弧矢論

弧矢論

凡弧矢筭法，凖之於矢，而?之於徑。背徑求矢之法，先求之背弦差，而半背弦差蔵之。矢冪與徑相除之中倍矢冪與徑相除，則全背弦差也。半法簡捷，故用其半。冪者，方眼也。自乗之數必方，故謂之冪。假令徑十寸，截矢一寸，一寸隅無開方，即以一寸為矢冪，而以十寸之徑除之，該得一分，是半背弦差一分。若二寸矢開方得四寸，是為一寸者四，半背弦差得四分。三寸矢開方得九，是為一寸者九，半背弦差得九分。皆凖之於十寸之徑，故一寸之冪而差一分。逓而上之，視其冪以為差之多少。又假令徑十三寸，矢冪一寸，則以十三寸之徑與一寸相除，每寸該差七?七毫弱，以為半背弦差。若二寸矢開方得四，該四箇七?七毫，併之得三分八毫，以為二寸矢半背弦差。此凖之十三寸之徑，亦逓而上之，視其冪以為差之多少。盖徑長則背弦之差减，故一寸矢而差止七?有竒。徑短則背弦之差増，故一寸矢而差及一分。雖其數有增减，而凖之扵一寸之冪與徑相除，而以漸開之，每得一寸，則得元差，而相併以為背弦之差，則其法之一定不可易者也。背徑求矢、矢背求徑諸法，消息管於是矣。至於徑積求矢一法，古法以倍截積自乗為實，四因截積為上㢘，四因直徑為下㢘，五為負隅，與矢相乗，以减下㢘，而以上下㢘與矢除實。今立一法，但以截積自乗為實，而遂以截積為上㢘，直徑為下㢘。每一寸矢帶二分五?，二寸矢則帶五分四分，而增其一以减徑。其倍積四因之法，悉去不用，頗為簡捷。盖徑積求矢，凖於矢徑之差，矢徑差者，矢徑互為升降也。矢一寸則該减徑一寸二分，五?矢二寸，則該减徑二寸五分，而矢徑之差起於積數之不足。且夫圎凖於方，而畸零之圎又凖於均齊之圎，以方為率，徑十寸，矢一寸，則積必是十寸，矢二寸，則積必是二十寸，但得積為實，只約矢與徑為從平方開之足矣，盖方無虚隅也。又以整圎為率，徑十寸，矢五寸，則圎積必居方積四分之三，而以四之一為虚隅足矣，盖雖有虚隅，而其數易凖也。惟是矢以漸而短，則積以漸而减，有不能及四分之三；虚隅以漸而加，有不止於四分之一者矣。於是平方法與四分而一為虚隅之法，皆不可用，惟自乗平方之積為三乗，而以四分之矢减五分之徑，則不問矢之長短，積與虚隅之多寡，而其數皆至此而均齊，猶之平方之法，數有多寡，而减來减去，必得一均齊之數以為凖，而後不齊者皆齊，此天然之妙也。夫積自乗而為三，乗方之實則一整方耳，而矢數蔵焉。及立法求矢，則分為上下兩㢘，而矢數著焉。盖整方所以聚積，而分㢘所以散積，?短截長，而方圎斜直通融為一，此亦天然之妙也。假令徑十寸，矢一寸，積該三寸五分，自乗該十二寸二分五?。上㢘三寸五分，下㢘十寸，以三乗方開之，而一寸無開方，則上下㢘如元數，共得十三寸五分，為㢘法。與一寸矢相乗除，實恰少一寸二分五?，是為負隅之數，所以用每矢一寸，則帶二分五?為凖，以减徑，然後法實相當也。又如徑十寸，矢二寸，積該十寸，自乗該百寸。上㢘十寸，下㢘亦十寸。以三乗方開之，則湏以矢數乗上㢘，上㢘該得二十寸。盖長十寸而高二寸之數。以矢數自乗得四，而乗下廉，下㢘該得四十寸，盖高十寸而濶四寸之數。上下㢘共得六十寸。又以矢二寸為方面，與上下㢘相乗，除實共二箇六十寸，該得一百二十寸，其數乃足。而元數止得百寸，恰少積二十寸。所以用二寸五分以除下㢘，則該止得七寸五分為下㢘。其下廉减去高二寸五分，中濶該四寸，則四箇二寸五分，該得十寸。方面二寸，與十寸相乗，共二十寸，恰勾負隅之數，所以二寸矢則用二寸五分减法也。逓而上之，每寸以二分五?為凖。盖雖徑有極長極短，而一寸寸矢帶二分五?减徑之法，則定數也。徑積求矢、矢積求徑、徑矢求積諸法，消息管於是矣。然此二法者，背弦之差則隨徑而不隨矢，所以均為一寸之矢，而其差則有多寡之不齊。矢徑之差，則隨矢而不隨徑，所以但得一寸之矢，則不問徑之長短，而一例為差。此二法之異也。若以今法與舊法相通，今法不倍積，所以不用四因。四因者，生於倍積也。古法之五為負隅，即今之一寸帶二分五?