九章算术卷第一

九章算术卷第一

魏刘徽注

唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉 勅注释。

方田，

今有田广十五步，从十六步，问为田几何？荅曰：一亩。

又有田广十二步，从十四步，问为田几何？

荅曰：一百六十八步。

方田术曰：广从步数相乘得积步，

以亩法二百四十步除之，即亩数百亩为一顷。

今有田广一里，从一里，问为田几何？

荅曰：三顷七十五亩。

又有田广二里，从三里，问为田几何？

荅曰：二十二顷五十亩。

里田术曰：广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。

今有十八分之十二。问约之得几何？荅曰：三分之二。

又有九十一分之四十九。问约之得几何？荅曰：十三分之七。

约分

术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之，

今有三分之一，五分之二。问合之得几何？

荅曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五。问合之得几何？

荅曰：得一六十三分之五十。又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问合之得几何？

荅曰：得二。六十分之四十三。

合分

术曰：母互乘子，并以为实。母相乘为法。实如法而一，不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。

今有九分之八，减其五分之一。问余几何？

荅曰：四十五分之三十一。

又有四分之三，减其三分之一。问余几何？荅曰：十二分之五。

减分。术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乘为法。实如法而一。

今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？

荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？

荅曰：九分之八多，多六十三分之二，

又有二十一分之八，五十分之十七。问孰多？多几何？

荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

课分术曰：母互乘子，以少减多，余为实。母相乗为法，实如法而一，即相多也。

今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少各几何而平？

荅曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。

又有二分之一，三分之二，四分之三。问减多益少各几何而平？

荅曰：减三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平于三十六分之二十三

平分。术曰：母互乘子，副并为平实。母相乘为法，以列数乘未并者，各自为列实，亦以列数乘法。以平实减列实，余约之为所减，并所减以益于少。以法命平实，各得其平。

今有七人分八钱、三分钱之一。问：人得几何？

荅曰：人得一钱二十一分钱之四。

又有三人，三分人之一，分六钱，三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？

荅曰：人得二钱八分钱之一。

经分

术曰：以人数为法，钱数为实。实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。

今有田广七分步之四，从五分步之三，问为田几何？

荅曰：三十五分步之十二。

又有田广九分步之七，从十一分步之九，问为田几何？

荅曰：十一分步之七。

又有田广五分步之四，从九分步之五，问为田几何？荅曰：九分步之四。

乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二，问为田几何？

荅曰：十八步。

又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五，问为田几何？荅曰：一百二十步九分步之五。

又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六，问为田几何？

荅曰：一亩二百步十一分步之七。

大广田

术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实，分母相乘为法，实如法而一。

今有圭田广十二步，正从二十一步。问为田几何？

荅曰：一百二十六步。

又有圭田广五步二分步之一，从八步三分步之二。问为田几何？

荅曰：二十三步六分步之五。

术曰：半广以乘正从。今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正从六十四步。问为田几何？

荅曰：九亩一百四十四步。

又有邪田，正广六十五步，一畔从一百步，一畔从七十二步。问为田几何？

荅曰：二十三亩七十步。

术曰：并两邪而半之，以乘正从，若广。又可半正从若广以乘，并亩法而一。今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正从三十步。问为田几何？

荅曰：一亩一百三十五步。

又有箕田，舌广一百一十七步，踵广五十步，正从一百三十五步。问为田几何？

荅曰：四十六亩二百三十二步半。

术曰：并踵舌而半之，以乘正，从亩法而一。

今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？荅曰：七十五步。

又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一。问为田几何？

荅曰：十一亩九十步十二分步之一。

术曰：半周、半径相乘得积步。

又术曰：周径相乘，四而一。

又术曰：径自相乘，三之，四而一。

又术曰：周自相乘，十二而一。今有宛田，下周三十步，径十六步。问为田几何？荅曰：一百二十步。

又有宛田，下周九十九步，径五十一步。问为田几何？

荅曰：五亩六十二步四分步之一。

术曰：以径乘周，四而一。

今有弧田，弦三十步，矢十五步。问为田几何？

荅曰：一亩九十七步半。

又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。问为田几何？

荅曰：二亩一百五十五步八十一分步之五十六。

术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

今有环田中周九十二步，外周一百二十二步，径五步。问为田几何？

荅曰：二亩五十五步。又有环田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，径十二步三分步之二。问为田几何？

荅曰：四亩一百五十六步四分步之一。

术曰：并中、外周而半之，以径乘之，为积步。密率术曰：置中、外周步数，分母子各居其下，母互乘子，分母相乘，通全步内分子，并而半之。又可以中周减外周，余半之，以益中周。径亦通分内子，以乘周为实。分母相乘为法，除之，为积步。余积步之分，等数约之，以亩法除之，即亩数也。

九章算术卷一、

九章算术卷一订讹补图

休宁戴震东、原

臣淳风等谨按：母互乘子副并为平实者，定此平实立限，众子所当损益。如限为平，按半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，

圆内容六觚之图

以九十六觚之幂减之，余六百二十五分寸之以百五，谓之差幂。倍之，为分寸之二百一十。

以此术求之，得幂一百六十一寸有奇，其数相近矣。此术微少，而斛差幂六百二十五分寸之一百五，以十二觚之幂为率，消息当取此分寸之三十六。臣淳风等谨按：依密率，以七乘周，二十二而一即径。以二十二乘径，七而一即周。依术求之，即得弧

田

图。