九章算术卷八订讹

九章算术卷八订讹

休宁载震东原

术曰：置上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，实三十九斗于右方，中左禾列如右方。以右行上禾徧乘中行，而以直除。又乘其次，亦以直除。

然以中行中禾不尽者，徧乘左行，

用算繁而不省，所以别为法约也。然犹不如自用其旧广异法也。益行、减行，当各以其类矣。其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也，非所得减也。故赤用黑对则除，黑无对则除，赤、赤、黑并于本数，此为相益之，皆所以为消夺。消夺之与减益成一实也。

正无入，负之

无入，为无对也。无所得减，则使消夺者居位也。其当以列实或减下实。此条异名相除为例，故亦与上条互取。凡正负，所以记其同异，使二品互相取而已矣。言负者未必负于少，言正者未必正于多，故每一行之中，虽复赤、黑异算，无伤，然则可得使头位常相与异名，此条之实兼通矣。遂以二条反复一率，观其每与上下互相取位，则随算而言耳，犹一术也。又本设诸行，欲因减数以相去耳，故其多少无限，令上下相命而已。若以正负相减，如数有旧增法者，每行可均之，不但数物左右之也。

此中行买卖相折钱适足，但互买卖算而已，故下无钱直也。设欲以此行如方程法，先令牛二徧乘左行，而以右行直除之，是终于下实虚缺矣。故注曰正无实负，负无实正，方为类也。方将以别实，加不足之数，与实物作实，此四雀一燕与一雀五燕，衡适平，并重一斤，故各八两。列两行程数，左行头位，其数是一，可省乘，令右行徧乘左行，而取其法实于左。左行数多，以右行取其数，左头位，减尽中法，下实即每枚当重，宜可知也。按：此四雀一燕与一雀五燕，其重等，是三雀四燕重相当，雀率重四，燕率重三也。诸再程之率，皆可异术求之，即其数也。

今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠；各得所不足一绠。皆逮。问井深、绠长各几何？

荅曰：井深七丈二尺一寸。甲绠长二丈六尺五寸，乙绠长一丈九尺一寸，丙绠长一丈四尺八寸，丁绠长一丈二尺九寸，戊绠长七尺六寸。此率初如方程为之，名各一，逮井其后法得七百二十一，实七十六。

此麻麦与均输、少广章之重衰积分，皆为大事。其拙于精理，徒按本术者，或用算而布氊方，好烦而喜误，曾不知其非，反欲以多为贵。故其算也，莫不暗于设通，而专于一端。至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约。更有异术者，庖丁解牛，游刃理闲，故能历久其刃如新。夫数犹刃也，易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤。凡九章为大事按法，皆不尽一百算也。虽布算不多，然足以算多。世人多以方程为难，或尽布算之象，在缀正负而已，未暇以论其设动无方，斯胶柱调瑟之类，聊复恢演，为作新术，著之于此。将亦启导疑意，网罗道精，岂传之空言？记其施用之例，著䇿之数，每举一隅焉。

其一术曰：置群物通率为列衰，更置减行群物之数，各以其率乘之，并以为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余为法，以减行下实乘列衰，各自为实。实如法而一。即得以旧术为之。凡应置五行，今欲要约，先置第三行以减第四行及减第三行；次置第二行，以第二行减第三行，去其头位；次置右行，去其头位；次以第四行减左行头位；次以左行去第四行及第二行头位；次以第五行减第二行头位，余可半。次以第二行去第四行头位，余约之为法。实如法而一，得空即，有黍价。以法减第二行，得荅价，左行得麦价，第三行麻价，右行得菽价。如此凡用七十七算。以新术为此，先以第四行减第三行，次以第三行去右行及第二行第四行下位，又以减右行下位，不足减乃止。次以左行减第三行下位，次以第三行去左行下位讫，废去第三行；次以第四行去左行下位，右行当左行下位，次以右行去第二行及第四行下位，次以第二行减第四行及左行头位，次以第四行减右行菽位，不足减乃止。次以左行减第二行头位，余可再半。次以第四行去右行及第二行头位，次以第二行去右行头位，余约之，上得五，下得三，是菽五当荅三。次以左行去第三行菽位，又以减第四行及右行菽位，不足减乃止。次以右行减第二行头位，不足减乃止。次以第三行去左行头位，次以左行去右行头位，余上得六，下得五，是为荅六，当黍五。次以右行去左行荅位，余约之，上为二，下为三。次以左行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以减左行下位，次右行去第二行下位，余上得三、下得四，是为麦三当菽四。次以第二行减第四行下位，次以第四行去第二行下位，余上得四、下得七，是为麻四当麦七。是为相当之率举矣。九章算术卷八终。