也。盖以五乗之矢除四因之徑，則亦一寸矢而减一寸二分五?之徑也。然有㢘而無方隅者，盖截積止得㢘數也。即此二法，可見截弧、截積之法皆從邉起，而凖之於邉，以漸消息之矣。既得一寸之定差，則雖倍蓰、十伯錯綜變化，而皆不能出乎範圍之外，此天然之妙也。故曰：握其機而萬事理矣。其弦矢求徑法，半弦自乗為實，而以矢除之，加矢得徑，是徑之數蔵於半弦冪，與矢相除而加矢之中也。今環而通之，以為背弦求矢諸法。背弦求矢，其半背冪中蔵一箇，半弦冪與矢相除，而加矢之徑數，蔵一箇。矢冪以徑數相除，為背弦差之數。二數消息，恰得半背冪本數，則矢數見矣。假令徑十寸，矢一寸半，背弦差一分半，背數三寸一分，自乗得九寸六分一?，其九寸為弦冪。所謂中蔵半弦冪。與矢相除，而加矢之徑數，其六分一?，乃是兩半背冪，而空其一差，亦名差。與半背相開方之數，即以與其差一分相乗之數，所謂一箇矢冪，以徑數相除，為背弦差之數也。二數消息，以盡背冪，而法可立矣。其背矢求弦法，若背矢先求出徑，而後以矢徑求弦，則為簡捷。盖半背冪中所蔵弦冪與背弦差冪，今以矢冪約徑，而以徑除矢冪，為背弦差。又以矢截徑，以矢乗之，為半弦冪。二數消息，恰得半背冪本數，則徑數見矣。得徑而弦在其中矣。其矢弦求背，亦湏先得徑而後得背。盖半弦冪為實，乃以矢約徑，以矢减之，以矢乗之，恰得半弦冪本數，則徑數見矣。得徑而背在其中矣。假令矢一寸半弦三寸，自乗九寸，為半弦冪為實。以矢約徑，得十寸，以矢一寸减之，得九寸。以矢一寸乗之，得九寸，恰與半弦冪相同，則為徑十寸矣。此背弦、矢徑四者相乗除，循環無窮之妙也。至於徑積求矢，則既然矣。因而通之，積矢求徑，假令徑十寸，矢一寸，積三寸五分自乗，該十二寸二分五?，乃以原積三寸五分為上㢘，一寸之矢為下㢘。以除自乗之積，餘數得八寸七分五?，加矢帶數一寸二分五?，則為徑十寸矣。又如徑十寸，矢二寸，積十寸自乗，寸百為實。矢乗積得二十寸為上㢘。再矢自乗，得八，為下㢘。以二乗上㢘，消積四十。以八消餘積六十，得七寸五分，加入矢帶數二寸五分，則徑十寸矣。徑積求矢，則積為上㢘，而徑為下㢘。矢積求徑，則亦積為上㢘，而矢為下㢘。此其縦横、徃來相通之妙。而一乗上㢘，再乗下㢘，則三乗開方之定法也。積矢求弦，則倍其積，以矢除積而减矢。弦矢求積，則并矢扵弦，以矢乗積而半其積。盖矢弦井之為長，以矢乗之而得兩積，故半之而積可見也。倍之，則為矢弦相併之積，以矢除之，而得矢弦相併之本數，除矢而弦可見也。徑矢求積，則先得弦而後得積。盖以矢减徑，以矢乗之，四因得數，而弦冪蔵扵其中，平方開之得弦。乃以矢自乗，以矢與弦相乗，合二數而半之，則得積矣。此又積矢、徑、弦四者相乗除，循環無窮之妙也。其徑背求矢法，則以半背自乗為實，而約矢以减徑。以矢乗之，為半弦冪，而平方開之以减背。其減餘之數，恰與矢之背弦差數相當，則矢數見矣。盖半背數中蔵一，半弦數蔵一背弦差數，故合二數而消息之也。徑十寸，矢一寸半，背三寸一分。十寸之徑，每一寸矢該差二分，二寸矢該差四分，為定差。今約矢一寸以减徑，得九寸，以矢乗，亦得九寸。平方開之，得三寸，為半弦。以除半背，而餘一分，恰勾一寸差數，則矢之為一寸也無疑矣。又如徑十寸半，背四寸四分，約得矢二寸，以减徑，餘八寸，以矢乗，得十六寸為弦冪。平方開之為四寸，以减半背四寸，而餘四分，恰得二寸矢之定差，則矢之為二寸也無疑矣。又法，半背冪自乗為實，中蔵一箇半弦自乗之數，一箇背弦差與兩半背而空出一差相乗之數，亦名背弦差與背相開方之數。以此兩數與實相消，而矢數見矣。假令徑十寸半，背三寸一分，其半背冪該九寸六分一?，約矢一寸，與徑相减相乗如前法，得九寸，以除實九寸。而以一寸之差一分與兩半背，而空出一差之數，得六寸一分。與上差一分相乗，得六分一?。并二數九寸六分一?，除實恰盡，以是知矢之為一寸也。又如半背四寸四分自乗得十九寸三分六?為實。