周?算经卷上

周?算经卷上

汉赵君卿注

北周汉中郡守前司隶臣甄鸾重述

唐朝议大夫行大史令上轻车都尉臣李淳风等奉勑注释

明赵开美校

昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。

周公姓姫名旦，武王之弟。商高，周时贤大夫，善算者也。周公位居冡宰，德则至高，尚自卑巳以自牧，下学而上逹，况其凡乎？请问古者包牺立周天历度，

包牺，三皇之一，始画八卦，以商高善数，能通乎微妙，逹乎无方，无大不综，无幽不显。闻包牺立周天历度，运章蔀之法。易曰：古者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法于地，此之谓也。

夫天不可阶而升，地不可将尺寸而度，邈乎悬广，无阶可升；荡乎遐远，无度可量。请问数从安出？

心昧其机，请问其目。

商高曰：数之法出于圆方。

圆径一而周三，方径一而匝四。伸圆之周而为勾，展方之匝而为股。共结一角，邪适弦五政，圆方邪径相通之率。故曰数之法出于圆方。圆方者，天地之形，隂阳之数。然则周公之所问天地也。是以商高陈圆方之形以见其象，因竒耦之数以制其法，所谓言约㫖远，微妙幽通矣。

圆出于方，方出于矩。

圆䂓之数，理之以方。方，周匝也。方正之物，出之以矩。矩，广长也。

矩出于九九八十一，

推圆方之率，通广长之数，当须乘除以计之。九九者，乘除之原也。

故折矩。

故者，申事之辞也。将为勾股之率，故曰折矩也。以为勾广三，

广圆之周，横者谓之广勾亦广，广，短也。股修四，

应方之匝，从者谓之修，股亦修，修，长也。径隅五，

自然相应之率，径，直。隅，角也，亦谓之弦。既方之外，半其一矩。

勾股之法，先知二数，然后推一，见勾股，然后求弦。先各自乘成其实，实成势化，外乃变通，故曰既方其外。或并勾股之实，以求弦实之中，乃求勾股之分，并实不正等，更相取与，互有所得，故曰半其一矩。其术，勾股各自乘，三三如九，四四一十六，并为弦自乘之实。二十五减勾于弦，为股之实。一十六减股于弦，为勾之实。九

环而共盘，得成三四五。

盘读如盘桓之盘。言取而并减之，积环屈而共盘之谓。开方除之其一面，故曰得成三四五也。

两矩共长二十有五，是谓积矩。

两矩者，勾股各自乘之实。共长者，并实之数。将以施于万事，而此先陈其率也。故禹之所以治天下者，此数之所生也。禹治洪水，决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，释昏蛰之厄，使东注于海而无浸溺，乃勾股之所由生也。勾股圆方图弦实二十五朱及黄勾股方圆图注：

赵君卿曰：勾股各自乘并之为弦实，开方除之，即弦也。案弦图又可以勾股相乘为朱实，二倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。以差实减弦实，半其余，以差为从法。开方除之，复得勾矣。加差于勾，即股。凡并勾股之实，即成弦实。或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩，以股弦差为广，股弦并为袤，而股实方其里。减矩勾之实于弦实，开其余，即股。倍股在两边为从法。开矩勾之角，即股弦差。加股为弦，以差除勾实，得股弦并。以并除勾实，亦得股弦差。令并自乘，与勾实为实，倍并为法。所得亦弦勾实。减并自乘，如法为股股实之矩。以勾股差为广，勾弦并为袤，而勾实方其里。减矩股之实于弦实，开其余，即勾倍勾。在两边为从法。开矩股之角，即勾弦差。加勾为弦，以差除股实，得勾弦并。以并除股实，得勾弦差。令并自乘，与股实为实，倍并为法。所得亦弦股实。减并自乘，如法为勾。两差相乘，倍而开之，所得以股弦差增之为勾，以勾弦差增之为股，两差増之为弦。倍弦实，列勾股差实，见弦实者，以图考之。倍弦实满外大方而多黄实，黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面即勾股并也。令并自乘，倍弦实，乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面即勾股差。以差减并而半之，为勾。加差于并而半之为股。其倍弦为广袤。合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其余为广。减广于弦，即所求也。观其迭相䂓矩，共为反复，互与通分，各有所得。然则统叙群伦，弘纪众理，贯幽入微，钩深致逺。故曰其裁制万物，唯所为之也。释圆方勾股注：

