九章算術卷四

九章算術卷四

魏劉徽注

唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉　勅注釋

少廣

少廣

術曰：置全步及分母子，以最下分母徧乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之於左，命通分者，又以分母徧乘諸分子及已通者，皆通而同之，并之爲法。置所求步數，以全步積分乘之爲實。實如法而一，得從步。

今有田廣一步半，求田一畝，問從幾何？荅曰：一百六十步。術曰：下有半，是二分之一。以一爲二，半爲一，并之得三，爲法。置田二百四十步，亦以一爲二乘之，爲實。實如法得從步。

今有田廣一步半，三分步之一，求田一畝，問從幾何？

荅曰：一百三十步一十一分步之一十。

術曰：下有三分，以一爲六，半爲三，三分之一爲二，并之得一十一爲法。置田二百四十步，亦以一爲六乘之，爲實。實如法得從歩。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一，求田一畝，問從幾何？

荅曰：一百一十五步五分步之一。

術曰：下有四分，以一爲一十二，半爲六，三分之一爲四，四分之一爲三，并之得二十五，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲一十二乘之，爲實。實如法而一，得從步。今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一，求田一畝，問從幾何？

荅曰：一百五步。一百三十七分步之一十五。

術曰：下有五分，以一爲六十，半爲三十，三分之一爲二十，四分之一爲一十五，五分之一爲一十二，并之得一百三十七，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲六十乘之，爲實。實如法得從步。今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一畝，問從幾何？

荅曰：九十七步四十九分步之四十七。

術曰：下有六分，以一爲一百二十，半爲六十，三分之一爲四十，四分之一爲三十，五分之一爲二十四，六分之一爲二十，并之得二百九十四，以爲法。置田二百四十歩，亦以一爲一百二十乘之，爲實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一畝，問從幾何？

荅曰：九十二步一百二十一分步之六十八。

術曰：下有七分，以一爲四百二十，半爲二百一十，三分之一爲一百四十，四分之一爲一百五，五分之一爲八十四，六分之一爲七十，七分之一爲六十，并之得一千八十九，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲四百二十乘之，爲實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一畝，問從幾何？

荅曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。

術曰：下有八分，以一爲八百四十，半爲四百二十，三分之一爲二百八十，四分之一爲二百一十，五分之一爲一百六十八，六分之一爲一百四十，七分之一爲一百二十，八分之一爲一百五，并之得二千二百八十三，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲八百四十乘之，爲實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一畝，問從幾何？荅曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。

術曰：下有九分，以一爲二千五百二十，半爲一千二百六十，三分之一，爲八百四十；四分之一爲六百三十，五分之一爲五百四，六分之一爲四百二十，七分之一爲三百六十，八分之一爲三百一十五，九分之一爲二百八十，并之得七千一百二十九，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲二千五百二十乘之，爲實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一，四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一畝，問從幾何？

荅曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

術曰：下有一十分，以一爲二千五百二十，半爲一千二百六十，三分之一爲八百四十，四分之一爲六百三十，五分之一爲五百四，六分之一爲四百二十，七分之一爲三百六十，八分之一爲三百一十五，九分之一爲二百八十，十分之一爲二百五十二，并之得七千三百八十一，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲二千五百二十乘之，爲實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一畝，問從幾何？

荅曰：七十九步八萬三千七百一十一分步之三萬九千六百三十一。

術曰：下有一十一分，以一爲二萬七千七百二十，半爲一萬三千八百六十，三分之一爲九千二百四十，四分之一爲六千九百三十，五分之一爲五千五百四十四，六分之一爲四千六百二十，七分之一爲三千九百六十，八分之一爲三千四百六十五，九分之一爲三千八十，一，十分之一爲二千七百七十二，一十一分之一爲二千五百二十，并之得八萬三千七百一十一，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲二萬七千七百二十乘之，爲實。實如法得從步。

