周?算经卷下

周?算经卷下

汉赵君卿注

北周汉中郡守前司隶臣甄鸾重述，

唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉勑臣释

明毛?挍：

凡日月运行四极之道，

运，周也。极，至也，谓外衡也。日月周行四方，至外衡而还，故曰四极也。

极下者，其地高，人所居六万里，滂沲四隤而下游。北极从外衡主极下，乃高六万里，而言人所居，盖复尽外衡，滂四隤而下如覆槃也。天之中央，亦高四旁六万里，

四旁，犹四极也。随地穹窿而高如盖笠，故日光外所照，径八十一万里，周二百四十三万里。

日至外衡而还出，其光十六万七千里，故日照。故日运行处极北，北方日中，南方夜半。日在极东，东方日中，西方夜半。日在极南，南方日中，北方夜半。日在极西，西方日中，东方夜半。凡此四方者，天地四极四和。

四和者谓之极。子午卯酉，得东西南北之中，天地之所合，四时之所交，风雨之所会，隂阳之所和，然则百物阜安，草木蕃庻。故曰四和。昼夜易处，

南方为昼，北方为夜。

加四时相及，南方日中，北方夜半。

然其隂阳所终，冬至所极，皆若一也。隂阳之数齐，冬夏之节同，寒暑之气均，长短之晷等，周?无差，运变不二。

天象葢笠，地法覆槃，

见乃谓之象，形乃谓之法，在上故准葢，在下故拟槃。象、法义同，葢、槃、形等，互文异器，以别尊卑，仰象俯法，名号殊矣。

天离地八万里，然其隆高相从，其相去八万里。

冬至之日，虽在外衡，常出极下地上二万里。天地隆高，高列外衡六万里。冬至之日，虽在外衡，其相望为平地，直常出地北极下地上二万里。言日月不相障蔽，故能扬光于昼，纳明于夜，

故日兆月。

日者阳之精，譬犹火光；月者，隂之精，譬犹水光。月含影，故月光生于日之所照，魄生于日之所蔽，当日即光盈，就日即眀尽，月禀日光而成形兆，故云日兆月也。

月光乃出，故成明月。

待日然后能舒其光，以成其眀，

星辰乃得行列。

灵宪曰：众星被曜，因水火转光，故能成其行列。是故秋分以徃到冬至，三光之精微以成，其道远。日从中衡徃至外衡，其径日远，以其相远，故光微。不言从冬至到春分者，俱在中衡之外，其同可知。

此天地隂阳之性自然也。

自然如此，故曰性也。

欲知北极枢璿周四极，

极中不动。璿，玑也。言北极璿玑周旋四至。极，至也。

常以夏至夜半时，北极南游所极，游在枢南之所至。

冬至夜半时，北游所极，

游在枢北之所至。

冬至日加酉之时，西游所极，

游在枢西之所至。

日加卯之时，东游所极，

游在枢东之所至。

此北极璿玑四游，

北极游常近冬至，而言夏至夜半者极见，冬至夜半极不见也。

正北极，璿玑之中。正北，天之中正，极之所游极处。璿玑之中，天心之正，故曰璿玑也。冬至日加酉之时，立八尺表，以绳系表顚，希望北极中大星，引绳致地而识之。

顚首。希仰。致，至也。识之者，所望大星表首及绳至地参相直而识之也。

又到旦明日加卯之时，复引绳希望之，首及绳致地而识其端，相去二尺三寸。日加卯酉之时，望至地之相去子也。故东西极二万三千里，

影寸千里，故为东西所致之里数也。其两端相去正东西，

以绳至地，所谓两端相直，为东西之正也。中折之以指表，正南北。

所识两端之中与表为南北之正。加此时者，皆以漏揆度之。此东西南北之时，冬至日加卯酉者，北极之正，东西日不见矣。以漏度之者，一日一夜百刻，从半夜至日中，从日中至夜半，无冬夏，常各五十刻，中分之，得二十五刻，加极卯酉之时。揆亦度也。其绳致地所识，去表丈三寸，故天之中，去周十万三千里。

北极东西之时，与天中齐，故以所望表勾为天之去周之里数。

何以知其南北极之时？以冬至夜半北游所极也，北过天中万一千五百里，以夏至南游所极，不及天中万一千五百里。此皆以绳系表顚而希望之。北极至地所识丈一尺四寸半，故去周十二万四千五百里，过天中万一千五百里。其南极至地所识九尺一寸半，故去周九万一千五百里，其南不及天中万一千五百里。此璿玑四极南北过不及之法。东西南北之正勾，以表为股，以影为勾绳，至地所亦加矩中，径二万六千六百三十二里。有竒法，列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有竒减之，余二万六千六百三十三里。取一里，破为一百五十六万六千七百三十五分，减一十四万三千三百一十一，余一百四十二万三千四百二十四，即径东西二万六千六百三十二里一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四。

周去极十万三千里。日去人十六万七千里。夏至去周一万六千里。夏至日道径二十三万八千里。周七十一万四千里。春秋分日道径三十五万七千里。周一百七万一千里。冬至日道径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。日光四极八十一万里，周二百四十三万里。从周南三十万二千里。