按君卿注曰：勾股各自乘并之为弦实，开方除之，即弦。臣鸾曰：假令勾三自乘得九，股四自乘得十六，并之得二十五，开方除之得五，为弦也。

注云：按弦图又可以勾股相乘为朱实，二倍之为朱实，四以勾股之差自相乘为中黄实。

臣鸾曰：以勾弦差二倍之为四，自乘得一十六，为左图中黄实也。臣淳风等谨按：注云：以勾股之差自乘为中黄实。鸾云：倍勾弦差自乘者，苟求异端，虽合其数，于率不通。注云：加差实亦成弦实

臣鸾曰：加差实一，并外矩青八得九，并中黄十六得二十五，亦成弦实也。

臣淳风等谨按：注云：加差实一，亦成弦实。鸾曰：加差实并外矩及中黄者，虽合其数，于率不通。

注云：以差实减弦实，半其余，以差为从法。开方除之，复得勾矣。

臣鸾曰：以差实九减弦实二十五，余十六，半之得八，以差一加之得九，开之得勾三也。臣淳风等谨按：注宜云以差实一减弦实二十五，余二十四，半之为十二，以差一从开方除之，得勾三。鸾云：以差实九减弦实者，虽合其数，于率不通。注云：加差于勾，即股。

臣鸾曰：加差一于勾三，得股四也。注云：凡并勾股之实，即成弦实

臣鸾曰：勾实九，股实十六，并之得二十五也。注云：或矩于内，或方于外，形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩，以股弦差为广，股弦并为袤臣鸾曰：以股弦差一为广，股四并弦五得九为袤。左图外青也。

注云：而股实方其里

臣鸾曰：为左图中黄十六。

注云：减矩勾之实，于弦实。开其余即股。臣鸾曰：减矩勾之实，九于弦实二十五，余一十六。开之得四股也。

注云：倍股在两边为从法。开矩勾之角，即股弦差。臣鸾曰：倍股四得八，在图两边以为从法。开矩勾之角九得一也。

注云：加股为弦。

臣鸾曰：加差一于股四，则弦五也。注云：以差除勾实，得股弦并

臣鸾曰：以差一除勾实九，得九，即股四、弦五并为九也。

注云：以并除勾实，亦得股弦差。

臣鸾曰：以九除勾实九，得股弦差一。注云：令并自乘与勾实为实

臣鸾曰：令并股弦得九，自乘为八十一。又与勾实九加之，得九十，为实。

注云：倍并为法。

臣鸾曰：倍股弦并九得十八者，为法。注云：所得亦弦。

臣鸾曰：除之得五，为弦。注云：勾实减并自乘，如法为股。

臣鸾曰：以勾实九减并自乘八十一，余七十二，以法十八除之，得四，为股也。注云：股实之矩，以勾弦差为广，勾弦并为袤臣鸾曰：股实之矩，以勾弦差二为广，勾弦并八为袤。

注云：而勾实方其里，减矩股之实于弦实，开其余即勾

臣鸾曰：勾实有九方，在右图里。以减矩股之实十六，于弦实二十五，余九，开之得三勾也。

注云：陪勾在两邉。

臣鸾曰：各三也。

注云：为从法。开矩股之角，即勾弦差。加勾为弦

臣鸾曰：加差二于勾三，则弦五也。注云：以差除股实，得勾弦并。

臣鸾曰：以差二除股实十六，得八。勾三、弦五并为八也。注云：以并除股实，亦得勾弦差。

臣鸾曰：以并除股实十六，得勾弦差二。注云：令并自乘，与股实为实。

臣鸾曰：令并八自乘，得六十四，与股实十六加之，得八十为实。

注云：倍并为法。

臣鸾曰：倍勾弦并八得十六为法。注云：所得亦弦。

臣鸾曰：除之得弦五也。注云：股实减并自乘，如法为勾。

臣鸾曰：以股实十六减并自乘六十四，余四十八，以法十六除之得三，为勾也。注云：两差相乘，倍而开之，所得，以股弦差增之，为勾。

臣鸾曰：以股弦差一乘勾弦差二，得二，倍之为四，开之得二。以股弦差一増之，得三，勾也。

注云：以勾弦差增之为股。臣鸾曰：以弦差二增之得四股也。注云：两差增之为弦。

臣鸾曰：以股弦差一、勾弦差二増之得五弦也。

注云：倍弦实。列勾股差实见弦实者，以图考之，倍弦实满外大方而多黄实，黄实之多，即勾股差实

臣鸾曰：倍弦实二十五得五十，满外大方七七四十九而多黄实，黄实之多，即勾股差实也。

注云：以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并。

臣鸾曰：以差实一减五十，余四十九，开之，即大方之面七也。亦是勾股并也。注云：令并自乘，倍弦实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面即勾股差

