独家 | 线性代数：每个数据科学家的必知概念（上）
共 5318字，需浏览 11分钟
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2024-07-25 17:00
作者：Benedict Neo
翻译：陈之炎
校对：ZRX
本文约2500字，建议阅读8分钟
本文将探讨上述线性代数概念、视觉解释和代码示例。
你对线性代数有足够的了解吗？
xkcd
线性代数可用于：
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代码→ Deepnote 笔记本
本文（上篇）目录
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单位向量
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向量相加 -
标量相乘 -
点积
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零空间（核） -
张成空间 -
基 -
线性独立
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矩阵作为函数 -
线性变换 -
逆矩阵 -
奇异矩阵 -
单位矩阵 -
对角矩阵 -
正交矩阵 -
矩阵乘法 -
迹 -
决定值 -
秩 -
特征向量和特征值
向量
图片由作者提供
这是线性代数的基本构建块。通常有三种方式来考量向量。
第一种是物理学视角：向量是指向空间中的箭头， 由长度和方向定义。平面上的向量是二维的，生活空间中的向量是三维的。
第二种是计算机科学视角：向量是有序的数字列表，列表的长度决定了维度。
第三种是数学家的视角：向量可以是任何东西，只要两个向量可以相加并且可以被数字乘（即标量乘法）。
Deepnote 截图
单位向量
单位向量是幅度为1的向量，通常用它来表示一个向量的方向，而无需考虑其大小。
向量操作
向量相加
两个向量的加法构成一个新的向量，逐分量相加。
标量相乘
标量相乘是一个向量乘以一个标量（一个数字）， 结果是一个方向与原向量相同（如果标量是负数则相反）的向量， 其大小由标量的绝对值进行缩放。
点积
它是两个向量的欧几里得大小的乘积和它们之间夹角的余弦， 反映了向量的长度和它们的方向关系。
点积公式
直观地说，可以将点积公式想象成将一个向量的定向增长应用到另一个向量上， 或者“一个向量给另一个向量提供了多少动量/能量？”。结果是使得原向量变得更强（正向，负向或0）
如果两个向量的点积为0，则说明这两个向量是正交的。
可以用一个有趣的类比做进一步解释：
假设红色向量是速度，蓝色向量是助推垫的方向，点积是获得的助推量，助推力数值越大，意味着能获得更强的动力。
使用方程式来表示，|a| 是来速，|b| 是最大助推，获得的助推百分比是 cos(θ)， 总体助推为 |a| |b| cos(θ)。
进一步解释
向量空间
向量（或线性）空间是任何可以相互做加法和乘法（称为标量）的向量集合。
满足一系列公理的向量V 称为向量空间。
零空间（核）
零空间是一组向量的集合，当它们与矩阵相乘时，结果为零向量。
将它表示为方程 Ax = 0 的解，其中 A 是给定的矩阵。
假设一个二维空间中有两个向量，可以将矩阵的零空间可视化为一个子空间， 当与矩阵相乘时，向量将折叠到原点（零向量）。
张成空间
给定一对向量v 和 w 的线性组合av + bw构成的所有可能向量的集合，其中 a 和 b 是实数。大多数向量对经过线性组合之后，可以到达二维向量平面上的任意点。
3blue1brown 关于张成空间的视频
当两个向量恰好排成一行时，它被限制在通过原点的单条线上。
张成空间的概念是基的概念的基础。
基
基是一组线性独立的向量，它们组成整个向量空间，向量空间中的每个向量都可以表示为基向量的线性组合。 将它们想象为空间中所有其他向量的构建块。 将单个向量想象为箭头，对于一组向量集，将其想象为点，基向量对可以张成整个二维平面。
线性独立
如果集合中的向量不能用其他向量的线性组合表示（例如，x 和 y 的线性组合将是任何形式的 ax + by，其中 a 和 b 是常数），则一组向量是线性独立的。
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作者简介：
本博由 Benedict Neo 撰写 ，bitgrit 数据科学出版物的编辑，40K 关注， Python ∩ 数据科学 ∩ AI
译者简介
陈之炎，北京交通大学通信与控制工程专业毕业，获得工学硕士学位，历任长城计算机软件与系统公司工程师，大唐微电子公司工程师，现任北京吾译超群科技有限公司技术支持。目前从事智能化翻译教学系统的运营和维护，在人工智能深度学习和自然语言处理（NLP）方面积累有一定的经验。业余时间喜爱翻译创作，翻译作品主要有：IEC-ISO 7816、伊拉克石油工程项目、新财税主义宣言等等，其中中译英作品“新财税主义宣言”在GLOBAL TIMES正式发表。能够利用业余时间加入到THU 数据派平台的翻译志愿者小组，希望能和大家一起交流分享，共同进步
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