影言正勾者，四方之影皆正而定也。

璿玑径二万三千里，周六万九千里。此阳绝隂彰，故不生万物。

春秋分谓之隂阳之中，而日光所照，适至璿玑之径，为阳绝隂彰，故万物不复生也。其术曰：立正勾定之，

正四方之法也。

以日始出，立表而识其晷，日入复识其晷。晷之两端相直者，正东西也。中折之指表者，正南北也。极下不生万物。何以知之？

以何法知之也？

冬至之日，去夏至十一万九千里，万物尽死。夏至之日，去北极十一万九千里，是以知极下不生万物。北极左右，夏有不释之氷，氷冻不解。是以推之，夏至之日，外衡之下为冬矣。万物当死，此日远近为冬夏，非隂阳之气爽，或疑焉。

春分、秋分，日在中衡，春分以徃日益北五万九千五百里而夏至；秋分，以徃日益南五万九千五百里而冬至。

并冬至。夏至，相去十一万九千里。以徃日益北，近中衡；以徃日益南，逺中衡。中衡去周七万五千五百里，

影七尺五寸五分。

中衡左右，冬有不死之草，夏长之?。此欲以内衡之外，外衡之内，常为夏也。然其修广爽未之前闻。

此阳彰隂微，故万物不死。五谷一歳再熟，近日阳多，农再熟。

凡北极之左右，物有朝生暮获获疑作获，谓葶苈荠麦冬生之类。北极之下，从春分至秋分为昼，从秋分至春分为夜。物有朝生暮获者，亦有春刍而秋熟。然其所育，皆是周地冬生之?，荠麦之属。言左右者，不在璿玑二万三千里之内也。此阳微隂彰，故无夏长之?。

立二十八宿以周天历度之法。以，用也。列二十八宿之度，用周天术。曰：倍正南方。

倍犹背也。正南方者，二极之正南北也。以正勾定之。

正勾之法，日出入识其晷。晷两端相直者，正东西，中折之以指表。正南北

即平地，径二十一歩，周六十三歩，令其平矩以水，正

如定水之平，故曰平矩以水正也。则位径一百二十一尺七寸五分，因而三之，为三百六十五尺四分尺之一。

径一百二十一尺七寸五分，周三百六十五尺二寸五分者，四分之一，而或言一百二十尺。举其全数，

以应周天三百六十五度四分度之一，审定分之，无令有纎。㣲

所分平地周一尺为一度，二寸五分为四分度之一，其令审定，不欲使有细小之差也。纎，微细分也。

臣鸾曰：求一百二十一尺七寸五分，因而三之，为三百六十五度四分度之一。法，列径一百二十一尺七寸五分，以三乘，得三百六十五尺二寸五分。二寸五分者，即四分之一，此即周天三百六十五度四分度之一。

分度以定，则正督经纬，而四分之一，合各九十一度十六分度之五。

南北为经，东西为纬。督亦通尺，周天四分之一。又以四乘分母，以法除之。

臣鸾曰：求分度，以定四分之一，合各九十一度十六分度之五。法列周天三百六十五度，以四分度之一而通分内之五法，千四百六十一为实。更以四乘分母，得十六为法，除之得九十一，不尽五，即是各九十一度十六分度之五也。

于是圆定而正，

分所圆为天度。又四分之皆定而正，则立表正南北之中央，以绳系颠，希望牵牛中央星之中，引绳至经纬之交以望之，星与表绳参相直也。则复望须女之星先至者。

复候须女中，则当以绳望之。

如复以表绳希望须女先至。定中须女之先至者，又复如上引绳至经纬之交以望之。

即以一游仪，希望牵牛中央星出中正表西几何度。游仪亦表也。游仪移望星为正，知星出中正之表西几何度，故曰游仪。

各如游仪所至之尺为度数。

所游分圆周一尺，应天一度，故以游仪所至尺数为度。

游在于八尺之上，故知牵牛八度。须女中而望牵牛，游在八尺之上，故牵牛为八度。

其次星放此，以尽二十八宿度则之矣。皆如此上法定

立。周度者，

周天之度，

各以其所先至游仪度上。

二十八宿不以一星为体，皆以先至之星为正之度。

车辐引绳，就中央之正以为毂，则正矣。以经纬之交为毂，以圆度为辐，知一宿得㡬何度，则引绳如辐，凑毂为正。望星定度，皆以方为正南，知二十八宿为几何度，然后环而布之也。

日所以入，亦以周定之，

亦同望星之周。

欲知日之出入，

出入二十八宿东西南北面之宿，列置各应其方。立表望之，知日出入何宿，从出入径几何度，

即以三百六十五度四分度之一，而各置二十八宿。

以二十八宿列置地所圆周之度，使四面之宿各应其方。

以东井夜半中牵牛之?，临子之中，东井、牵牛相对之宿也。东井临午，则牵牛临于子也。

东井出中正表西三十度十六分度之七，而临未之中，牵牛?亦当临丑之中。

分周天之度为十二位，而十二辰各当其一，所应十二月，从午至未三十度十六分度之七，未与丑相对，而东井、牵牛之所居。分之法巳陈于上矣。

臣鸾曰：求东井出中正表西三十度十六分度之七，法先通周天，得一千四百六十一为实，以位法十二乘周天分母，以得四十八为法，除实得三十度，不尽二十一，更副置法。实等数平于三，约不尽二十一得七，约法四十八得十六，即位三十度一十六分度之七。