臣鸾曰：并七自乘，得四十九，倍弦实二十五，得五十，以减之，余即中黄方差实一也。故开之。即勾股差一也。

注云：以差减。并而半之为勾

臣鸾曰：以差一减并七，余六，半之得三勾也。注云：加差于并而半之为股

臣鸾曰：以差一加并七得八，而半之，得四股也。

注云：其倍弦为广袤合。

臣鸾曰：倍弦二十五为五十，为广袤合。臣淳风等谨按：列广袤术，宜云倍弦五得十，为广袤合。今鸾云倍弦二十五者，错也。

注云：而令勾股见者自乘为其实，四实以减之，开其余，所得为差。

臣鸾曰：令自乘者，以七七自乘，得四十九，四实。大方勾股之中有四方，一方之中有方十二，四实有四十八，减上四十九，余一也。开之得一即，勾股差一。臣淳风等谨按注意，令自乘者十自乘得一百四实者，大方广袤之中有四方。若据勾实而言，一方之中有实九，四实有三十六，减上一百，余六十四，开之得八即广袤差。此是股弦差，减股弦并余数。若据股实而言之，一方之中有实十六，四实有六十四，减上一百，余三十六，开之得六即广袤差。此是勾股差，减勾弦并余数也。鸾云：令自乘者，以七七自乘得四十九，四实者，大方勾股之中有四方，一方之中有方十二。四实者四十八，减上四十九，余一也。开之，得一即勾股。差一者，错也。

注云：以差减合半，其余为广。

臣鸾曰：以差一减合七，余六，半之得三广也。臣淳风等谨按注意，以差八、六各减合十，余二四，半之，得一二，一即股弦差，二即勾弦差。以差减弦即，各袤广也。鸾云：以差一减合七，余六，半之得三广者，错也。

注云减广于弦，即所求也。

臣鸾曰：以广三减弦五即，所求差二也。臣淳风等谨按注意，以广一二各减弦五即，所求股四勾三也。鸾云：以广三减弦五即，所求差二者，此错也。周公曰：大哉！言数

心逹数术之意，故发大哉之数。请问用矩之道，

谓用表之宜，测望之法。

商高日：平矩以正绳，

以求绳之正，定平悬之体，将欲愼毫?之差，防千里之失。偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。言施用无方，曲从其事，术在九章。环矩以为圆，合矩以为方。

既以追寻情理，又可造制圆方，言矩之于物，无所不至。

方属地，圆属天，天圆地方，

物有圆方，数有竒耦。天动为圆，其数竒；地静为方，其数耦。此配隂阳之义，非实天地之体也。天不可穷而见，地不可尽而观，岂能定其圆方乎？又曰：北极之下高，人所居六万里，滂沲四隤而下，天之中央亦高四旁六万里。是为形状同归而不殊涂，隆高齐耽而易以陈。故曰：天似葢笠，地法覆槃。

方数为典，以方出圆。

夫体方则度影正，形圆则审实难。盖方者有常，而圆者多变，故当制法而理之。理之法者，半周半径相乘，则得方矣。又可周径相乘，四而一；又可径自乘，三之四而一；又可周自乘，十二而一。故圆出于方，

