伯克利大学马毅教授：深度学习的第一性原理

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作者：周寅张皓

导读：寻找深度学习的普适理论一直是学界关注的焦点。在深度学习的工作中，我们常常使用许多经验性的方法，例如选择不同的非线性层，样本的归一化，残差链接，卷积操作等等。这样的方法为网络带来了优秀的效果，经验性的理解也为深度学习发展提供了指导。但似乎我们对其理解仅限于此，由于网络的黑盒性质，这些方法究竟从理论上如何工作，为何需要加入网络，我们似乎难以回答。

近日UC Berkeley的马毅教授的报告“Deep Networks from First Principle”提供了一种系统性的理论观点。

报告中，马毅教授阐述了最大编码率衰减（Maximal Coding Rate Reduction,   MCR^2）作为深度模型优化的第一性原理的系列工作。此外，马毅介绍了近期的工作：通过优化 MCR^2 目标，能够直接构造出一种与常用神经网络架构相似的白盒深度模型，其中包括矩阵参数、非线性层、归一化与残差连接，甚至在引入「群不变性」后，可以直接推导出多通道卷积的结构。该网络的计算具有精确直观的解释，受到广泛关注。

正如费曼所说「What I cannot create I do not understand」。该工作表明，为了学习到线性划分的样本表示，所有这些常用方法都能够精确推导出来，都是实现该目标所必须的。因此，通过该工作，可以更加直观细致地理解神经网络中的常用方法。

本文整理自该报告的部分内容，原报告链接如下：

https://www.youtube.com/watch?v=z2bQXO2mYPo

深度学习的第一性原理

Learn to Compress, Compress to Learn!

——马毅

聚类和分类是两种主要的目标，很多任务都可以归类为将数据划分成不同的部分。马毅教授提出，分类和聚类代表的学习任务，与数据压缩（Compression）有关，而这样的任务，通常是在寻找高维目标的低秩结构，且深度网络能够适应于这样的压缩场景。

我们引入一个假设，在数据处理中，通常面对的是具有低维结构的高维数据。在这样的情况下，学习的目标通常会包含三个基本问题：

• Interpolation，我们寻找样本之间的相似关系，这体现为聚类或分类任务；
• Extrapolation，当获得第一个阶段任务的信息后，我们就可以对新的样本进行归类，判断未知样本的结构。
• Representation，我们能够了解数据的信息，并建模描述它。

深度学习则将上述数据分析的任务“塞”进黑箱运算中。例如在神经网络分类任务中，我们将输入与输出的标签相互对应，然而足够大的深度网络能够拟合任何给定标签。

尽管在实践中取得了很好的效果，但是理论上来说，训练深度神经网络并不能保证稳定和最优，且我们无法从中了解到模型究竟学到了什么。

IB Theory 提供了一种理解方法，但是，从信息视角理解网络会碰到一个问题，即在高维数据上，传统信息论的统计量是无法定义的，高维数据常常是退化分布的，无法完成有效测量。

通过压缩来聚类和分类

传统聚类方法通常采用最大化相似度的方法进行，而应用在高维退化分布的数据上时，相似度难以定义。因此，我们从更基础的问题出发，为什么需要聚类划分数据？

从压缩角度，我们可以看出，能够划分的数据具有更小的空间，通过划分能够获得对数据更有效的表示。如果能找到编码长度的有效度量，就可以设计相应的优化目标。

熵是度量编码长度的工具，但在高维数据上，熵的测量非常困难，马毅教授采用率失真理论来度量这样的表示，提出了编码长度函数（Coding Length Function）：

 

有上图的度量后，我们就能描述聚类或划分的现象，即划分前的数据所须的编码长度，大于划分后的编码长度。这样的划分不需要标签，而是可以通过一些贪心算法，比较不同划分之间的编码长度，获得使划分后编码长度最小的划分。结果展现了这样的方法有非常好的聚类效果，能够找到全局最优的划分，并对离群点非常鲁棒。

同样的方法可以应用于分类任务，通过比较将新数据划分到不同类别增加的编码长度，选取使编码长度增加最少的类别，作为该样本最合适的分类，这种方法依旧来源于最小划分后编码长度的理论。这种方法可以理解为，将新样本划分到合适的类别分类后，所带来的存储开销应当最少，通过正确分类，可以得到最优的表示效率。结果显示，比较传统方法，MICL能够找到更加紧的边界，并且与分类不同的是，其决策边界更接近于数据本身的结构特征。