于是天与地恊

恊，合也。置东井、牵牛，使居丑、未相对，则天之列宿与地所为图周相应合得之矣。乃以置周二十八宿，

从东井、牵牛所居，以置十二位焉。置以定，乃复置周度之中央，立正表。置周度之中央者，经纬之交也。

以冬至、夏至之日，以望日始出也，立一游仪于度上，以望中央表之晷。

从日所出度上，立一游仪，皆望中表之晷。所以然者，当矅不复当日，得以觇之也。晷参正，则日所出之宿度，

游仪与中央表及晷参相直，游仪之下，即所出合宿度。

日入放此。

此日出法求之，

牵牛去北极百一十五度千六百九十五里二十一歩千四百六十一分歩之八百一十九、牵牛冬至日所在之宿于外衡者，与极相去之度数。

术曰：置外衡去北极枢二十三万八千里，除璿玑万一千五百里。

北极常近牵牛为枢，过极万一千五百里，此求去极，故以除之。

其不除者，二十二万六千五百里以为实。以三百乘之里为歩，以周天分一千四百六十一乘歩分内衡之度，以周天分为法。法有分，故以周天乘实齐同之，得九百九十二亿七千四百九十五万，

以内衡一度数千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三以为法。如上乘内歩歩为通分。内子得八亿五千六百八十万

实如法得一度。

以八亿五千六百八十万为一度，法不满法，求里歩

上求度，故以此次求里，次求歩

约之，合三百得一以为实。

上以三百乘里为歩而求里，故以三百约余分为里之实。

以千四百六十一分为法，得一里。里、歩皆以周天之分为母，求度当齐同法实等，故乘以散之。度以定当次求，故还为法。不满法者，三之，如法得百歩。上以三百约之，为里之实。此当以三乘之，为歩之实。而言之者，不欲转法，更以一位为百实，故从一位命为百也。

不满法者，又上十之，如法得一歩，又复上之者，便以一位为一实，故从一实为一。不满法者，以法命之，

位尽于一歩，故以其法命余为残分。次放此。次娄与角及东井，皆如此也。

臣鸾曰：求牵牛星去极法，先列衡去极枢二十三万八千里，减极去枢心一万一千五百里，余二十二万六千五百里。以三百乘里，得六千七百九十五万歩。又以周天分一千四百六十一乘之，得九百九十二亿七千四百九十五万歩为实。更副置内衡一度数一千九百五十四里二百四十七歩一千四百六十一分歩之九百三十三。亦以三百乘一千九百五十四里为歩，内二百四十七歩得五十八万六千四百四十七歩。又以周天分母千四百六十一乘歩内子九百三十三，得八亿五千六百八十万为法。以除实，得一百一十五度，不尽七亿四千二百九十五万。去下法不用。更以三百约余分七亿四千二百九十五万，得二百四十七万六千五百为实。更以周天分千四百六十一除之，得一千六百九十五里，不尽一百五，以三百乗之，得三万一千五百，复以前法除之，得二十一歩，不尽八百一十九，即牵牛去北极一百二十五度千六百九十五里二十一歩千四百六十一分歩之八百一十九。

娄与角去北极九十一度六百一十里二百六十四歩千四百六十一分歩之千二百九十六。娄，春分日所在之宿也。角，秋分日所在之宿也，为中衡也。术曰：置中衡去北极枢十七万八千五百里以为实。

不言加除者，娄与角准北极，在枢两旁，正与枢齐，以娄、角无差，故便以去枢之数为实。如上乗里为歩，歩为分，得七百八十二亿三千六百五十五万。

以内衡一度数为法。实如法得一度，不满法者求里歩，不满法者，以法命之。

臣鸾曰：求娄与角去极法，列中衡去极枢十七万八千五百里，以三百乗之，得五千三百五十五万歩。又以周天分千四百六十一分乘之，得七百八十二亿三千六百五十五万为实，以内衡一度数千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三。亦以三百乘里内歩二百四十七，得五十八万六千四百四十七歩。又以分毋千四百六十一分乗之，内子得八亿五千六百八十万为法，以除实得九十一度，不尽二亿六千七百七十五万，以三百约之，得八十九万二千五百，下法不用，以周天分千四百六十一除之，得六百一十里，不尽千二百九十，以三百乗之，得三十八万七千，如前法除之，得二百六十四歩，不尽一千二百九十六，即是

娄与角。去极九十一度六百一十里二百六十四歩千四百六十一分歩之千二百九十六。东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五歩千四百六十一分歩之千二百四十五。东井夏至日所在之宿为内衡。

术曰：置内衡去北极枢十一万九千里，加璿玑万一千五百里，

北极游常近东井为枢，不及极万一千五百里，此求去极，故加之。

得十三万五百里以为实。如上乘里为歩，歩为分，得五百七十一亿九千八百一十五万分。

以内衡一度数为法，实如法得一度，不满法者，求里歩，不满者，以法命之。

臣鸾曰：求东井去极法，列内衡去极枢十一万九千里，加璿玑万一千五百里，得十三万五百里。以三百乘里为歩，复以分毋千四百六十一乘之，得五百七十一亿九千八百一十五万为实。通分内衡一度数为歩，歩为分，得八亿五千六百八十万为法，以除实，得六十六度，不尽六亿四千九百三十五万。以三百约之，得二百一十六万四千五百，下法不用。更以周天千四百六十一为法除之，得千四百八十一里，不尽七百五十九。以三百乘之，得二十二万七千七百，复以周天分除之，得一百五十五歩，不尽一千二百四十五，即是

