九章算术卷九

九章算术卷九

魏刘徽注

唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉　勅注释

句股。

今有句三尺，股四尺，问为弦几何？荅曰：五尺。

今有弦五尺，句三尺。问为股几何？荅曰：四尺。

今有股四尺，弦五尺。问为句几何？荅曰：三尺。

句股

术曰：句、股各自乘，并而开方除之，即弦

又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即句；又句自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股。

今有圆材径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸。问广几何？

荅曰：二尺四寸五分。

术曰：令径二尺五寸自乘，以七寸自乘，减之，其余，开方除之，即广。

今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，?木七周，上与木齐。问葛长几何？

荅曰：二丈九尺。

术曰：以七周乘三围为股，木长为句，为之求弦。弦者，葛之长。

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？

荅曰：

水深一丈二尺，

葭长一丈三尺。

术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘减之，余倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。

今有立木系索其末，委地三尺，引索郤行，去本八尺而索尽。问索长几何？

荅曰：一丈二尺二十一分尺之一。术曰：以去本自乘，令如委数而一，所得，加委地数而半之，即索长。

今有垣高一丈，倚木于垣，高与垣齐，引木郤行一尺，其木至地。问木几何？

荅曰：五丈五寸。

术曰：以垣高十尺自乘，如郤行尺数而一。所得以加郤行尺数而半之，即木长数。

今有圆材埋在壁中，不知大小，以鐻鐻之，深一寸，鐻道长一尺。问径几何？

荅曰：材径二尺六寸。

术曰：半鐻道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径。

今有开门去阃一尺，不合二寸。问门广几何？荅曰：一丈一寸。

术曰：以去阃一尺自乘，所得以不合二寸半之而一，所得增不合之半，即得门广。

今有戸高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈。问戸高、广各几何？荅曰：

广二尺八寸，

高九尺六寸。

术曰：令一丈自乘为实。半相多，令自乘，倍之，减实，半其余，以开方除之，所得，减相多之半，即戸广；加相多之半，即戸高。

今有戸不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出。问戸高、广、袤各几何？

荅曰：

广六尺，

高八尺，衺一丈。

术曰：从、横不出相乘，倍而开方除之，所得，加从不出即戸广，加横不出即戸高，两不出加之，得戸袤。

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？

荅曰：四尺二十分尺之十一。

术曰：以去本自乘，令如高而一，所得，以减竹高，而半其余，即折者之高也。

今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步，而邪东北与乙会。问甲、乙行各几行？

荅曰：

乙东行十步半，

甲邪行十四步半，及之。

术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七，为乙东行率。置南行十步，以甲邪行率乘之；副置十步，以乙东行率乘之。各自为实。实如南行率而一，各得行数。

今有句五步，股十二步。问句中容方几何？

荅曰：方三步十七分步之九。术曰：并句、股为法，句、股相乘为实。实如法而一，得方一步。

今有句八步，股十五步。问句中容圆径几何？荅曰：六步。术曰：八步为句，十五步为股，为之求弦。三位并之为法，以句乘股，倍之为实。实如法得径一步。

今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木。问出南门几何步而见木？

荅曰：六百六十六步。太半步：

术曰：出东门步数为法，半邑方自乘为实，实如法得一步。今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门十五里有木。问出南门几何步而见木？

荅曰：三百一十五步。

术曰：东门南至隅步数以乘南门东至隅步数为实。以木去门步数为法。实如法而一。

今有邑方，不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木。问邑方几何？荅曰：一里。

术曰：令两出门步数相乘，因而四之，为实。开方除之，即得邑方。

今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木。出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？

荅曰：二百五十步。术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实。并出南门步数为从法。开方除之，即邑方。

今有邑方十里，各中开门。甲、乙俱从邑中央而出，乙东出，甲南出。出门不知步数，邪向东门，磨邑，适与乙会。率甲行五，乙行三。问甲、乙行各几何？

荅曰：

甲出南门八百步，邪东北行四千八百八十七步半。及乙、

乙东行四千三百一十二步半。

术曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，为邪行率。邪行率减于五自乘者，余为南行率。以三乘五，为乙东行率。置邑方，半之，以南行率乘之，如东行率而一，即得出南门步数。以增邑方，半即南行。置南行步。求弦者以邪行率乘之，求东者以东行率乘之，各自为实。实如南行率得一步。

有木去人不知远近。立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸。问：木去人几何？荅曰：三十三丈三尺三寸少半寸。

术曰：令一丈自乘为实。以三寸为法。实如法而一。

有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末，适与山峰斜平，人目高七尺。问山高几何？

荅曰：一百六十四丈九尺六寸太半寸。

术曰：置木高，减人目高七尺，余以乘五十三里为实。以人去木三里为法。实如法而一，所得加木高即山高。

今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问井深几何？

荅曰：五丈七尺五寸。术曰：置井径五尺，以入径四寸减之，余以乘立木五尺为实，以入径四寸为法。实如法得一寸。九章算术卷之九终。钱唐莫潍校，字大淸，乾隆三十八年癸巳秋。阙里孔氏依汲古阁影宋刻本重雕。秘书省