通过最大编码率降低来表示

在完成了 Interpolation(聚类)与 Extrapolation(分类)后，从压缩的视角，还能够实现对数据的表示。当数据符合某种低秩结构时，优秀的表达的目标可以被理解为，最大限度地学习到该结构特征，即，在让同一结构样本靠近的同时，使样本表达能力最大；同时，将不同结构数据间的差异尽可能清晰地体现出来。

具体来说，有三条原则：

1. 压缩同类别数据；

2. 区分不同类别数据；

3. 每类数据能够表达的范围尽可能大。

上文中的Coding Length Function同样为最优表达提供了度量。当样本表达最优时，其表达所占的空间能够最大化，即整体的样本集拥有最大的编码长度。而对于混合类别的数据，令其划分后所须的编码长度最小化，即使其能够让属于不同结构的样本相互靠近。基于这样的目标，CLF描述了如下的学习目标。

这被称为Maximum Coding Rate Reduction ( MCR^2 )，下图展示了其直观的解释：

为了使不同范围的样本进行比较，针对每个样本需要进行归一化操作。这与归一化的通常理解相符，使模型能够比较不同范围的样本。

从优化编码率降低来构建深度网络

通过对 MCR^2 目标进行梯度下降优化，我们甚至可以利用这一原理构造一个新的深层网络ReduNet。下图展示了详细的推导过程。对该目标求梯度后，获得了两个操作矩阵E、C，所求梯度就是其分别与样本乘积的和。

而观察E、C两个操作矩阵，会发现其与样本乘积的结果天然带有几何的解释，即样本Z对于其余样本，和各划分类别样本的残差。因此，若需要扩展样本空间的大小，只需加上E与样本相乘获得的残差，若要压缩各类别子空间的大小，仅需减去与C进行相同操作的结果。

梯度下降过程可以表现为如下结构的网络，其中，每个C对应一个划分的类别，E为求梯度得到的扩张操作矩阵，而梯度下降的更新过程体现为原样本加上得到的梯度，即梯度加上原样本的残差I：

 

对比常用的神经网络结构，可以发现其与ReduNet有许多相似之处，例如残差链接，C的多通道性质，非线性层等。同时，ReduNet所有参数均能够在前向传播中计算得到，因此网络无需BP优化。

 

从平移不变性得到卷积网络

通过引入组不变性，将cyclic shift后的样本视为同一组，每次将一组样本编码到不同低秩空间，ReduNet可以实现识别的平移不变性。

同时，类似卷积的网络性质也随之而来。在引入平移不变的任务要求后，网络使用循环矩阵表示样本，因而在与E，C矩阵进行矩阵乘时，网络的操作自然地等价于循环卷积。

但考虑不变性时，另一个问题出现了。当存在无数种shift可能时，若样本是稠密的，则其可以通过变换生成任意信号，因此，样本的稀疏性和不变性是不可兼得的，这体现为“不变性”与“稀疏性”的Trade-off。通常深度网络可能隐含了样本的稀疏化过程，而ReduNet则使用了随机卷积核提取样本的稀疏编码。

可以看到E，C在考虑不变性后，自动产生了卷积效果，且求逆计算使得通道间的操作相互关联。上述计算还可以通过频域变换来加速计算效率。

构造的ReduNet也可以通过反向传播训练，且前向传播计算得到的参数，为反向传播训练提供了非常好的参数初始化，通过该初始化得到的参数，经过BP训练后，结果比随机初始化并BP训练的结果有显著提升

 

马毅教授指出，在构造ReduNet的过程中发现，深度神经网络中常用的操作，稀疏编码，频域计算，卷积，归一化，非线性等等，都是为了实现优化 MCR^2 目标，学习一个可线性划分的表示所必须的操作，且可以在构造网络的过程中推导出来。教授在报告中引用的费曼这句话"What I cannot create I do not understand."，深刻地揭示了该工作的意义。当深度网络中曾经广泛使用的操作能够真正被构造出来时，我们才真正理解了他们。

总结

基于“First Principle”的理论，报告中的工作展现了广泛的前景。报告中拓展了许多未来方向，其中包括基础的关于压缩与学习关联的理论，关于 MCR^2 准则的研究，以及对ReduNet网络的进一步优化工作。

尽管上文中算法有诸多变化，其核心都是基于“压缩”的概念。聚类，划分，表征，这些学习任务都可以被表述成压缩任务。我们希望学习到样本的知识，是期望能够更高效地表示样本，因此我们学习类别，提取特征，抽象概念。 MCR^2 原理基于率失真理论，描述了划分和压缩的过程，并能够基于压缩，完成包括聚类，分类，表示学习，构造网络等等任务，体现了作为学习的一般原理的泛用性能。

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