九章算术卷四

轻识古籍

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2024-02-04 15:20

九章算术卷四

魏刘徽注

唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉 勅注释

少广

少广

术曰:置全步及分母子,以最下分母徧乘诸分子及全步,各以其母除其子,置之于左,命通分者,又以分母徧乘诸分子及已通者,皆通而同之,并之为法。置所求步数,以全步积分乘之为实。实如法而一,得从步。

今有田广一步半,求田一亩,问从几何?荅曰:一百六十步。术曰:下有半,是二分之一。以一为二,半为一,并之得三,为法。置田二百四十步,亦以一为二乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半,三分步之一,求田一亩,问从几何?

荅曰:一百三十步一十一分步之一十。

术曰:下有三分,以一为六,半为三,三分之一为二,并之得一十一为法。置田二百四十步,亦以一为六乘之,为实。实如法得从歩。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一,求田一亩,问从几何?

荅曰:一百一十五步五分步之一。

术曰:下有四分,以一为一十二,半为六,三分之一为四,四分之一为三,并之得二十五,以为法。置田二百四十步,亦以一为一十二乘之,为实。实如法而一,得从步。今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一,求田一亩,问从几何?

荅曰:一百五步。一百三十七分步之一十五。

术曰:下有五分,以一为六十,半为三十,三分之一为二十,四分之一为一十五,五分之一为一十二,并之得一百三十七,以为法。置田二百四十步,亦以一为六十乘之,为实。实如法得从步。今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩,问从几何?

荅曰:九十七步四十九分步之四十七。

术曰:下有六分,以一为一百二十,半为六十,三分之一为四十,四分之一为三十,五分之一为二十四,六分之一为二十,并之得二百九十四,以为法。置田二百四十歩,亦以一为一百二十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩,问从几何?

荅曰:九十二步一百二十一分步之六十八。

术曰:下有七分,以一为四百二十,半为二百一十,三分之一为一百四十,四分之一为一百五,五分之一为八十四,六分之一为七十,七分之一为六十,并之得一千八十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为四百二十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩,问从几何?

荅曰:八十八步七百六十一分步之二百三十二。

术曰:下有八分,以一为八百四十,半为四百二十,三分之一为二百八十,四分之一为二百一十,五分之一为一百六十八,六分之一为一百四十,七分之一为一百二十,八分之一为一百五,并之得二千二百八十三,以为法。置田二百四十步,亦以一为八百四十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩,问从几何?荅曰:八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。

术曰:下有九分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一,为八百四十;四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七分之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,并之得七千一百二十九,以为法。置田二百四十步,亦以一为二千五百二十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一,四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩,问从几何?

荅曰:八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

术曰:下有一十分,以一为二千五百二十,半为一千二百六十,三分之一为八百四十,四分之一为六百三十,五分之一为五百四,六分之一为四百二十,七分之一为三百六十,八分之一为三百一十五,九分之一为二百八十,十分之一为二百五十二,并之得七千三百八十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二千五百二十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩,问从几何?

荅曰:七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。

术曰:下有一十一分,以一为二万七千七百二十,半为一万三千八百六十,三分之一为九千二百四十,四分之一为六千九百三十,五分之一为五千五百四十四,六分之一为四千六百二十,七分之一为三千九百六十,八分之一为三千四百六十五,九分之一为三千八十,一,十分之一为二千七百七十二,一十一分之一为二千五百二十,并之得八万三千七百一十一,以为法。置田二百四十步,亦以一为二万七千七百二十乘之,为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩,问从几何?

荅曰:七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。

术曰:下有一十二分,以一为八万三千一百六十,半为四万一千五百八十,三分之一为二万七千七百二十,四分之一为二万七百九十,五分之一为一万六千六百三十二,六分之一为一万三千八百六十,七分之一为一万一千八百八十,八分之一为一万三百九十五,九分之一为九千二百四十,一十分之一为八千三百一十六,十一分之一为七千五百六十,十二分之一为六千九百三十,并之得二十五万八千六十三,以为法。置田二百四十步,亦以一为八万三千一百六十乘之,为实。实如法得从步。

今有积五万五千二百二十五步,问为方几何?

荅曰:二百三十五步。

又有积二万五千二百八十一步,问为方几何?

荅曰:一百五十九步。

又有积七万一千八百二十四步,问为方几何?荅曰:二百六十八步。

又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一,问为方几何?

荅曰:七百五十一步半。

又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步,问为方几何?

荅曰:六万三千二十五步。

开方

术曰:置积为实,借一算步之,超一等,议所得,以一乘所借一算为法,而以除除已,倍法为定法。其复除、折法而下,复置借算,步之如初,以复议一乘之,所得副以加定法以除,以所得副从定法复除、折下如前。若开之不尽者,为不可开,当以面命之。若实有分者,通分内子为定实,乃开之。讫,开其母报除。若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一。

今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何?

荅曰:一百三十五步。

又有积三百步。问为圆周几何?荅曰:六十步。

开圆术曰:置积步数,以十二乘之,以开方除之,即得周。

今有积一百八十六万八百六十七尺,问为立方几何?

荅曰:一百二十三尺。

今有积一千九百五十三尺八分尺之一,问为立方几何?

荅曰:一十二尺半。今有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七,问为立方几何?

荅曰:三十九尺八分尺之七。

又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七。问为立方几何?

荅曰:一百二十四尺太半尺。

开立方

术曰:置积为实,借一算步之,超二等,议所得,以再乘所借一算为法而除之,除已,三之,为定法。复除,折而下,以三乘所得数,置中行,复借一算,置下行,步之,中超一,下超二位。复置议,以一乘中,再乘下,皆副,以加定法。以定法除。除已,倍下,并中,从定法。复除,折下,如前开之不尽者,亦为不可开。若积有分者,通分内子为定实,定实乃开之。讫,开其母以报除。若母不可开者,又以母再乘定实,乃开之。讫,令如母而一。

今有积四千五百尺,问为立圆径几何?荅曰:二十尺。

又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何?

荅曰:一万四千三百尺。

开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得,开立方除之,即丸径

九章算术卷四

九章算术卷四订讹补图

休宁戴震东原祖暅之开立圆术曰:以二十一乘积,十一而一,开立方除之,即立圆径。其意何也?取立方棋一枚,令立枢于左后之下隅,从规去其右上之廉,又合而横规之,去其前上之廉,右前之廉,于是立方之棋分而为四规。内棋一,谓之内棋规外棋三,谓之外棋。更合四棋,复横断之。以句股言之,令余高为句内棋,断上方为股。本方之数其弦也。句股之法,以句幂减弦幂,则余为股幂。若令余高自乘,减本方之幂,余即内减棋断上方之幂也。本方之幂,即外四棋之断上幂。然则余高自乘即外三棋之断上幂矣。不问高卑,势皆然也。故曰:丸居立方三分之一也。

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