九章算术一部，共九册。

元丰七年九月日校定。降授宣德郎秘书省校书郞叶祖洽上进。校定，承议郎行秘书省校书郎王仲修校定，朝奉郎行秘书省校书郎钱长?、奉议郎守秘书郞丞韩宗古、

朝请郎试秘书少监赵彦若，

元丰七年九月二十八日

进呈，奉

御宝批：宐依已校定镂板。

朝奉郎、秘书丞、上骑都尉、赐绯鱼袋韩　治，朝散郎、试秘书少监、上骑都尉、赐绯鱼袋顾　临，朝议大夫、守秘书少监、上䕶军、赐紫金鱼袋刘　攽，中大夫、守尙书右丞、䕶军、东平郡开国侯、食邑贰千叁百戸、赐紫金鱼袋吕大防、通议大夫、守尙书左丞、上柱国、平原郡开国公、食邑贰千捌百戸、食实封伍伯戸李清臣、正议大夫、守中书侍郞、上柱国、冯翊郡开国公、食邑贰千叁百戸、食实封伍伯戸张　璪，正议大夫、守门下侍郎、上柱国、南阳郡开国公、食邑贰千壹百戸、食实封壹阡戸韩　维，金紫光禄大夫、守尙书右仆射兼中书侍郎、上柱国、东平郡开国公，食邑六千二百戸、食实封壹阡玖伯戸。吕公著，正议大夫、守尙书左仆射、兼门下侍郎、上柱国、河内郡开国公、食邑四千一百戸、食实封壹阡伍伯戸。司马光

九章算术卷九订讹补图

休宁　戴　震　东原

句股弦互求图，

据围广木长，求葛之长，其形葛卷里袤以笔管靑线宛转，有似葛之?木。解而观之，则每周之闲自有相闲成句股弦，则其闲木长为股，围之为句，葛长为弦，弦七周乘三围，是并合众句以为一句，则句长而股短，故术以木长谓之句，围之谓之股，言之倒互句与股。求弦，亦如前图。句三自乘为朱幂，股四自乘为靑幂，合朱靑二十五为弦，五自乘幂出上第一图，句、股幂合为弦幂明矣。然二幂之数，谓倒在于弦幂之中，而已可更相里者，则成方幂，其居表者，则成矩幂，二表里形讹而数均。又按：此图句幂之矩靑卷白表，是其幂以句股弦差为广，股弦并为袤，而股幂方其里。股幂之矩靑卷白表是其幂以句弦差为广，句弦并为袤，而句幂方其里。是故差之与并用，除之短长互相乘也。句股差句股并与弦互求之图

股实之矩图

句实之矩图

臣淳风等谨按：下鐻深得一寸为半股弦差。注云：为股弦差者，鐻道也。股弦即高广袤，其出此图也。其倍弦为广袤，合矩句即为幂，得广即句股差。其矩句之幂，倍为从法开之，亦句股差。其余以句股幂减半，其余差为从法，开方除之，即句也。句实广袤合图、

股实广袤合图。

句弦差、股弦差。求句股弦之图

术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七，为乙东行率。股与句弦并，求句弦之图，

句、股相乘为朱靑、黄幂各二，令黄幂连于下隅，朱靑各以类合，共成修幂。中方黄为广，并句股为袤，故并句股为法。幂图方在句中，则方之两亷各自成小句股，而其相与之势不失本率也。句面之小股，股面之小句，从横相连，合而成中方。令股为中方率，并句、股为广率，据见句五步而今有之，得中方也。复令句为中方率，以并句、股为袤率，据股一十二步而今有之，则中方又可知。此则虽不效而法实有，法由生矣。句股容方图，

句、股相乘，为图之本体。朱靑黄幂各二，则倍之为各四，可用画于小?，分裁邪正之会，令颠倒相补，各以类合成修幂。圆径为广，并句、股、弦为袤，故并句、股、弦以为法。又以图之大体言之，股中靑必令立规于横广，句、股又邪三径均，而复连规从横量度，句、股必合而成小方矣。又画中弦以观其会，则句、股之中成小句、股、弦四者，句面之小股，股面之小句，皆小方之面，皆圆径之半其数，故可衰。以句、股、弦为列衰，副并为法，以小句乘未并者，各自为实。实如法而一，得句面之小股可知也。以股乘列衰为实，则得股面之小句可知。言虽异矣，及其所以成法之实，则同归矣。则圆径又可以句乘之差并句弦差减股为圆径。

九章之术，乃算术之鼻祖，囊括后贤，胥不能度越范围焉，犹六经之临百氏也。周官保氏九数，郑君以九章之方田粟米，衰分少广，商功均输、方程嬴不足。旁要释之，缀曰：今有重差、夕桀、句股也。钱晓征学士以为夕桀乃互椉之脱误，良然。盖九章句股篇末有望远、度高、测深七术，或析之名曰九章重差、互椉即方程术所谓维椉是也。句股即旁要疏所云：今九章以句股替旁要。旁要云者，不必实有是形，可自旁假设，以要取之。祖冲之谓之缀术疏。又引马氏融注，今有重差夕桀，马氏不连及句股者，以句股替旁要，故不重举。刘徽序云：汉张苍、耿寿昌因旧文遗残，各称删补，故校其目，与古或异，而所论多近语。所谓目与古异者，则句股替旁要是也。至唐王孝通云：校其条目，颇与古术不合，则妄而敢矣。夫古今岂有异术哉！刘徽因其有望远诸术，遂造重差，缀于句股之下。即今海岛算，引而申之，触类而长之，事之宜也。旧有图，今缺，余友休宁东原戴先生补之，今分附诸篇之末，亦犹刘徽之缀重差于句股焉。乾隆癸巳，阙里孔继涵识于京师寿云簃之敏事斋九章算术卷九终。