2021年，我终于决定入门GCN

我们面对的很多数据其实是图（graph），图在生活中无处不在，如社交网络，知识图谱，蛋白质结构等。在2020年这个寒冬，窝在家里的小编终于打算入门GNN（Graph Neural Networks）中的分支：GCN（Graph Convolutional Networks）。

图的概念

对于图，我们习惯上用表示。这里是图中节点的集合，而为边的集合，这里记图的节点数为。一个中有3个比较重要的矩阵：

• 邻接矩阵：adjacency matrix，用来表示节点间的连接关系，这里我们假定是0-1矩阵；
• 度矩阵：degree matrix，每个节点的度指的是其连接的节点数，这是一个对角矩阵，其中对角线元素；
• 特征矩阵：用于表示节点的特征，，这里F是特征的维度；

数学表示是比较抽象的，下面是一个实例：

图1 图以及邻接矩阵（来源：stanford cs224w）

注意左图是无向图，而右图是有向图，前者的邻接矩阵是对称的，而后者是不对称的。

相比图像和文本，图这种拓扑结构是较复杂的：任意的节点数以及节点间的复杂关系：

图2 图与图像和文本的结构对比（来源：stanford cs224w）

这种复杂性给神经网络在图上的应用带来了一定困难，但是我们依然有解决办法。

学习新特征

深度学习中最重要的是学习特征：随着网络层数的增加，特征越来越抽象，然后用于最终的任务。对于图任务来说，这点同样适用，我们希望深度模型从图的最初始特征出发学习到更抽象的特征，比如学习到了某个节点的高级特征，这个特征根据图结构融合了图中其他节点的特征，我们就可以用这个特征用于节点分类或者属性预测。那么图网络就是要学习新特征，用公式表达就是：

这里k指的是网络层数，就是网络第k层的特征，其中。那么现在的问题是如何学习，我们可以从CNN中得到启发：

图3 CNN与图学习类比（来源：stanford cs224w）

这是一个简单的3x3卷积层，每个新特征的学习是这样的：对其领域（3x3局部空间）的特征进行变换（），然后求和（）。类比到图学习上，每个节点的新特征可以类似得到：对该节点的邻域节点特征进行变换，然后求和。用公式表达就是：

这里的是学习权重，维度为，而是激活函数，比如是ReLU，这是神经网路的基本单元。上述公式其实就是对领域内节点特征求和，这里：

其中邻接矩阵是0-1矩阵，当节点j与节点i连接时，，所以节点i的新特征就是其邻接节点的特征和。

其实我们可以将上述学习分成三个部分：

• 变换（transform）：对当前的节点特征进行变换学习，这里就是乘法规则（Wx）；
• 聚合（aggregate）：聚合领域节点的特征，得到该节点的新特征，这里是简单的加法规则；
• 激活（activate）：采用激活函数，增加非线性。

其实这就算是图卷积（graph convolution）了，首先这里的权重是所有节点共享的，类比于CNN中的参数共享；另外可以将节点的邻居节点看成感受野，随着网络层数的增加，感受野越来越大，即节点的特征融合了更多节点的信息。直观的图卷积示意图如下：

图4 图卷积的示意图 （来源：https://www.jianshu.com/p/2fd5a2454781）

图卷积

上述的加法规则只是一个简单实现，其存在两个问题：首先在计算新特征时没有考虑自己的特征，这肯定是个重大缺陷；另外采用加法规则时，对于度大的节点特征越来越大，而对于度小的节点却相反，这可能导致网络训练过程中梯度爆炸或者消失的问题。

针对第一个问题，我们可以给图中每个节点增加自连接，实现上可以直接改变邻接矩阵：

针对第二个问题，我们可以对邻接矩阵进行归一化，使得的每行和值为1，在实现上我们可以乘以度矩阵的逆矩阵：，这里的度矩阵是更新后重新计算的。这样我们就得到：

相比加法规则，这种聚合方式其实是对领域节点特征求平均，这里：

由于，所以这种聚合方式其实就是求平均，对领域节点的特征是求平均值，这样就进行了归一化，避免求和方式所造成的问题。

更进一步地，我们可以采用对称归一化来进行聚合操作，这就是论文1中所提出的图卷积方法：

这种新的聚合方法不再是单单地对邻域节点特征进行平均，这里：

可以看到这种聚合方式不仅考虑了节点i的度，而且也考虑了邻居节点j的度，当邻居节点j的度较大时，而特征反而会受到抑制。

这种图卷积方法其实谱图卷积的一阶近似（first-order approximation of spectral graph convolutions），关于更多的数学证明比较难理解，这里不做展开，详情可见论文。

定义了图卷积，我们只需要将图卷积层堆积起来就构成了图卷积网络GCN：

图5 GCN示意图

其实图神经网路（GNN，Graph Neural Network）是一个庞大的家族，如果按照分类，其可以分成以下类型：

图6 GNN分类

可以看到GCN只是其中的一个很小的分支，我们上面所述的GCN其实是属于谱图卷积。更多关于GNN的学习，可以阅读这三篇综述文章：

• Graph Neural Networks: A Review of Methods and Application https://arxiv.org/pdf/1812.08434.pdf
• A Comprehensive Survey on Graph Neural Networks https://arxiv.org/pdf/1901.00596.pdf
• Deep Learning on Graphs: A Survey https://arxiv.org/pdf/1812.04202.pdf