东井，去北极六十六度，千四百八十一里一百五十五歩。千四百六十一分歩之一千二百四十五。

凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一。

冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸。问次节损益寸数，长短各几何？

冬至晷长一丈三尺五寸，

小寒丈二尺五寸，

大寒丈一尺五寸一分，

立春丈五寸二分，雨水九尺五寸二分，

启蛰八尺五寸四分，

春分七尺五寸五分，

清明六尺五寸五分，

榖雨五尺五寸六分，

立夏四尺五寸七分，

小满三尺五寸八分，

芒种二尺五寸九分，

夏至一尺六寸，小暑二尺五寸九分，

大暑二尺五寸八分，

立秋四尺五寸七分，

处暑五尺五寸六分，

自露六尺五寸五分，

秋分七尺五寸五分，

寒露八尺五寸四分，

霜降九尺五寸三分，

立冬丈五寸二分，小雪丈一尺五寸一分，

大雪，丈二尺五寸。

凡为八节。二十四气。

二至者，寒暑之极；二分者，隂阳之和；四立者，生长収藏之始，是为八节。节三气，三而八之，故为二十四

气。损益九寸九分六分分之一，

损者，减也。破一分为六分，然后减之。益者，加也。以小分满六得一从分，冬至、夏至为损益之始。

冬至晷长，极当反短，故为损之始。夏至晷短，极当反长，故为益之始。此爽之新

术。

术曰：置冬至晷，以夏至晷减之，余为实，以十二为法。

十二者，半歳十二气也。为法者，一节益之法。实如法得一寸，不满法者十之。以法除之得一分，求分，故十之也。不满法者，以法命之，

法与余分皆半之也。旧晷之术，于理未当。谓春秋分者，隂阳晷等各七尺五寸五分，故中衡去周七万五千五百里。按春分之影，七尺五寸七百二十三分，秋分之影，七尺四寸二百六十二分，差一寸四百六十一分。以此推之，是为不等。冬至至小寒，多半日之影。夏至至小暑。少半日之影。芒种至夏至。多二日之影。大雪至冬至多三日之影。又半歳一百八十二日八分日之五。而此用四分日之二率。故一日得七百三十分寸之四百七十六。非也。节候不正，十五日有二十二分日之七，以一日之率，十五日为一节，至令差错，不通尤甚。易曰：旧井无禽，时舎也。言法三十日，实当改而舎之。于是爽更为新术，以一气率之，使言约法易，上下相通，周而复始，除纰缪。臣鸾曰：求二十四气损益之法，先置冬至影长丈三尺五寸，以夏至影一尺六寸减之，余一丈一尺九寸上十之为实，以半歳十二为法。除之得九寸，不尽十一，复上十之，如法而一，得九分，不尽二与法十二皆半之，得六分之一，即是气损益法。先置冬至影长丈三尺五寸，以气损益九寸九分六分分之一，其破一分以为六分，减其余，即是小寒影长丈二尺五寸小分五，余悉依此法。求益法：置夏至影一尺六寸，以九寸九分六分分之一増之，小分满六从大分一，即是小暑二尺五寸九分小分一。次气倣此。

臣淳风等谨按。此术本及赵君卿注求二十四气影例，损益九寸九分六分分之一，以为定率。检勘术注，有所未通。又按宋书历志所载何承天元嘉历影冬至一丈三尺，小寒一丈二尺四寸八分，大寒一丈一尺三寸四分，立春九尺九寸一分，雨水八尺二寸八分，启蛰六尺七寸二分。春分五尺三寸九分。清明四尺二寸五分。谷雨三尺二寸五分。立夏二尺五寸。小满一尺九寸七分。芒种一尺九寸九分。夏至一尺五寸。小暑一尺六寸九分。大暑一尺九寸七分。立秋二尺五寸。处暑三尺三寸五分。白露四尺二寸五分。秋分，五尺三寸九分。寒露，六尺七寸二分。霜降，八尺二寸八分。立冬，九尺九寸一分。小雪，一丈一尺三寸四分。大雪，一丈二尺四寸八分。司马续汉志所载四分暦影，亦与此相近。至如祖冲之历、宋大明历影与何承天虽有小差，皆是量天实数。讐校三历，足验君卿所立率虚诞。且周?本文外衡，下于天中六万里，而二十四气率乃足平迁。所以知者，按望影之法，日近影短，日远影长。又以高下言之，日高影短，日卑影长。夏至之日，最近北，又最高，其影尺有五寸。自此以后，曰行渐远，向南，天体又渐向下，以及冬至。冬至之日最近南，居于外衡，日最近下，故日影一丈三尺。此当毎歳差降有别，不可均为一槩设其升降之理。今此又自冬至毕于芒种，自夏至毕于大雪，均差毎气损九寸有竒，是为天体正平，无高卑之异，而日但南北均行，又无升降之殊，即无内衡高于外衡六万里，自相矛楯。又按尚书考灵曜所陈格上格下里数及郑注升降逺近，虽有成䂓，亦未臻理实。欲求至当，皆依天体高下远近修䂓以定差数。自霜降毕于立春，升降差多，南北差少。自雨水毕于寒露，南北差多，升降差少。依此推歩，乃得其实。然事渉浑仪，与盖天相返。

月后天十三度十九分度之七。

月后天者，月东行也。此见日月与天俱西南游，一日一夜天一周，而月在昨宿之东，故曰后天，又曰章歳。除章月加日周一日作率，以一日所行为一度，周天之日为天度。术曰：置章月二百三十五，以章歳十九除之，加日行一度，得十三度十分九度之七。此月一日行之数，即后天之度及分。

