，1945年底赴美国普林斯顿大学留学，用两年时间于1947年获普林斯顿大学博士学位，师从当时正在普林斯顿大学访问的瑞典斯德哥尔摩大学教授、统计理论巨匠哈拉尔德·克拉梅尔（Harald Cramér），博士论文答辩委员会成员还有著名统计学家、快速傅里叶变换共同发明人约翰·图基。

20世纪六十年代后任斯坦福大学数学系教授、系主任、名誉教授。在此之前，还任教于芝加哥大学、哥伦比亚大学、加州伯克利大学、康奈尔大学和、雪城大学。除此之外，还在多所世界著名学府拥有客座席位（visiting appointments），如法国斯特拉斯堡大学，意大利比萨大学，瑞士苏黎世联邦理工学院和伊利诺伊大学厄巴纳-尚佩恩分校。在斯坦福大学期间，他在布朗运动（常用于预测股票市场的无规则运动）和马尔可夫链的一般数学理论中做出了基础性和显著性的工作。1981年联合发起了随机过程研讨会，为学术思想交流和年轻人培养提供了专业社区平台。

钟开莱为世界知名概率学家，人称“概率学界学术教父”，据不完全统计，他直接指导的博士生有15位，间接的学术晚辈则超过四百多个，被誉为二十世纪后半叶的概率学界领袖之一。

钟开莱有十余部著作，其清晰的逻辑和严谨的叙述，使他的概率论教材已经成为享誉世界的经典，被世界75%以上的大学的数万名学生使用，影响了几代概率论学生。世界科技出版公司在2008年出版了他跨越七十年的研究论文部分选集，由曾经的合作者和博士生主编，以庆祝他的九十岁生日。

1978年，钟开莱和鞅理论发展人Joseph Doob等人访问中国，促进了概率论中国研究者和世界学者的交流，此后又多次回到中国开设短期课程和讲座，帮助年轻的中国学生有机会到美国继续深造。

此外，钟开莱广泛涉猎文学、音乐和京剧，退休后还学习了意大利语，并把一本概率论英文教材翻译为了俄语。

2009年6月1日在菲律宾罗哈斯市睡梦中自然去世，享年91岁。

2010年在中国北京大学举办了一次纪念他的国际会议。2012年钟开莱的家属将其数学藏书捐给北大数学学院，总计超过三百本