矩阵乘法的五种理解 - Strang MIT 18.06 线性代数精髓 1

在本系列中，我们用彩色 Latex 笔记记录下 MIT 18.06 Gilbert Strang 教授经典的线性代数课程的精髓，部分内容也会以动画和代码的形式。后续会覆盖更多人工智能所涉及的数学基础课程：统计，优化等，欢迎大家关注和反馈。

本文对应视频课程第三节中详细解释了6矩阵相乘的5种方法及其理解。

假定 中， A 是 行 列的矩阵， 是 行 列的矩阵， 为 行 列矩阵：

1. B矩阵的列组合：列列切分

这是最经典的理解方式，沿袭了第一部分 的方式。

回顾可以将 视为 的列向量关于每个 分量的线性组合。

那么 相乘可以理解为将矩阵 按列切分成列向量，即

如此，结果矩阵的第 列就是 ： 的列向量关于 的线性组合。

由于我们将 和 都按列来切，这种方式可以助记成 列列 切分。

A矩阵行组合：行行切分

同样的，对应于  右乘向量等同于列的组合， 左乘行向量等同于行的组合：

其结果是一个行向量。

那么 相乘可以理解为将矩阵 按行切分成行向量，即

如此，结果矩阵的第 行就是 ： 的行向量关于 的线性组合。

这种方式可以助记成 行行 切分。

A行 x B列 点乘：行列切分

如 矩阵按行切， 矩阵按列切，可住记成 行列 切分，具体推导如下。

行乘以列即列向量点乘，结果是一个标量。因此 为结果矩阵 的第 行 列的值。

A列 x B行 矩阵和：列行切分

最后，也可也按列行来切分。注意列乘以行时的结果是一个矩阵。

分块相乘

第五种方式是分块相乘，可以认为是点乘理解下的扩展。

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