臣鸾曰：月后天十三度十九分度之七。法列章月二百三十五，以章歳十九除之，得十二度，加日行一度，得十三度，余十九分度之七，即月后天之度分。

小歳月不及，故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。小歳者，十二月为一歳。一歳之月，十二月则有余，十三月复不足。而言大小歳通閠月为不及，故舍亦犹后天也。假令十一月朔旦冬至，日月俱起牵牛之?，而月十二与日会，此数月发牵牛所行之度也。

术曰：置小歳三百五十四日九百四十分日之三百四十八。

小歳者，除经歳十九分月之七，以七乘周天分千四百六十一，得万二百二十七，以减经歳之积分，余三十三万三千一百八，则小歳之积分也。以九百四十分除之，即得小歳之积日及分。

以月后天十三度十九分度之七乘之为实。通分内子为二百五十四之。乘者，乘小歳积分也。

又以度分母乘日分母为法。实如法，得积后天四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十三。以月后天分乘小歳积分，得八千四百六十万九千四百三十二，则积后天分也。以度分母十九乘日分母九百四十，得万七千八百六十除之，即得。

以周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五除之，

此犹四分之一也，约之即得，当于齐同，故细言之。通分内子为六百五十二万三千三百六十五，除积后天分得十二周天，即去之。其不足除者，

不足除者不及故舎之，六百三十二万九千五十二是也。

此月不及故舎之。分度数，他皆放此。次至经月皆如此。

臣鸾曰：求小歳月不及，故舍法，列经歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分内子，得三十四万三千三百三十五，是为经歳之积分。以十九分月之七，以七乘周天分一千四百六十一，得万二百二十七，以减经歳积分，不尽三十三万三千一百八，小歳积分也。以九百四十除之，得三百五十四日，不尽三百四十八，还通分内子，复得本积分三十三万三千一百八。更置月后天十三度十九分度之七，通分内子，得二百五十四，以乘本积分，得积后天分八千四百六十万九千四百三十二为实。更列月后天分毋十九，以乘日分母九百四十，得万七千八百六十为法。除之，得积后天四千七百三十七度，不尽六千六百一十二，即是得四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十二。还通分内子，得本分八千四百六十万九千四百三十二为实。更列周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五，即通分内子，得六百五十二万三千三百六十五。以除实得十二。下法不用，余分即不及，故舎之分六百三十二万九千五十二。更以日月分毋相乘，得万七千八百六十为法，除分不及故舎之分六百三十二万九千五十二，得三百五十四度。不尽六千六百一十二，即不及故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二。

大歳月不及，故舎十八度万七千八百六十分度之万一千六百二十八。

大歳者，十三月为一歳也。

术曰：置大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七。

大歳者，加经歳十九分月之十二，以十二乘周天分千四百六十一，得万七千五百三十二，以加经歳积分、得三十六万八百六十七、则大歳之积分也。以七百四十除之、即得。以月后天十三度十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分，毋为法。实如法得积后天五千一百三十二度万七千八百六十分度之二千六百九十八。

此月后天分。乘大歳积分，得九千一百六十六万二百一十八，则积后天分也。以周天除之，

除积后天分得十四，周天即去之。其不足除者，

不足除者，三十三万三千一百八是也。此月不及，故舎之分度数。

臣鸾曰：求大歳月不及，故舎法。列经歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五，通分内子，得经积分三十四万三千三百三十五。更以十九分月之十二，乘周天分千四百六十一，得一万七千五百三十二。以经歳积分加大歳积分，得三十六万八百六十七为实。以九百四十除之，得大歳三百八十三日九百四十分日之八百四十七。还通分内子本分三十六万八百六十七。更列月后天十三度十九分度之七。通分内子得二百五十四，以乘本分，得积后天分九千一百六十六万二百一十八为实，以万七千八百六十为法，除之，得积。后天度五千一百三十二，不尽二千六百九十八，即命分。还通内子，得本积。后天分九千一百六十六万二百一十八为实，以周天分六百五十二万三千三百六十五为法，除实，得十四周天之数。余以日月分母万七千八百六十除之，得

大歳不及，故舎十八度。不尽万一千六百二十八，即以命分也。

经歳月不及，故舍百三十四度万七千八百六十分度之万一百里。

经常也。即十二月十九分月之七也。

术曰：置经歳三百六十五日九百四十分日之二百三十五。经歳者，通十二月十九分月之七，为二百三十五。乘周天千四百六十一，得三十四万三千三百三十五，则经歳之积分。又以周天分毋四乘二百三十五，得九百四十为法，除之，即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度分母乘日分母为法。实如法，得积后天四千八百八十二度万七千八百六十分度之万四千五百七十。以月后天分乘经歳积分，得八千七百二十万七千九十，则积后天之分。

以周天除之，

除积后天分得十三，周天即去之。其不足除者，

不足除者，二百四十万三千三百四十五是也。此月不及，故舎之分度数。

臣鸾曰：求

经歳月不及，故舍法列十二月十九分月之七，通分内子得二百三十五，以乘周天分千四百六十一，得三十四万三千三百三十五，即经歳分也。以日分母四乘二百三十五，得九百四十为法，以除，得经歳三百六十五日。不尽二百三十五，即命分。还通分内子，即复本歳分三十四万三千三百三十五。更列通月后天度分二百五十四，以乘经歳分，得积后天分八千七百二十万七千九十为实。更列万七千八百六十除实，得积后天度四千八百八十二，不尽万四千五百七十，即命分。还通分内子复本积后天分为实。以周天分六百五十二万三千三百六十五除实得十三周天，即去之。余分三百四十万三千三百四十五，以万七千八百六十除之，得不及，故舎百三十四度，不尽万一百五，即以命分也。

