九章算术卷八

九章算术卷八

魏刘徽注

唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉　勅注释

方程。

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗。上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗。上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

荅曰：上禾一秉九斗四分斗之一。

中禾一秉四斗四分斗之一。

下禾一秉二斗四分斗之三。

方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉、下禾一秉，实三十九斗于右方，中、左禾列如右方。以右行上禾徧乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者，而以直除左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实，余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实，余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。

今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实十斗，下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实十斗。问上、下禾实一秉各几何？

荅曰：

上禾一秉实一斗五十二分斗之十八。下禾一秉实五十二分斗之四十一。

术曰：如方程，损之曰益，益之曰损。损实一斗者，其实过十斗也。益实一斗者，其实不满十斗也。

今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗。问上、中、下禾实一秉各几何？

荅曰：

上禾一秉实二十五分斗之九，

中禾一秉实二十五分斗之七，

下禾一秉实二十五分斗之四。

术曰：如方程。各置所取，以正负术入之。正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。

今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？

荅曰：

上禾一秉五升，

下禾一秉二升。

术曰：如方程置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。以正负术八之，

今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾十秉。下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉。问上、下禾实一秉各几何？

荅曰：上禾一秉实八升，

下禾一秉实三升。

术曰：如方程，置上禾六秉正，下禾十秉负，损实一斗八升正。次置上禾五秉负，下禾十五秉正，损实五升正。以正、负术入之。

今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。问上、下禾实一秉各几何？

荅曰：

上禾一秉实八斗，

下禾一秉实三斗。

术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾十秉负，益实六斗正。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗正。以正负术入之。今有牛五、羊二直金十两，牛二、羊五直金八两。问牛、羊各直金几何？

荅曰：

牛一直金一两二十一分两之十三。羊一直金二十一分两之二十。

术曰：如方程。今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？

荅曰：

牛价一千二百，

羊价五百，

豕价三百。

术曰：如方程，置牛二、羊五正，豕十三负，余钱数正。次置牛三正，羊九负，豕三正。次置牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。

今有五雀、六燕集，称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处衡适平，并燕、雀重一斤。问燕、雀一枚各重几何？荅曰：

雀重一两十九分两之十三，

燕重一两十九分两之五。

术曰：如方程交易质之，各重八两。

今有甲乙二人持钱，不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何？

荅曰：

甲持三十七钱半，

乙持二十五钱。

术曰：如方程损妓之。

今有二马一牛，价过一万，如半马之价。一马二牛，价不满一万，如半牛之价。问牛、马价各几何？

荅曰：

马价五千四百五十四钱十一分钱之六。

牛价一千八百一十八钱十一分钱之二。

术曰：如方程损益之。今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。问武、中、下马一匹各力引几何？

荅曰：

武马一匹力引二十二石七分石之六；中马一匹力引十七石七分石之一，下马一匹力引五石七分石之五。术曰：如方程，各置所借，以正负术入之。

今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠：各得所不足一绠。皆逮。问井深、绠长各几何？

荅曰：井深七丈二尺一寸。

甲绠长二丈六尺五寸。

乙绠长一丈九尺一寸。

丙绠长一丈四尺八寸。丁绠长一丈二尺九寸。

戊绠长七尺六寸。

术曰：如方程，以正负术入之。

今有白禾二步，靑禾三步，黄禾四步，黑禾五步，实各不满斗。白取靑，黄靑取黄黑，黄取黑白，黑取白，靑，各一步。而实满斗。问白、靑、黄、黑禾实一步各几何？

荅曰：

白禾一步实一百一十一分斗之三十三。

靑禾一步实一百一十一分斗之二十八。

黄禾一步实一百一十一分斗之十七。黑禾一步实一百一十一分斗之十。术曰：如方程。各置所取，以正负术入之。

今有甲禾二秉，乙禾三秉，丙禾四秉，重皆过于石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。问甲、乙、丙禾一秉各重几何？

荅曰：

甲禾一秉重二十三分石之十七；乙禾一秉重二十三分石之十一。丙禾一秉重二十三分石之十。

术曰：如方程置重过于石之物为负，以正负术入之。

今有令一人，吏五人，从者十人，食鸡十；令十人，吏一人，从者五人，食鸡八；令五人，吏十人，从者一人，食鸡六。问令、吏、从者食鸡各几何？

荅曰：

令一人食一百二十二分鸡之四十五，吏一人食一百二十二分鸡之四十一，从者一人食一百二十二分鸡之九十七。

术曰：如方程，以正负术入之。

今有五羊四犬，三鸡二兔，直钱一千四百九十六；四羊二犬、六鸡三兔，直钱一千一百七十五；三羊一犬、七鸡五兔，直钱九百五十八；二羊三犬、五鸡一兔，直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何？

荅曰：

羊价一百七十七，

犬价一百二十一，

鸡价二十三，

兔价二十九。

术曰：如方程，以正负术入之。

今有麻九斗，麦七斗，菽三斗，荅二斗，黍五斗，直钱一百四十；麻七斗，麦六斗，菽四斗，荅五斗，黍三斗，直钱一百二十八，麻三斗，麦五斗，菽七斗，荅六斗，黍四斗，直钱一百一十六，麻二斗，麦五斗，菽三斗。答：九斗，黍四斗，直钱一百一十二，麻一斗，麦三斗，菽二斗，荅八斗，黍五斗，直钱九十五。问一斗直几何？

