温馨提示

若移动端查看数学公式不全或显示错误

可以复制文章链接至PC端进行查看文章

1.5 行列式的性质

转置行列式

n阶行列式D：

令，得到

行列式称为行列式的转置行列式

性质1

内容

行列式与它的转置行列式相等

证明

设

再设

又因为  我们知道

所以有：

推出

又因为

所以

证明完成！

性质2

内容

互换行列式的两行（列），行列式变号

证明

设n阶行列式D

交换第i、j行 得

我们设

当时，有当时，有、

❝

简单的说

• 当，也就是不属于交换的那两行，b与a就是完全的对应关系；
• 当时，就是交换的那两行，b与a行之间的就是相反的，列是一样的

❞

与

对比 发现只交换了行坐标

从1...i...j...n 变成了 1...j...i...n

很明显，和全排列中交换任意两个元素一样，奇偶性会改变 也就是逆序数+1或-1

❝

其实就是在行列式这里就是相当于奇偶性发生一次变化，就是乘了一个-1

❞

所以

证明完成！

性质3

内容

行列式中的某一行（列）中的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

证明

设行列式

化简

证明完成！同理，列的情形也是一样的

性质4

内容

行列式中如果有两行（列）元素成比列，则此行列式等于0

证明

设行列式

其中第i行元素与第j行元素成比例，也就是

因为

所以

如果此时对换第i行与第j行

行列式依然不会发生变化

因为对换后，D还是原来的值

❝

（对换后 其实和原来一样）

❞

「但是因为任意两行互换后，一定会发生变号，变为-D」

综上，有

得到

证明完成！

性质5

内容

若行列式中的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i列的元素都是两数之和

则

证明

证明完成！

性质6

内容

把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一个数然后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变

证明

设行列式

对第j行乘以k，再加到第i行，得到

由性质5得

由性质4得

所以

证明完成！

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～