1.3 n阶行列式

三阶行列式为：

从中我们可以发现规律：

其中t为排列的逆序数

进而推出n阶行列式：

特殊情况1：

特殊情况2：

1.4 对换

1.4.1 排列的对换

概念

• 对换：在排列中，将「任意两个元素」对调，其余的元素不动。
• 相邻对换：在排列中，「相邻两个元素」进行对换

定理1

内容

一个排列中任意两个元素对换，奇偶性发生改变

证明

首先证明相邻对换的情况

设排列

a和b对换，变成

显然，、这些元素的逆序数没有发生变化

当a<b时

• 从ab变为ba，a的逆序数+1（a前面多了一个b），b的逆序数不变

当a>b时，

• 从ab变为ba，a的逆序数不变，b的逆序数-1（b前面少了一个a）

所以

❝

排列中发生相邻对换，奇偶性会发现变化（奇排列-> 偶排列 or 偶排列->奇排列）

❞

再来证明一般情况

,a与b发生对换，变为

我们可以先用与进行相邻对换，变为

再用与进行相邻对换，变为. . . 最后与进行相邻对换，变为

一共经历了m次相邻对换

❝

和对换，一共就是m次

❞

然后，我们再用与进行相邻对换,变为

再用与进行相邻对换,变为. . . 最后与进行相邻对换,变为

一共经历了（m+1）次相邻对换

综上

一共发生了m+（m+1）=2m+1次相邻对换

从最开始的证明可以得出

❝

2m+1次相邻对换后，排列的奇偶性还是会发生改变 （交换1次，奇偶性发生转变；交换2次，奇偶性不发生变化-->交换奇数次，奇偶性发生转变；偶数次则不会。2m+1一定是奇数 ，当m为正整数时）

❞

推论

❝

「齐排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。」

❞

说明

❝

首先，标准排列是逆序数为0的偶排列  

从定理1可以得知，对换一次，奇偶性发生改变  

若是齐排列，对换一次，奇->偶，再对换一次，偶->奇...

对换奇数次，最后变为了偶排列；

对换偶数次，最后变为奇排列。 

所以齐排列变成标准排列的对换次数一定为奇数。

偶排列变成标准排列的对换次数为偶数同理可证。

❞

1.4.2 行列式的另一种表示方法

n阶行列式有：

我们选择任意一项：，其中1...i...j...n为自然排列，中的t为逆序数

然后「交换」，得到

「我们来计算奇偶性的变化」

首先，我们知道只是交换来两个元素的位置，该项的值是不会发生变化的。

「行标」从 1...i...j...n 变为了 1...j...i...n，可以得出「排列1...j...i...n的逆序数为是奇数，设为r」

❝

因为1...i...j...n逆序数为0，偶排列

根据排列任意元素对换，奇偶性改变，

1...j...i...n就变成了齐排列，那么其逆序数一定就是奇数

❞

同样，设（「列标」）的逆序数为,得到

前面的正负符号为

因为

❝

的逆序数为t 前面的系数为 

对换一次变为 奇偶性发生变化 其实就是乘以（-1）

（排列中，任意两个元素发生对换，奇偶性发生变化，其实就是乘以（-1））

 

所以

❞

又因为r为奇数，有

综合下面两个式子：

得到：

推出：

「说明」

❝

对换行列式中某一项两个元素的位置，使得行坐标、列坐标同时发生变化，但是却并不会改变该项的奇偶性。

❞

「一次交换不会改变奇偶性，那么多次交换也不会改变奇偶性」

经历若干次对换 列标排列一定可以变为自然排列（1 2 3... n）

设若干次变换后 列标排列变为了自然排列 行标排列设为，则有

对于其中任意一项 ，有

得到

说明由可以确定唯一对应的一个，比如 说明 且唯一！

那么由 可以确定唯一的

定理2

内容

n阶行列式也可以定义为：

证明

首先，n阶行列式有：

令

从定理1最后的讨论中可以得到：

❝

D中任意一项有且只有一项D1中的某一项与之对应**（q是可以有p确定的）；**  

同理，D1中任意一项也有且只有D中的某一项与之对应  

说明，D与D1中的任意一项都可以一一对应

❞

可以得到

所以

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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