荅曰：

麻一斗七钱，

麦一斗四钱，

菽一斗三钱，荅一斗五钱，

黍一斗六钱。

术曰：如方程。以正负术入之。

九章算术卷八订讹

休宁载震东原

术曰：置上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，实三十九斗于右方，中左禾列如右方。以右行上禾徧乘中行，而以直除。又乘其次，亦以直除。

然以中行中禾不尽者，徧乘左行，

用算繁而不省，所以别为法约也。然犹不如自用其旧广异法也。益行、减行，当各以其类矣。其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也，非所得减也。故赤用黑对则除，黑无对则除，赤、赤、黑并于本数，此为相益之，皆所以为消夺。消夺之与减益成一实也。

正无入，负之

无入，为无对也。无所得减，则使消夺者居位也。其当以列实或减下实。此条异名相除为例，故亦与上条互取。凡正负，所以记其同异，使二品互相取而已矣。言负者未必负于少，言正者未必正于多，故每一行之中，虽复赤、黑异算，无伤，然则可得使头位常相与异名，此条之实兼通矣。遂以二条反复一率，观其每与上下互相取位，则随算而言耳，犹一术也。又本设诸行，欲因减数以相去耳，故其多少无限，令上下相命而已。若以正负相减，如数有旧增法者，每行可均之，不但数物左右之也。

此中行买卖相折钱适足，但互买卖算而已，故下无钱直也。设欲以此行如方程法，先令牛二徧乘左行，而以右行直除之，是终于下实虚缺矣。故注曰正无实负，负无实正，方为类也。方将以别实，加不足之数，与实物作实，此四雀一燕与一雀五燕，衡适平，并重一斤，故各八两。列两行程数，左行头位，其数是一，可省乘，令右行徧乘左行，而取其法实于左。左行数多，以右行取其数，左头位，减尽中法，下实即每枚当重，宜可知也。按：此四雀一燕与一雀五燕，其重等，是三雀四燕重相当，雀率重四，燕率重三也。诸再程之率，皆可异术求之，即其数也。

今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠；各得所不足一绠。皆逮。问井深、绠长各几何？

荅曰：井深七丈二尺一寸。甲绠长二丈六尺五寸，乙绠长一丈九尺一寸，丙绠长一丈四尺八寸，丁绠长一丈二尺九寸，戊绠长七尺六寸。此率初如方程为之，名各一，逮井其后法得七百二十一，实七十六。

此麻麦与均输、少广章之重衰积分，皆为大事。其拙于精理，徒按本术者，或用算而布氊方，好烦而喜误，曾不知其非，反欲以多为贵。故其算也，莫不暗于设通，而专于一端。至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约。更有异术者，庖丁解牛，游刃理闲，故能历久其刃如新。夫数犹刃也，易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤。凡九章为大事按法，皆不尽一百算也。虽布算不多，然足以算多。世人多以方程为难，或尽布算之象，在缀正负而已，未暇以论其设动无方，斯胶柱调瑟之类，聊复恢演，为作新术，著之于此。将亦启导疑意，网罗道精，岂传之空言？记其施用之例，著䇿之数，每举一隅焉。

其一术曰：置群物通率为列衰，更置减行群物之数，各以其率乘之，并以为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余为法，以减行下实乘列衰，各自为实。实如法而一。即得以旧术为之。凡应置五行，今欲要约，先置第三行以减第四行及减第三行；次置第二行，以第二行减第三行，去其头位；次置右行，去其头位；次以第四行减左行头位；次以左行去第四行及第二行头位；次以第五行减第二行头位，余可半。次以第二行去第四行头位，余约之为法。实如法而一，得空即，有黍价。以法减第二行，得荅价，左行得麦价，第三行麻价，右行得菽价。如此凡用七十七算。以新术为此，先以第四行减第三行，次以第三行去右行及第二行第四行下位，又以减右行下位，不足减乃止。次以左行减第三行下位，次以第三行去左行下位讫，废去第三行；次以第四行去左行下位，右行当左行下位，次以右行去第二行及第四行下位，次以第二行减第四行及左行头位，次以第四行减右行菽位，不足减乃止。次以左行减第二行头位，余可再半。次以第四行去右行及第二行头位，次以第二行去右行头位，余约之，上得五，下得三，是菽五当荅三。次以左行去第三行菽位，又以减第四行及右行菽位，不足减乃止。次以右行减第二行头位，不足减乃止。次以第三行去左行头位，次以左行去右行头位，余上得六，下得五，是为荅六，当黍五。次以右行去左行荅位，余约之，上为二，下为三。次以左行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以减左行下位，次右行去第二行下位，余上得三、下得四，是为麦三当菽四。次以第二行减第四行下位，次以第四行去第二行下位，余上得四、下得七，是为麻四当麦七。是为相当之率举矣。九章算术卷八终。