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【43期】盘点那些必问的数据结构算法题之二叉树基础

程序员的成长之路

共 8496字，需浏览 17分钟

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2020-09-21 17:11

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0 概述

在说二叉树前，先来看看什么是树。树中基本单位是结点，结点之间的链接，称为分支。一棵树最上面的结点称之为根节点，而下面的结点为子结点。一个结点可以有0个或多个子结点，没有子结点的结点我们称之为叶结点。
二叉树是指子结点数目不超过2个的树，它是一种很经典的数据结构。而二叉搜索树(BST)是有序的二叉树，BST需要满足如下条件：

  • 若任意结点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；

  • 若任意结点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于或等于它的根节点的值；(有些书里面定义为BST不能有相同值结点，本文将相同值结点插入到右子树)

  • 任意结点的左、右子树也分别为二叉查找树；

本文接下来会从定义，二叉搜索树的增删查以及二叉树的递归和非递归遍历进行整理。

1 定义

我们先定义一个二叉树的结点，如下：
typedef struct BTNode {
    int value;
    struct BTNode *left;
    struct BTNode *right;
} BTNode;
其中 value 存储值，left 和 right 指针分别指向左右子结点。二叉搜索树跟二叉树可以使用同一个结构，只是在插入或者查找时会有不同。

2 基本操作

接下来看看二叉树和二叉查找树的一些基本操作，包括BST插入结点，BST查找结点，BST最大值和最小值，二叉树结点数目和高度等。二叉查找树(BST)特有的操作都在函数前加了 bst 前缀区分，其他函数则是二叉树通用的。

1) 创建结点

分配内存，初始化值即可。
/**
 * 创建BTNode
 */
BTNode *newNode(int value)
{
    BTNode *node = (BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));
    node->value = value;
    node->left = node->right = NULL;
    return node;
}

2) BST 插入结点

插入结点可以用递归或者非递归实现，如果待插入值比根节点值大，则插入到右子树中，否则插入到左子树中。如下图所示(图来自参考资料1，2，3)：
/**
 * BST中插入值，递归方法
 */
/**
 * BST中插入结点，递归方法
 */
BTNode *bstInsert(BTNode *root, int value)
{
    if (!root)
        return newNode(value);

    if (root->value > value) {
        root->left = bstInsert(root->left, value);
    } else {
        root->right = bstInsert(root->right, value);
    }
    return root;
}

/**
 * BST中插入结点，非递归方法
 */
BTNode *bstInsertIter(BTNode *root, int value)
{
    BTNode *node = newNode(value);

    if (!root)
        return node;

    BTNode *current = root, *parent = NULL;

    while (current) {
        parent = current;
        if (current->value > value)
            current = current->left;
        else
            current = current->right;
    }

    if (parent->value >= value)
        parent->left = node;
    else
        parent->right = node;

    return root;
}

3) BST 删除结点

删除结点稍微复杂一点，要考虑3种情况：
删除的是叶子结点，好办，移除该结点并将该叶子结点的父结点的 left 或者 right 指针置空即可。
删除的结点有两个子结点，则需要找到该结点左子树的最大结点(使用后面的bstSearchIter 函数)，并将其值替换到待删除结点中，然后递归调用删除函数删除该结点左子树最大结点即可。
删除的结点只有一个子结点，则移除该结点并将其子结点的值填充到该删除结点即可(需要判断是左孩子还是右孩子结点)。
/**
 * BST中删除结点
 */
BTNode *bstDelete(BTNode *root, int value)
{
    BTNode *parent = NULL, *current = root;
    BTNode *node = bstSearchIter(root, &parent, value);
    if (!node) {
        printf("Value not found\n");
        return root;
    }

    if (!node->left && !node->right) {
        // 情况1：待删除结点是叶子结点
        if (node != root) {
            if (parent->left == node) {
                parent->left = NULL;
            } else {
                parent->right = NULL;
            }
        } else {
            root = NULL;
        }
        free(node);
    } else if (node->left && node->right) {
        // 情况2：待删除结点有两个子结点
        BTNode *predecessor = bstMax(node->left);
        bstDelete(root, predecessor->value);
        node->value = predecessor->value;
    } else {
        // 情况3：待删除结点只有一个子结点
        BTNode *child = (node->left) ? node->left : node->right;
        if (node != root) {
            if (node == parent->left)
                parent->left = child;
            else
                parent->right = child;
        } else {
            root = child;
        }
        free(node);
    }
    return root;
}

4) BST 查找结点

注意在非递归查找中会将父结点也记录下来。【41期】盘点那些必问的数据结构算法题之链表
/**
 * BST查找结点-递归
 */
BTNode *bstSearch(BTNode *root, int value)
{
    if (!root) return NULL; 

    if (root->value == value) {
        return root;
    } else if (root->value > value) {
        return bstSearch(root->left, value);
    } else {
        return bstSearch(root->left, value);
    }
}

/**
 * BST查找结点-非递归
 */
BTNode *bstSearchIter(BTNode *root, BTNode **parent, int value)
{
    if (!root) return NULL;

    BTNode *current = root;

    while (current && current->value != value) {
        *parent = current;
        if (current->value > value)
            current = current->left;
        else
            current = current->right;
    }

    return current;
}

5）BST 最小值结点和最大值结点

最小值结点从左子树递归查找，最大值结点从右子树递归找。
/**
 * BST最小值结点
 */
BTNode *bstMin(BTNode *root)
{
    if (!root->left)
        return root;

    return bstMin(root->left);
}

/**
 * BST最大值结点
 */
BTNode *bstMax(BTNode *root)
{
    if (!root->right)
        return root;

    return bstMax(root->right);
}

6）二叉树结点数目和高度

/**
 * 二叉树结点数目
 */
int btSize(BTNode *root)
{
    if (!root) return 0;

    return btSize(root->left) + btSize(root->right) + 1;
}

/**
 * 二叉树高度
 */
int btHeight(BTNode *root)
{
    if (!root) return 0;

    int leftHeight = btHeight(root->left);
    int rightHeight = btHeight(root->right);
    int maxHeight = leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;
    return maxHeight;
}