今有田廣一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一畝，問從幾何？

荅曰：七十七步八萬六千二十一分步之二萬九千一百八十三。

術曰：下有一十二分，以一爲八萬三千一百六十，半爲四萬一千五百八十，三分之一爲二萬七千七百二十，四分之一爲二萬七百九十，五分之一爲一萬六千六百三十二，六分之一爲一萬三千八百六十，七分之一爲一萬一千八百八十，八分之一爲一萬三百九十五，九分之一爲九千二百四十，一十分之一爲八千三百一十六，十一分之一爲七千五百六十，十二分之一爲六千九百三十，并之得二十五萬八千六十三，以爲法。置田二百四十步，亦以一爲八萬三千一百六十乘之，爲實。實如法得從步。

今有積五萬五千二百二十五步，問爲方幾何？

荅曰：二百三十五步。

又有積二萬五千二百八十一步，問爲方幾何？

荅曰：一百五十九步。

又有積七萬一千八百二十四步，問爲方幾何？荅曰：二百六十八步。

又有積五十六萬四千七百五十二步四分步之一，問爲方幾何？

荅曰：七百五十一步半。

又有積三十九億七千二百一十五萬六百二十五步，問爲方幾何？

荅曰：六萬三千二十五步。

開方

術曰：置積爲實，借一算步之，超一等，議所得，以一乘所借一算爲法，而以除除已，倍法爲定法。其復除、折法而下，復置借算，步之如初，以復議一乘之，所得副以加定法以除，以所得副從定法復除、折下如前。若開之不盡者，爲不可開，當以面命之。若實有分者，通分內子爲定實，乃開之。訖，開其母報除。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。

今有積一千五百一十八步四分步之三。問爲圓周幾何？

荅曰：一百三十五步。

又有積三百步。問爲圓周幾何？荅曰：六十步。

開圓術曰：置積步數，以十二乘之，以開方除之，卽得周。

今有積一百八十六萬八百六十七尺，問爲立方幾何？

荅曰：一百二十三尺。

今有積一千九百五十三尺八分尺之一，問爲立方幾何？

荅曰：一十二尺半。今有積六萬三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，問爲立方幾何？

荅曰：三十九尺八分尺之七。

又有積一百九十三萬七千五百四十一尺二十七分尺之一十七。問爲立方幾何？

荅曰：一百二十四尺太半尺。

開立方

術曰：置積爲實，借一算步之，超二等，議所得，以再乘所借一算爲法而除之，除已，三之，爲定法。復除，折而下，以三乘所得數，置中行，復借一算，置下行，步之，中超一，下超二位。復置議，以一乘中，再乘下，皆副，以加定法。以定法除。除已，倍下，并中，從定法。復除，折下，如前開之不盡者，亦爲不可開。若積有分者，通分內子爲定實，定實乃開之。訖，開其母以報除。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。

今有積四千五百尺，問爲立圓徑幾何？荅曰：二十尺。

又有積一萬六千四百四十八億六千六百四十三萬七千五百尺。問爲立圓徑幾何？

荅曰：一萬四千三百尺。

開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得，開立方除之，卽丸徑

九章算術卷四

九章算術卷四訂訛補圖

休寧戴震東原祖暅之開立圓術曰：以二十一乘積，十一而一，開立方除之，卽立圓徑。其意何也？取立方棊一枚，令立樞於左後之下隅，從規去其右上之廉，又合而橫規之，去其前上之廉，右前之廉，於是立方之棊分而爲四規。內棊一，謂之內棊規外棊三，謂之外棊。更合四棊，復横斷之。以句股言之，令餘高爲句內棊，斷上方爲股。本方之數其弦也。句股之法，以句幂減弦幂，則餘爲股幂。若令餘高自乘，減本方之幂，餘卽內減棊斷上方之幂也。本方之幂，卽外四棊之斷上幂。然則餘高自乘卽外三棊之斷上幂矣。不問高卑，勢皆然也。故曰：丸居立方三分之一也。