LeetCode刷题实战5：判断回文子串

Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.

https://leetcode.com/problems/longest-palindromic-substring/

翻译

给定一个字符串s，要求它当中的最长回文子串。可以假设s串的长度最大是1000。

Example 1:
Input: "babad"Output: "bab"Note: "aba" is also a valid answer.Example 2:
Input: "cbbd"Output: "bb"

这道题中利用回文串的性质还有一个trick，对于一个字符串S，如果我们对它进行翻转，得到S_，显然它当中的回文子串并不会发生变化。所以如果我们对翻转前后的两个字符串求最长公共子序列的话，得到的结果就是回文子串。

算法导论当中对这个问题的讲解是使用动态规划算法，即是对于字符串S中所有的位置i和S_中所有的位置j，我们用一个dp数组记录下以i和j结尾的S和S_的子串能够组成的公共子序列的最大的结果。

显然，对于i=0，j=0，dp[i][j] = 0（假设字符串下标从1开始）

我们写出DP的代码：

for i in range(1, n):  for j in range(1, m):    if S[i] == S_[j]:      dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1    else:      dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

我们不难观察出来，这种解法的复杂度同样是。并且空间复杂度也是O(n)，也就是说我们费了这么大劲，并没有起到任何优化。所以从这个角度来看，暴力搜索并不是这题当中很糟糕的解法。

分析到了这里，也差不多了，下面我们直接进入正题，这题的最佳解法，O(n)时间内获取最大回文子串的曼彻斯特算法。

def preprocess(text):    new_str = '#'    for c in text:        new_str += c + '#'    return new_str

曼切斯特算法用到三个变量，分别是数组p，idx和mr。我们接下来一个一个介绍。

首先是数组radis，它当中存在的是每个位置能构成的最长回文串的半径。注意，这里不是长度，是半径。

我们举个例子：

字符串S     # a # b # b # a #radis      1 2 1 2 5 2 1 2 1

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此时i小于mr，mr对应的回文中心是id。那么i在id的回文范围当中，对于i而言，我们可以获取到它关于id的对称位置：id * 2 - i，我们令它等于i_。知道这个对称的位置有什么用呢？很简单，我们可以快速的确定radis[i]的下界。在遍历到i的时候，我们已经有了i_位置的结果。通过i_位置的结果，我们可以推算i位置的范围。

radis[i]  >= min(radis[i_], mr-i)

为什么是这个结果呢？

我们把情况写全，假设mr-i > radis[i_]。那么i_位置的回文串全部都落在id位置的回文串里。这个时候，我们可以确定radis[i]=radis[i_]。为什么呢？

因为根据对称原理，如果以i为中心的回文串更长的话，我们假设它的长度是radis[i_]+1。会导致什么后果呢？如果这个发生，那么根据关于id的对称性，这个字符串关于id的对称位置也是回文的。那么radis[i_1]也应该是这么多才对，这就构成了矛盾。如果你从文字描述看不明白的话，我们来看下面这个例子：

S:       c a b c b d b c b a cradis:     x_  i_  5   i   x

字符串S     XXXXXXXXSXXXXXXXXXXXXXXXradis        i_    id    i mr

在上图这个例子当中，i_的位置的回文串向左只能延伸到ml，因为ml-1的位置和关于i_对称的位置不相等。对于mr的右侧，它完全可以既和i点对称，又不会影响raids[id]的正确性。这个时候，我们就可以通过循环继续遍历，拓展i位置的回文串。

整个过程的分析虽然很多，也很复杂，但是写成代码却并不多。

# 初始化idx, mr = 0, 0# 为了防止超界，设置字符串从1开始for i in range(1, n):  # 通过对称性直接计算radis[i]  radis[i] = 1 if mr < i else min(radis[2 * idx - i], mr - i)  # 只有radis[i_] = mr - i的时候才继续往下判断  if radis[2 * idx - i] != mr - i and mr > i:    continue  # 继续往下判断后面的位置  while s[radis[i] + i] == s[i - radis[i]]:    radis[i] += 1  # 更新idx和mr的位置  if radis[i] + i > mr:    mr = radis[i] + i    idx = i

到这里，曼切斯特算法就算是实现完了。虽然我们用了这么多篇幅去介绍它，可是真正写出来，它只有几行代码而已。不得不说，实在是非常巧妙，第一次学习可能需要反复思考，才能真正理解。

不过我们还有一个问题没有解决，为什么这样一个两重循环的算法会是 O（n）的复杂度呢？

想要理解这一点，需要我们抛开所有的虚幻来直视本质。虽然我们并不知道循环进行了多少次，但是有两点可以肯定。通过这两点，我们就可以抓到复杂度的本质。

第一点，mr是递增的，只会变大，不会减小。

第二点，mr的范围是0到n，每次mr增加的数量就是循环的次数。

所以即使我们不知道mr变化了多少次，每次变化了多少，我们依然可以确定，这是一个O（n）的算法。

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