3 二叉树遍历

递归遍历-先序、中序、后序、层序

二叉树遍历的递归实现比较简单，直接给出代码。这里值得一提的是层序遍历，先是计算了二叉树的高度，然后调用的辅助函数依次遍历每一层的结点，这种方式比较容易理解，虽然在时间复杂度上会高一些。
/**
 * 二叉树先序遍历
 */
void preOrder(BTNode *root)
{
    if (!root) return;

    printf("%d ", root->value);
    preOrder(root->left);
    preOrder(root->right);
}

/**
 * 二叉树中序遍历
 */
void inOrder(BTNode *root)
{
    if (!root) return;

    inOrder(root->left);
    printf("%d ", root->value);
    inOrder(root->right);
}

/**
 * 二叉树后序遍历
 */
void postOrder(BTNode *root)
{
    if (!root) return;

    postOrder(root->left);
    postOrder(root->right);
    printf("%d ", root->value);
}

/**
 * 二叉树层序遍历
 */
void levelOrder(BTNode *root)
{
    int btHeight = height(root);    
    int level;
    for (level = 1; level <= btHeight; level++) {
        levelOrderInLevel(root, level);
    }
}

/**
 * 二叉树层序遍历辅助函数-打印第level层的结点
 */
void levelOrderInLevel(BTNode *root, int level)
{
    if (!root) return;

    if (level == 1) {
        printf("%d ", root->value);
        return;
    }
    levelOrderInLevel(root->left, level-1);
    levelOrderInLevel(root->right, level-1);
}

非递归遍历-先序、中序、后序、层序

  • 非递归遍历里面先序遍历最简单，使用一个栈来保存结点，先访问根结点，然后将右孩子和左孩子依次压栈，然后循环这个过程。中序遍历稍微复杂一点，需要先遍历完左子树，然后才是根结点，最后才是右子树。

  • 后序遍历使用一个栈的方法postOrderIter()会有点绕，也易错。所以在面试时推荐用两个栈的版本postOrderIterWith2Stack()，容易理解，也比较好写。

  • 层序遍历用了队列来辅助存储结点，还算简单。

这里我另外实现了一个队列 BTNodeQueue 和栈 BTNodeStack，用于二叉树非递归遍历。
/*********************/
/** 二叉树遍历-非递归 **/
/*********************/
/**
 * 先序遍历-非递归
 */
void preOrderIter(BTNode *root)
{
    if (!root) return;

    int size = btSize(root);
    BTNodeStack *stack = stackNew(size);

    push(stack, root);
    while (!IS_EMPTY(stack)) {
        BTNode *node = pop(stack);
        printf("%d ", node->value);

        if (node->right)
            push(stack, node->right);

        if (node->left)
            push(stack, node->left);
    }
    free(stack);
}

/**
 * 中序遍历-非递归
 */
void inOrderIter(BTNode *root)
{
    if (!root) return;

    BTNodeStack *stack = stackNew(btSize(root));

    BTNode *current = root;
    while (current || !IS_EMPTY(stack)) {
        if (current) {
            push(stack, current);
            current = current->left;
        } else {
            BTNode *node = pop(stack);
            printf("%d ", node->value);
            current = node->right;
        }
    }
    free(stack);
}

/**
 * 后续遍历-使用一个栈非递归
 */
void postOrderIter(BTNode *root)
{
    BTNodeStack *stack = stackNew(btSize(root));
    BTNode *current = root;
    do { 
        // 移动至最左边结点
        while (current) { 
            // 将该结点右孩子和自己入栈
            if (current->right) 
                push(stack, current->right); 
            push(stack, current); 

            // 往左子树遍历
            current = current->left; 
        } 

        current = pop(stack); 

        if (current->right && peek(stack) == current->right) { 
            pop(stack);
            push(stack, current);
            current = current->right;
        } else { 
            printf("%d ", current->value); 
            current = NULL; 
        } 
    } while (!IS_EMPTY(stack)); 
}

/**
 * 后续遍历-使用两个栈，更好理解一点。
 */
void postOrderIterWith2Stack(BTNode *root)
{
    if (!root) return;

    BTNodeStack *stack = stackNew(btSize(root));
    BTNodeStack *output = stackNew(btSize(root));

    push(stack, root);
    BTNode *node;

    while (!IS_EMPTY(stack)) {
        node = pop(stack);
        push(output, node);

        if (node->left)
            push(stack, node->left);

        if (node->right)
            push(stack, node->right);
    }

    while (!IS_EMPTY(output)) {
        node = pop(output);
        printf("%d ", node->value);
    }
}

/**
 * 层序遍历-非递归
 */
void levelOrderIter(BTNode *root)
{
    if (!root) return;

    BTNodeQueue *queue = queueNew(btSize(root));
    enqueue(queue, root);

    while (1) {
        int nodeCount = QUEUE_SIZE(queue);
        if (nodeCount == 0)
            break;
btHeight
        while (nodeCount > 0) {
            BTNode *node = dequeue(queue);
            printf("%d ", node->value);

            if (node->left)
                enqueue(queue, node->left);

            if (node->right)
                enqueue(queue, node->right);

            nodeCount--;
        }
        printf("\n");
    }
}

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