GCN的PyTorch实现

虽然GCN从数学上较难理解，但是它的实现是非常简单的，值得注意的一点是一般情况下邻接矩阵是稀疏矩阵，所以我们在实现矩阵乘法时，采用稀疏运算会更高效。这里我们参考论文作者的官方实现。首先是图卷积层的实现：

    import torch
    import torch.nn as nn
    
    
    class GraphConvolution(nn.Module):
        """GCN layer"""
    
        def __init__(self, in_features, out_features, bias=True):
            super(GraphConvolution, self).__init__()
            self.in_features = in_features
            self.out_features = out_features
            self.weight = nn.Parameter(torch.Tensor(in_features, out_features))
            if bias:
                self.bias = nn.Parameter(torch.Tensor(out_features))
            else:
                self.register_parameter('bias', None)
    
            self.reset_parameters()
    
        def reset_parameters(self):
            nn.init.kaiming_uniform_(self.weight)
            if self.bias is not None:
                nn.init.zeros_(self.bias)
    
        def forward(self, input, adj):
            support = torch.mm(input, self.weight)
            output = torch.spmm(adj, support)
            if self.bias is not None:
                return output + self.bias
            else:
                return output
    
        def extra_repr(self):
            return 'in_features={}, out_features={}, bias={}'.format(
                self.in_features, self.out_features, self.bias is not None
            )

对于GCN，只需要将图卷积层堆积起来就可以，这里我们实现一个两层的GCN：

class GCN(nn.Module):
    """a simple two layer GCN"""
    def __init__(self, nfeat, nhid, nclass):
        super(GCN, self).__init__()
        self.gc1 = GraphConvolution(nfeat, nhid)
        self.gc2 = GraphConvolution(nhid, nclass)

    def forward(self, input, adj):
        h1 = F.relu(self.gc1(input, adj))
        logits = self.gc2(h1, adj)
        return logits

这里的激活函数采用ReLU，后面我们将用这个网络实现一个图中节点的半监督分类任务。

半监督分类实例

这里给出的是GCN论文中的一个半监督分类任务，官方代码也给出这个任务。我们要处理的数据集是cora数据集，该数据集是一个论文图，共2708个节点，每个节点都是一篇论文，所有样本点被分为7类别：

Case_Based, Genetic_Algorithms, Neural_Networks, Probabilistic_Methods, Reinforcement_Learning, Rule_Learning, Theory

每篇论文都由一个1433维的词向量表示，即节点特征维度为1433。词向量的每个特征都对应一个词，取0表示该特征对应的词不在论文中，取1则表示在论文中。每篇论文都至少引用了一篇其他论文，或者被其他论文引用，这是一个连通图，不存在孤立点。

这里的任务是给定图中某些节点的类别，然后训练一个网络能够预测其它节点标签，所以这里一个半监督学习任务。我们建立一个两层GCN来解决这个问题：

从结构上看，中间层用于提出特征，而最后一层的节点特征用于分类任务（送入softmax，计算交叉熵）：

图7 两层GCN用于分类任务

数据的提取，论文官方实现已经给出，我们只需要load就可以：

# https://github.com/tkipf/pygcn/blob/master/pygcn/utils.py
adj, features, labels, idx_train, idx_val, idx_test = load_data(path="./data/cora/")

值得注意的有两点，一是论文引用应该是单向图，但是在网络时我们要先将其转成无向图，或者说建立双向引用，我发现这个对模型训练结果影响较大：

# build symmetric adjacency matrix
adj = adj + adj.T.multiply(adj.T > adj) - adj.multiply(adj.T > adj)

另外官方实现中对邻接矩阵采用的是普通均值归一化，当然我们也可以采用对称归一化方式：

def normalize_adj(adj):
    """compute L=D^-0.5 * (A+I) * D^-0.5"""
    adj += sp.eye(adj.shape[0])
    degree = np.array(adj.sum(1))
    d_hat = sp.diags(np.power(degree, -0.5).flatten())
    norm_adj = d_hat.dot(adj).dot(d_hat)
    return norm_adj

这里我们只采用图中140个有标签样本对GCN进行训练，每个epoch计算出这些节点特征，然后计算loss：

    loss_history = []
    val_acc_history = []
    for epoch in range(epochs):
        model.train()
        logits = model(features, adj)
        loss = criterion(logits[idx_train], labels[idx_train])
        
        train_acc = accuracy(logits[idx_train], labels[idx_train])
        
        optimizer.zero_grad()
        loss.backward()
        optimizer.step()
        
        val_acc = test(idx_val)
        loss_history.append(loss.item())
        val_acc_history.append(val_acc.item())
        print("Epoch {:03d}: Loss {:.4f}, TrainAcc {:.4}, ValAcc {:.4f}".format(
            epoch, loss.item(), train_acc.item(), val_acc.item()))

只需要训练200个epoch，我们就可以在测试集上达到80%左右的分类准确，GCN的强大可想而知：图8 训练收敛曲线

结语

GCN只是GNN中的冰山一角，这可能连入门都不算，但是千里之行始于足下。

参考

1. Semi-Supervised Classification with Graph Convolutional Networks https://arxiv.org/abs/1609.02907
2. How to do Deep Learning on Graphs with Graph Convolutional Networks https://towardsdatascience.com/how-to-do-deep-learning-on-graphs-with-graph-convolutional-networks-7d2250723780
3. Graph Convolutional Networks http://tkipf.github.io/graph-convolutional-networks
4. Graph Convolutional Networks in PyTorch https://github.com/tkipf/pygcn
5. 回顾频谱图卷积的经典工作：从ChebNet到GCN https://www.jianshu.com/p/2fd5a2454781
6. 图数据集之cora数据集介绍- 用pyton处理 - 可用于GCN任务 https://blog.csdn.net/yeziand01/article/details/93374216