DeepMind Nature发文：AI首次实现数学领域的重大进展
数据派THU
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2021-12-27 18:42
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希望这项工作可以作为深化数学和AI领域之间合作的一个模型。
作为一门古老的学科，数学的内容包括发现某种模式，并使用这些模式来表述和证明猜想，从而产生定理。
自20世纪60年代以来，数学家们一直使用计算机来帮助发现猜想的模式和公式，最著名的案例是Birch and Swinnerton-Dyer conjecture（贝赫和斯维讷通-戴尔猜想），这个猜想是千禧年数学大奖的七个问题之一，是数论领域的著名问题。
但是，时至今日，计算机证明基础数学重要定理的例子也并不多见。
现在，DeepMind的一项成果展示了更多的可能性：计算机科学家和数学家们首次使用AI来帮助证明或提出新的数学定理，包括复杂理论中的纽结理论（knot theory）和表象理论（representation theory）。
在该论文中，作者团队提出采用一种机器学习模型，来发现数学对象之间的潜在模式和关联，用归因技术加以辅助理解，并利用这些观察进一步指导直觉思维和提出猜想的过程。
乔迪·威廉姆森教授（Geordie Williamson）是悉尼大学数学研究所所长，也是世界上最重要的数学家之一，他在纯数学领域有着非凡的成绩。作为该论文的合著者，他成功发挥Deep Mind的AI力量，在其专业领域——表象理论中展开了大胆的探索猜想。
图丨Geordie Williamso基础数学无疑属于重大科学问题的范畴（甚至可以说是地基）。正如Geordie Williamson教授所说：“数学问题一度被认为是最具智力挑战性的问题……虽然数学家们已经使用ML来帮助分析复杂的数据集，但这是我们第一次使用计算机来辅助形成猜想，或为数学中未经证实的想法提出可能的突破路线。”
众所周知，数学家的直觉在数学发现中起着极其重要的作用——“只有结合严格的形式主义和良好的直觉思维，才能解决复杂的数学问题”。
如上图所示，论文中描述了一种通用的框架方法，在这个框架方法之下，数学家可以使用ML工具来指导他们对复杂数学对象的直觉，验证关系存在的假设，并理解这些关系。
Williamson教授就利用DeepMind的AI，在证明关于Kazhdan-Lusztig多项式的古老猜想的道路上离目标越来越近，当然，这些猜想涉及高维代数中的深度对称性。可以说，Kazhdan-Lusztig（KL）是代数群表示论近40年来最重要的发展之一。
而来自牛津大学（University of Oxford）的Marc Lackeby教授和András Juhász教授，则进一步研究了这一过程。
他们发现了纽结的代数和几何不变量之间惊人的关联，建立了数学中一个全新的定理。这些不变量有许多不同的推导方式，研究团队将目标主要聚焦在两大类：双曲不变量和代数不变量。两者来自完全不同的学科，增加了研究的挑战性和趣味性。图2给出了不变量的一些示例。
纽结理论本身就散发着无穷的魅力，毫无疑问，物理科学领域也深深地被其吸引着，纽结理论得到了广泛的应用，从理解DNA链、流体动力学，一直到太阳日冕（the Sun’s corona）中的力的相互作用等。
Juhász教授说：“纯数学家的工作方式是制定猜想并证明这些猜想，从而得出定理。但是，这些猜想从何而来呢？”
文章已经证明，在数学直觉思维的指导下，ML提供了一个强大的框架，可以在有大量数据可用的领域，或者对象太大而无法应用经典方法研究的领域，发现有趣且可证明的猜想。
Lackeby教授也表示：“使用ML来发现数学不同领域之间新颖和意想不到的联系，一直是一件很有趣的事情。我相信，我们在牛津大学和悉尼大学与DeepMind联合完成的工作中足以证明，ML可以成为数学研究中真正有用的工具。”
Williamson教授说：“AI堪称为一款非凡的工具。这项工作第一次证明了，它对像我这样的纯数学家的有用性。经验直觉可以带我们走很长一段路，但AI可以帮助我们找到人类思维可能并不总是容易发现的关联。”
如其所言，直觉在许多人类追求的超常表现中扮演着重要的角色。
例如，它对顶级围棋选手至关重要，AlphaGo之所以成功，部分源自于它能够使用ML来学习人类直观表现的游戏元素。同样地，它也被认为是顶尖数学家的关键——拉马努扬被誉为“直觉王子”，激发了著名数学家思考直觉在其研究领域地位的好奇心。
但与围棋相比，数学又是一种与众不同的、更具合作性的工作，因此AI在协助数学家完成相关方面的工作，的确具备卓有成效的空间和潜力。
对于AI和数学之间的关系能否融通共进的讨论，在CCAI2019学术会议上，徐宗本院士也曾慷慨激昂地带来主题为《AI与数学：融通共进》的报告，他提出，AI与数学在方法论上具有惊人的一致性。AI的基础是数学，要想行稳致远，首要考虑的是解决好数学问题；而AI的发展必然也会助力数学领域的研究。
论文中团队也有着类似的希冀，他们表示，希望这项工作可以作为深化数学和AI领域之间合作的一个模型，充分发挥数学和ML各自的优势，以达到让人惊叹的效果。
Williamson教授说，“对我来说，这些发现给出了足够的提醒，智力并非是单一的变量，就像一个智商数字。显然，智力的最佳定义，应该是将其视为一种多轴的多维空间：学术智力（academic intelligence）、情感智力（emotional intelligence）、社会智力（social intelligence）。
我希望AI能为我们提供另一个可以合作的智能轴，这个新的轴将有力地加深我们对数学世界的理解。”
编辑：黄继彦
校对：龚力
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