小月不及，故舍二十二度万七千八百六十分度之七千七百三十五。

小月者，二十九日为一月，一月之二十九日则有余，三十日复不足。而言大小者，通其余分。

术曰：置小月二十九日。

小月者，减经月之积分四百九十九，余二万七千二百六十，则小月之积也。以九百四十除之，即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度分毋乘日分，毋为法。实如法，得积后天三百八十七度万七千八百六十分度之万二千二百二十。

以月后天乘小月积分，得六百九十二万四千四十，则积后天之分也。

以周天分除之，

除积后天分，得一周天而去之，

其不足除者，

不足除者四十万六百七十五。此月不及，故舎之分度数。

臣鸾曰：求小月不及，故舎法置二十九日，以九百四十乘之，得二万七千二百六十，则小月之分也。更列月后天十三度十九分度之七，通分内子，得二百五十四，以乘小月分，得六百九十二万四千四十为实。以万七千八百六十为法，除实得三百八十七度，不尽万二千二百二十，以命分，还通分，内子，得本实。更列周天分六百五十二万三千三百六十五，除本实，得一周天。不尽四十万六百七十五，即不及故舎之分。又以万九千八百六十除不及故舎之分，得二十二度。不尽七千七百三十五，即以命分，

大月不及，故舎三十五度万七千八百六十分度之万四千三百三十五。

大月者，三十日为一月也。

术曰：置大月三十日，大月加经积分四百四十一，得二万八千二百，则大月之积分也。以九百四十除之，即得。以月后天十三度十九分度之七乘之，为实。又以度分毋乘日分，毋为法。实如法。得积后天四百一度万七千八百六十分度之九百四十。以月后天分乘大月积分七百一十六万二千八百，则积后天之分也。

以周天除之，

除积后天分，得一周天，即去之。其不足除者，

不足除者，六十三万九千四百三十五是也。此月不及，故舎之分度数。

臣鸾曰：求大月不及，故舎法。置三十日，以九百四十乘之，得二万八千二百，以后天分二百五十四乘之，得七百一十六万二千八百为实，以万七千八百六十为法，以除实，得四百一度，不尽九百四十，即以命分还通分内子，复本实，更以周天六百五十二万三千三百六十五为法，除本实得一周。余不足，除积六十三万九千四百三十五分。以万七千八百六十为法，以除实得大月不及，故舎三十五度。不尽万四千三百三十五，即命分也。

经月不及，故舎二十九度、万七千八百六十分度之九千四百八十一。

经，常也。常月者，一月月与日合数。

术曰：置经月二十九日九百四十分日之四百九十九

经月者，以十九乘周天分一千四百六十一，得二万七千七百五十九，则经月之积。以九百四十除之，即得。

以月后天十三度十九分度之七乘之为实。又以度分母乘日分母为法。实如法。得积后天三百九十四度万七千八百六十分度之万三千九百四十六。

以月后天分乘经月积分，得七百五万七百八十六，则积后天之分。

以周天除之，

除积后天分，得一周天，即去之。

其不足除者，

不足除者，五十二万七千四百二十一是也。此月不及，故舎之分度数。

臣鸾曰：求经月不及，故舎法以十九乘周天分千四百六十一，得二万七千七百五十九，即经月积分。以九百四十除积分，得经月二十九日九百四十分日之四百九十九。还通分内子，得本经月积分。以后天分乘本积分，得七百五万七百八十六，即后天之积分。更以万七千八百六十除之，得积后天三百九十四度。不尽万三千九百四十六，即以命分还通分内子，得本后天积分为实。以周天六百五十二万三千三百六十五除之，得一周。余分五十二万七千四百二十一，即不及故舎之分。以一万七千八百六十除之，得

经月。不及故舎二十九度。不尽九千四百八十一，即以命分，

冬至昼极短，日出辰而入申，如上日之分入何宿法，分十二辰于地所圆之周舎，相去三十度十六分度之七。子午居南北，卯酉居东西。日出入时，立一游仪，以望中央表之晷。游仪之下，即日出入。阳照三不覆九。阳，日也。覆犹徧也。照三者，南三辰，已午未，东西相当，正南方。

日出入相当，不覆三辰，为正南方。夏至昼极长，日出寅而入戍，阳照九不覆。三不覆三者，北方三辰，亥、子丑，冬至日出入之三辰属昼，昼夜互见，是出入三辰，分为昼夜各半明矣。考灵曜曰：分周天为三十六头，头有十度九十六分度之十四。长日分于寅，行二十四头，入于戍，行十二头；短日分于辰，行十二头，入于申，行二十四头。此之谓也。东西相当，正北方，

出入相当，不覆三辰，为北方。

日出左而入右，南北行。

圣人南面而治天下，故以东为左，西为右。日冬至从南而北，夏至从北而南，故曰南北行，

故冬至从坎，阳在子，日出巽而入坤，见日光少，故曰寒。

冬至十一月，斗建子，位在北方，故曰从坎。坎亦北也，阳气所始，故曰在子。巽东南，坤西南，日见少晷，阳照三，不覆九也。

夏至从离，隂在午，日出艮而入乾，见日光多，故曰暑。

夏至五月，斗建午，位在南方，故曰在午。艮东北，乾西北，日见多晷，阳照九，不覆三也。日月失度，而寒暑相奸。

考灵曜曰：在璿玑玉衡，以齐七政。璿玑未中而星中，是急；急则日过其度，不及其宿。璿玑玉衡中而星未中，是舒；舒则日不及其度，夜月过其宿。璿玑中而星中，是周。周则风雨时，风雨时，则草木蕃盛，而百谷熟。故书曰：急常寒若，舒常燠若。急舒不调，是失度，寒暑不时，即相奸。

