深入理解机器学习的梯度优化

机器学习在选定模型、目标函数之后，核心便是如何优化（目标）损失函数。而常见的优化算法中，有梯度下降、遗传算法、模拟退火等算法，其中用梯度类的优化算法通常效率更高，而使用也更为广泛。接下来，我们从梯度下降（Gradient descent）、梯度提升（Gradient Boosting）算法中了解下“梯度”优化背后的原理。

一、梯度

我们先引出梯度的定义：

梯度是一个矢量，其方向上的方向导数最大，其大小正好是此最大方向导数

简单对于二维的情况，梯度也就是曲线上某点的切线斜率，数值就是该曲线函数的导数，如y=x^2^ ，求导dy/dx=2x扩展到3维（多维），各点方向导数是无限多（一个平面），梯度也就是方向导数最大的方向，数值即对多元函数各参数求偏导数，如y=x^2^ + 3z^2^ ，求x偏导dy/dx=2x，求z偏导dy/dz=6z。

换句话说，沿着函数（曲线)的任意各点位置取梯度相反的方向，如y=x^2^ + 3z^2^ 的负梯度-(2x, 6z)，也就是多元函数下降最快的地方，越容易找到极值。这也就是梯度下降算法的基本思想。

二、梯度下降算法

2.1 梯度下降的基本原理

梯度类的优化算法，最为常用的就是随机梯度下降，以及一些的升级版的梯度优化如“Adam”、“RMSP”等等。

如下介绍梯度下降算法的基本原理：

首先可以将损失函数J(w)比喻成一座山，我们的目标是到达这座山的山脚（即求解出最优模型参数w使得损失函数为最小值）

这时，梯度下降算法可以直观理解成一个下山的方法。

下山要做的无非就是“往下坡的方向走，走一步算一步”，而在损失函数这座山上，每一位置的下坡的方向也就是它的负梯度方向（直白点，也就是山各点位置的斜向下的方向）。每往下走到一个位置的时候，代入当前样本的特征数据求解当前位置的梯度，继续沿着最陡峭最易下山的位置再走一步。这样一步步地走下去，一直走到山脚（或者山沟沟）。

当然这样走下去，有可能我们不是走到山脚（全局最优，Global cost minimun），而是到了某一个的小山谷（局部最优，Local cost minimun），这也后面梯度下降算法的可进一步调优的地方。对应的算法步骤，直接截我之前的图：

与梯度下降一起出现的还有个梯度上升，两者原理一致，主要是术语的差异。简单来说，对梯度下降目标函数取负数，求解的是局部最大值，相应需要就是梯度提升法。

2.2 梯度下降的数学原理——泰勒展开

本节会通过泰勒展开定理，"推导"得出梯度下降

首先引出泰勒展开原理，它是种计算函数某点的近似值的方法，通过多个多项式拟合某一函数f(x)。泰勒多项式展开的项数越多，拟合的越好

• 1、回到我们的损失函数J，做个一阶的泰勒展开近似：（其中θ-θ0越小越近似）

• 2 其中θ−θo是微小矢量，做一下变换，θ-θ0以λ*d替代（λ为向量长度，d为单位向量），可得：

• 3、计算后式的向量乘积，可得：（theta为梯度与d向量的夹角）

• 4、上式中，我们希望J(θ) 越小越好，而J(θo)为常量，所以我们希望后项越小越好，当cos(180)=-1可以取到最小值，意味着梯度与d单位向量的夹角为相反的，也就是需要d为负梯度方向：

• 5、进一步的，将d代入式子：θ-θo = λ*d，就可以得到梯度下降公式的雏形(其中λ及1/||J'||为常数可以改写为常用的学习率α)，优化后的θ也就是：

三、梯度提升算法

说到梯度提升（Gradient Boosting），要注意的是和上文谈到的梯度上升不是一个概念。

梯度提升是一种加法模型思想（Fm = Fm-1 + hm， 同上泰勒定理，hm应为负梯度），不像梯度下降直接利用负梯度更新模型参数，梯度提升是通过各弱学习器去学习拟合负梯度的，在进一步累加弱学习器，来实现损失函数J的负梯度方向优化。

梯度提升算法很像是一个“打高尔夫，不断补杆”的过程，基本思路是弱学习器一个接着学习上一个学习器的残差或负梯度（没学习好的内容），最终得到m个弱学习器h0..hm一起决策。（注：对于平方损失函数, 其负梯度刚好等于残差。我们通过直接拟合负梯度可以扩展到更为复杂的损失函数。）

举个简单例子，假如我们的目标值是【100】，当第一个弱学习器h0学习目标值100，实际输出y^只有【60】，和实际y还是有偏差的，残差值y^ - y，第二个学习器h1继续学习拟合之前的残差（或者负梯度），学习剩下的【100-60】，并实际输出【50】...依次学习到第h2个弱学习器拟合之前的残差【100-60-50】，这时比较准确地输出【-10】，达到较好的拟合结果，算法结束。整个模型的表示就是Fm = h0 + h1 + h2 =  60 + 50 - 10 => 100。如下图具体算法：

后记

在优化领域，梯度优化方法无疑是简单又极有效率的，但不可避免的是它通常依赖着有监督标签，且得到的是近似最优解。不可否认，在优化的道路上，我们还有很长的一段路要走。

参考文献: 

https://zhuanlan.zhihu.com/p/45122093 

https://zhuanlan.zhihu.com/p/82757193

https://www.zhihu.com/question/63560633