約矢二寸，與徑相减相乗如前法，得十六寸，以除十六寸。而以二寸之差四分與兩半背，而空出一差之數，得八寸四分。與上差四分相乗，得三寸三分六?。併二數十九寸三分六?，除實恰盡，以是知矢之為二寸也。此其法亦始扵先得定差，而約矢與徑，兩相消息，以得矢也。其徑數有長短，差數有多寡，亦凖此法而通之也，在先得定差而已。又法：半徑自乗為徑冪，半背目乗為背冪，二冪相乗為實。乃約矢以减徑，以矢乗之為半弦冪，與徑冪相乗以除實。又以徑冪除其餘實，恰得矢數之定差，則矢可得矣。盖二冪相乗，中蔵一箇，徑冪與弦冪相乗之數蔵一箇，徑冪與半背弦差冪相乗之數，而背弦差者，矢之所蔵也。假令徑十寸，矢二寸，背差八分半，徑自乗得二十五寸半，背自乗得十九寸三分，六?相乗得四百八十四寸為實。及約矢，得二寸，以减徑而乗之，得十六寸，為弦冪。與徑冪相乗得四百，以除實，餘八十四寸，又以徑冪除之，得三寸三分六?，恰與二寸矢之定差相合。然二寸矢之定差四分，而乃有三寸三分六?者，盖始求背冪之時，以兩背數相乗，則四分寓其間，恰得此數，所謂差與背相開方之數也。以四分與八寸四分相乗，得三寸三分六?，故定差四分，而其積則三寸三分六?也。以八寸四分除之，則定差本數也。夫背弦差者，矢之所蔵也。以差立法，古未有之，而實求矢之大機也。差徑求矢，以差與徑相乗，平方開之，得矢差。矢求徑，矢自乗，以差為從，平方開之，得徑。而差與弦亦可以求矢徑。半弦之冪，矢除徑，而矢乗徑之數也。差者，矢冪而徑除之之數也。先約徑矢數與弦冪相同，而又以徑除矢冪，與差數同，則得矢徑差。與背求矢，徑减差，則得弦，即差弦求矢徑也。積者，矢與弦并，以矢除而半之之數也。積弦求矢，倍積為實，約矢而加之，扵弦為從，方以矢為法除之，則得矢也。矢積求弦，矢自乗而置虚積，與元積相當，然後减去矢自乗之冪，而以矢除其虚積，與元積之并，則得弦也。假令矢一寸，積三寸五分，矢自乗得寸，添積二寸五分，乃與元積相當。然後减去矢自乗之寸，餘六寸，以矢除之，得弦六寸也。矢二寸，積十寸，矢自乗得四寸，加虚積六寸，與元積相當。减去矢自乗之寸，餘十六寸，以矢除之，得弦八寸也。如不以矢徑求弦，得積，而遂以矢徑求積，則矢每寸截徑寸二分五?，而以矢自乗再乗，以乗截餘之徑為徑積。然後以徑約積，而以積與矢自乗之數相乗，添入徑積，合為積冪，而復以約積自乗，亦與前積冪同數，則積亦可得矣。然不如得弦而後得積之為簡捷也。至扵殘周與弦求矢，則亦用半弦自乗為實，而約出矢數，以除半弦冪，而加矢為徑。乃以徑?出全周之數，而以半背數除半弦數，餘為半背弦差，恰得矢之定差，則矢可得矣。假令弦六寸，殘周二十三寸八分，則以半弦自乗得九為實，而約出矢一寸，以除實而加之，得十寸為徑，該周三十寸。除殘周數，得半背三寸一分。除半弦三寸，而餘一分，恰得一寸矢之定差，則矢一寸也。又如弦八寸，殘周二十一寸二分半，弦自乗得十六為實，約出矢二寸，以除實而加之，得十寸為徑，該周三十寸，除殘周數，得半背四寸四分。除半弦四寸，而餘四分，恰得二寸。矢之定差，則矢二寸也。數雖如是，而起算極周折，惟求之弦、矢、徑三相權，則其數可凖。盖徑矢求弦，則以矢减徑，以矢乗之，為半弦冪。徑弦求矢，則以半弦自乗為實，而以徑為益。方。以矢减益方，而相乗除實，亦是以矢减徑，以矢乗之，而得半弦冪也。弦矢求徑，則以半弦自乗，以矢除之，加矢而得徑。由是三者輾轉求之，則是半弦冪中蔵却以矢减徑，以矢乗之之定數。以是約出矢徑，而因徑以為周，减其殘周而得背。以半背與半弦相較而得差，恰與矢之定差相同，則矢數無所失矣。其有不合，則更約之。此數雖若?茫，然凖之扵以矢减徑，即以矢乗，必湏與半弦冪相當，則亦未嘗無繩墨也。此意玄之又玄，非至神莫知也。積也，矢也，徑也，弦也，背也，殘周也，差也，凡七者轉相為法，而轉相求，共得三百二十六法而後盡，渾然一圎圈而中含，錯綜變化，乃至扵此。嗚呼！豈非所謂至妙至妙者哉。