徃者，诎来者，信也，故屈信相感。

从夏至南往，日益短，故曰诎；从冬至北来，日益长，故曰信。言来往相推，诎信相感，更衰代盛，此天之常道。易曰：日徃则月来，月徃则日来，日月相推而明生焉。寒徃则暑来，暑徃则寒来，寒暑相推而歳成焉。徃者，诎也。来者，信也。诎信相感而利生焉。此之谓也。故冬至之后日右行，夏至之后日左行。左者徃，右者来。

冬至日出从辰来北，故曰右行。夏至日出从寅徃南，故曰左行。

故月与日合为一月，

从合至合则为一月，日复日为一日，

从旦至旦则为一日，

日复星为一岁。

冬至日出在牵牛，从牵牛周牵牛，则为一岁也。外衡冬至，

日在牵牛；

内衡夏至，

日在东井。六气复返，皆谓中气。

中气，月中也。言日月徃来，中气各六。传曰：先王之正时，履端于始，举正于中，归余于终。谓中气也。

隂阳之数，日月之法，

谓隂阳之度数。日月之法，

十九岁为一章。

章，条也。言闰余尽为法章条也。乾象曰：辰为岁中，以御朔之月而纳焉。朔为章中，除朔为章月，月差为闰。

臣鸾曰：岁中除章中为章歳。求余法，置中气相去三十日十六分日之七，通分内子，得四百八十七。又置从朔至朔一月之日二十九，九百四十分日之四百九十九，通之，得二万七千七百五十九。二者法异，当同之者，以中气分母十六乘朔分，得四十四万四千一百四十四，变为中气积分也。以朔分母九百四十乘中气分，得四十五万七千七百八十，为朔日积分。以少减多，求等数平之，得一千九百四十八为法。除中气积，得二百二十八，即章中也。更以一千九百四十八除朔积分，得二百三十五，即章月也。章月与章中差七，即一章之闰。更置二百二十八，以岁中十二除之，得十九为章岁也。更置章月二百三十五，以章岁十九除之，得十二月十九分月之七，即一年之月也。四章为一蔀，七十六岁，

蔀之言齐，同日月之分为一蔀也。一岁之月，十二月十九分月之七，通分内子得二百三十五。一岁之日，三百六十五日四分日之一。通之得一千四百六十一。分母不同，则子不齐，当互乘之。以齐同之者，以日分母四乘月分，得九百四十即一蔀之月。以月分母十九乘日分，得二万七千七百五十九，即一蔀之日。以日月分母相乘，得七十六，得一蔀之岁。以一岁之月除蔀月，得七十六岁。又以一岁之日除蔀日，亦得七十六矣。岁月余既终，日分又尽，众残齐合，群数毕满，故谓之蔀。臣鸾曰：求蔀法，列章岁十九，以四乘之，得一蔀七十六岁。求一蔀之月法，十二月十九分月之七，通分内子，得二百三十五，即月分也。更列一岁三百六十五日四分日之一，通分内子，得一千四百六十一。以日分母四乘月分，得九百四十，即一蔀之月。以月分母十九乘日分，得二万七千七百五十九，即一蔀之日。以日分毋四乘月分母十九，得七十六即一蔀之岁。更以月分母十九乘蔀月九百四十，得万七千八百六十为实。以十二月十九分月之七通分内子得二百三十五为法。以除实，得七十六，亦一蔀之岁也。更列一蔀之日二万七千七百五十九，以分母四乘之，得十一万一千三十六为实。以周天分千四百六十一除之，得一蔀之岁七十六也。

二十蔀为一遂，遂千五百二十岁。遂者，竟也。言五行之德，一终竟极，日月辰终也。乾凿度曰：至德之数，先立金木水火土五，凡各三百四岁。五德运行，日月开辟，甲子为蔀首，七十六岁。次得癸卯，蔀，七十六岁。次壬午，蔀，七十六岁；次辛酉，蔀，七十六岁。凡三百四岁，木德也，主春生。次庚子，蔀，七十六岁；次已卯，蔀，七十六岁；次戊午，蔀，七十六岁；次丁酉，蔀，七十六岁。凡三百四岁，金德也，主秋成。次丙子，蔀，七十六岁；次乙卯蔀，七十六岁。次甲午蔀，七十六岁。次癸酉蔀，七十六岁。凡三百四岁，火德也，主夏长。次壬子蔀，七十六岁。次辛卯蔀，七十六岁。次庚午蔀，七十六岁。次巳酉蔀，七十六岁。凡三百四岁，水德也，主冬藏。次戊子蔀，七十六岁。次丁卯蔀，七十六岁；次丙午蔀，七十六岁。次乙酉蔀，七十六岁。凡二百四岁，土德也，主致养。其德四正，子午卯酉而朝四时焉。凡一千五百二十岁，终一纪，复甲子，故谓之遂也。求五德日名之法，置一蔀者七十六岁，德四蔀，因而四之，为三百四岁。以一岁三百六十五日四分日之一乘之，为十一万一千三十六。以六十去之，余三十六，命甲子，算外，得庚子。金德也。求次德，加三十六去之，命如前，则次德日也。求算蔀名，置一章岁数，以周天分乘之，得二万七千七百五十九。以六十去之，余三十九，命以甲子，算外，得癸卯蔀。求蔀，加三十九，满六十去之，命如前，得次蔀。

