复杂度分析的套路及常见的复杂度
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2020-07-25 10:20
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你好，我是彤哥，一个每天爬二十六层楼还不忘读源码的硬核男人。
上一节，我们一起学习了表示复杂度的几个符号，我们说，通常使用大O来表示算法的复杂度，不仅合理，而且书写方便。
那么，使用大O表示法评估算法的复杂度有没有什么套路呢？以及常见的复杂度有哪些呢？
本节，我们就来解决这两个问题。
前情回顾在正式讲解套路之前，我们先回忆一下前面几节讲到的内容。
在第2节，我们学习了渐近分析法，将算法的复杂度与输入规模挂钩，随着输入规模的增大，算法执行的时间将呈现一种什么样的趋势，将这个趋势用函数表示，再去除低阶项和常数项，就得到了算法的时间复杂度。
在第3节，我们分别从最坏、平均、最好三种情况来分析了算法的复杂度，得出结论，一般使用最坏情况来评估算法的复杂度。
在第4节，我们通过动态数组的插入元素及经典快速排序的时间复杂度，解释了有的时候不能使用最坏情况来评估算法的复杂度。
在第5节，我们从读音、数学、通俗理解三个方面分析了各种表示算法复杂度的符号，得出结论还是使用大O比较香，大O代表了算法的上界，它与前面讲到的最坏情况往往是对应的。
所以，这里所说的套路也是针对大部分情况，也就是最坏情况，对于一些个例，比如经典快排，我们虽然也是使用大O表示他们的复杂度，但是，其实是一种均摊的复杂度。
好了，让我们看看计算算法复杂度的套路到底是什么吧。
套路我将计算算法复杂度的套路归纳为以下五步：
明确输入规模n；
考虑最坏情况或均摊情况，如果最坏情况为个例，那就是均摊；
计算算法执行的次数与n的关系，并用函数表示出来；
去除低阶项；
去除常数项；
比如，对于在数组中查找指定元素的操作：
输入规模为数组的长度n；
考虑最坏情况为目标元素不在数组中；
算法的执行次数为遍历所有数组元素，也就是n次，用函数表示f(n) = n；
去除低阶项，没有低阶项，还是n；
去除常数项，没有常数项，还是n；
所以，在数组中查找指定元素的时间复杂度为O(n)。
OK，使用这种方式可以很快的计算出算法的复杂度，也不需要进行额外的计算，非常快捷高效。
常见的复杂度上面我们说了，复杂度的计算就是计算与输入规模n的关系，所以，我们想想数学中关于n的函数就能得出常见的复杂度了，我绘制了一张表格：
| 与n的关系 | 英文释义 | 复杂度 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 常数（不相关） | Constant | O(1) | 数组按索引查找元素 |
| 对数相关 | Logarithmic | O(logn) | 二分查找 |
| 线性相关 | Linear | O(n) | 遍历数组的元素 |
| 超线性相关 | Superlinear | O(nlogn) | 归并排序、堆排序 |
| 多项式相关 | Polynomial | O(n^c) | 冒泡排序、插入排序、选择排序 |
| 指数相关 | Exponential | O(c^n) | 汉诺塔 |
| 阶乘相关 | Factorial | O(n!) | 行列式展开 |
| n的n次方 | 无 | O(n^n) | 不知道有没有这种算法 |
在这张表中，复杂度是依次增加的，可以看到常数复杂度O(1)无疑是最好的，让我们用一张图来直观感受下：
本节，我们一起学习了复杂度分析的套路以及常见的复杂度，到目前为止，我们不管是举例还是讲解基本上都在说时间复杂度。
那么，空间复杂度又是什么呢？空间与时间之间如何权衡呢？
下一节，我们接着聊。