臣鸾曰：求遂法，列一蔀七十六岁，以二十乘之，得千五百二十岁，即以遂之岁。求五德，金木水火土法，列一蔀七十六岁，以周天分千四百六十一乘之，得十一万一千三十六即，以六十除之，余三十六，命从甲子，算外得庚子，凡三百四岁，主秋成，金德也。加三十六，得七十二，以六十除之，余十二，命从甲子，算外得丙子，凡三百四岁，火德，主夏长。次放此。求蔀名，列一章十九岁，以周天分一千四百六十一岁乘之，得二万七千七百五十九，以六十去之，余三十九，命从甲子，算外，得癸卯蔀。七十六岁，复加三十九，亦六十去之，余十八，命亦起甲子，算外，次得壬午。蔀次放此。至甲子即止。之三，遂为一首。首，四千五百六十岁。首，始也。言日月五星终而复始也。考灵曜曰：日月首甲子，冬至，日月五星俱起牵牛?，日月合若璧，五星如联珠，青龙甲寅摄提格，并四千五百六十岁，积及?，故谓首也。臣鸾曰：求一首法，列遂一千五百二十岁，三之得一首，四千五百六十岁也。七首为一极，极三万一千九百二十岁，生数皆终，万物复始。

极，终也。言日月星辰，弦望晦朔，寒暑推移，万物生育皆复始，故谓之极。

臣鸾曰：求极先列一首四千五百六十，以以七乘之，得一极，三万一千九百二十岁也。天以更元作纪，历

元始作为七纪法。天数更始，复为法述之。

何以知天三百六十五度四分度之一，而日行一度，而月后天十三度十九分度之七，二十九日九百四十分日之四百九十九为一月，十二月十九分月之七为一岁，

非周?本文，盖人问师之辞。其欲知度之所分，法术之所生耳。

周天除之，

除积后天分得一。周即弃之，

其不足除者，如合朔。古者包牺、神农制作为历度元之。始见三光，未如其则。

三光，日、月、星。则，法也。

日月列星，未有分度，则星之?列，谓二十八宿也。

日主昼，月主夜，昼夜为一日。日月俱起建星，建六星在斗上也。日月起建星，谓十一月朔旦冬至日也。为历术者，度起牵牛前五度，则建星其近也。

月度疾，日度迟。

度，日月所行之度也。

日月相逐于二十九日、三十日间，言日月二十九日则未合。三十日复相过，而日行天二十九度。余

如九百四十分日之四百九十九，未有定分，

未知余分定几何也。

于是三百六十五日南极影长，明日反短。以岁终日影反长，故知之三百六十五日者三，三百六十六日者一

影四岁而后知差一日，是为四岁共一日，故岁得四分日之一。故知一岁三百六十五日四分日之一，岁终也。月积后天十三周，又与百三十四度余，经数月后天之周，故度求之。余者，未知也，言欲求之也。

无虑后天十三度十九分度之七，未有定。无虑者，粗计也。此巳得月后天数，而言未有者，求之意未有见故也。

于是日行天七十六周，月行天千一十六周，及合于建星，月行一月，则行过一周而与日合。七十六岁九百四十周天，所过复九百四十日七十六周。并之得一千一十六，为一月后天率分尽度终，复还及?也。

臣鸾曰：求于是日行天七十六周，日行天千一十六周及合于建星法，以九百四十周并七十六周，得一千一十六周，则日月气朔合于建星。

置月行后天之数，以日后天之数除之，得一十三度十九分度之七，则月一日行天之度。以日度行率除月行率，一日，得月度几何？置月行率一千一十六为实，日行率七十六为法。实如法而一，法及余分皆四约之，与乾象同归而殊途，义等而法异也。

复置七十六岁之积月，

置章岁之月二百三十五，以四乘之，得九百四十，则蔀之积月也。

以七十六岁除之，得十二月十九分月之七，则一岁之月。

亦以四约法除分。蔀岁除月与章岁除章月同。

置周天度数，以十二月十九分月之七除之，得二十九日九百四十分日之四百九十九，则一月日之数，

通周天四分日之一，为千四百六十一，通十二月十九分月之七，为二百三十五分。母不同，则子不齐，当互乘以同齐之。以十九乘千四百六十一，为二万七千七百五十九。以四乘二百三十五，为九百四十。及以除之，则月与日合之数。

臣鸾曰：求日行一度法，还置前一千一十六，以七十六岁除之，得十三度，不尽二十八，以求等，平于四，以四约余得七，约分得十九，是十三度十九分度之七。更列一章岁积月二百三十五，以周天分母四乘之，即一蔀月九百四十，亦以七十六岁除之，得一岁之十二月十九分月之七。余分及法并以四约。更通周天，得千四百六十一。复通十二月十九分月之七，得二百三十五。分母不同，互乘之，以月分母十九乘日分，得二万七千七百五十九。以日分母四乘月分，得九百四十，除之二万七千七百五十九，得二十九日九百四十分日之四百九十九，而月与日合，此其数也。周?算经卷下。