笠以写天，

笠亦如葢，其形正圆，戴之所以象天。写犹象也。言笠之体，象天之形。诗云：何蓑何笠，此之义也。

天青黑，地黄赤，天数之为笠也。青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。

既象其形，又法其位，言相方?，不亦似乎。是故知地者智，知天者圣。言天之高大，地之广远，自非圣智，其孰能与于此乎？

智出于勾，

勾亦影也。察勾之损益，加物之高远，故曰智出于勾。

勾出于矩，

矩谓之表，表不移亦为勾，为勾将正，故曰勾出于矩焉。

夫矩之于数，其裁制万物，唯所为耳。言包含几微，转通旋环也。

周公曰：善哉！

善哉！言明晓之意。所谓问一事而万事逹。

昔者荣方问于陈子，

荣方，陈子，是周公之后人，非周?之本文。然此二人共相解释，后之学者谓之章句，因从其?列于事下，又欲尊而远之，故云昔者时世官号未之前闻。

曰：今者窃闻夫子之道，荣方问陈子，能述商高之㫖，明周公之道，知日之高大，

日去地与圆径之术，

光之所照，

日旁照之所及也。

一日所行，

日行天之度也。

远近之数，

冬至夏至，去人之远近也。人所望见，

人目之所极也。

四极之穷，

日光之所远也。

列星之宿，

二十八宿之度也。

天地之广袤，

袤，长也。东西南北谓之广长。

夫子之道，皆能知之，其信有之乎？而明察之，故不昧不疑。

陈子曰：然。

言可知也。

荣方曰：方虽不省，愿夫子幸而说之，欲以不省之情而观大雅之法。

今若方者，可教此道邪？

不能自料，访之贤者。

陈子曰：然。

言可教也。此皆算术之所及，

言周?之法出于算术之妙也。

子之于算，足以知此矣。若诚累思之，累，重也。言若诚能重累思之，则逹至微之理。

于是荣方归而思之，数日不能得，

虽濳心驰思，而才单智竭。

复见陈子曰：方思之不能得，敢请问之。陈子曰：思之未熟，

熟犹善也。此亦望远起高之术，而子不能得，则子之于数，未能通?？

定高远者，立两表，望悬邈者施累矩。言未能通?求勾股之意，

是智有所不及，而神有所穷。

言不能通?？是情智有所不及，而神思有所穷滞。

夫道术言约而用博者，智?之明。夫道术，圣人之所以极深而研几。唯深也，故能通天下之志；唯几也，故能成天下之务，是以其言约，其㫖远，故曰智?之明也。问一?而万事逹者，谓之知道。

引而伸之，触?而长之，天下之能事毕矣，故谓之知道也。

今子所学，

欲知天地之数，

算数之术，是用智矣，而尚有所难，是子之智?单？算术所包，尚以为难，是子智?单尽夫道术，所以难通者既？学矣，患其不博，不能广博

既？博矣，患其不习，

不能究习

既？习矣，患其不能知，

不能知?？

故同术相学，

术教同者，则当学通?之意。同事相观，

事?同者，观其㫖趣之?。

此列士之愚智。

列犹别也。言视其术，鉴其学，则愚智者别矣，贤不肖之所分，

贤者逹于事物之理，不肖者暗于照察之情，至于役神驰思，聦明殊别矣。

是故能?以合?，此贤者业精习智之质也。学其伦?，观其指归，唯贤智精习者能之也。夫学同业而不能入神者，此不肖无智而业不能精习，

俱学道术，明不察，不能以?合?而长之，此心游目荡，义不入神也。

是故算不能精习。吾岂以道隐子哉？固复熟思之。凡教之道，不愤不启，不悱不发。愤而悱之，然后启发。既不精思，又不学习，故言吾无隐也尔。固复熟思之，举一隅使及之以三也。荣方复归，思之数日，不能得。复见陈子曰：方思之以精熟矣，智有所不及，而神有所穷，知不能得，愿终请说之。

自知不敏，避席而请说之。

陈子曰：复坐，吾语汝。于是荣方复坐而请陈子说之曰：夏至南万六千里，冬至南十三万五千里，日中立竿测影。

臣鸾曰：南戴日下，立八尺表，表影千里而差一寸，是则天上一寸，地下千里。今夏至影有一尺六寸，故其万六千里。冬至影一丈三尺五寸，则知其十三万五千里。此一者，天道之数。

言天道数一，悉以如此。

周?长八尺，夏至之日晷一尺六寸。晷，影也。此数望之，从周城之南千里也。而周官测影尺有六寸，盖出周城南千里也。记云：神州之土，方五千里，虽差一寸，不出畿地之分。先王知之实，故建王国。?者，股也。正晷者，勾也。

以?为股，以影为勾，股定然后可以度日之高远。正晷者，日中之时节也。

正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。候其影，使表相去二千里，影差二寸。将求日之高远，故先见其表影之率。

日益表，南晷日益长。候勾六尺，

候其影，使长六尺者，欲令勾股相应，勾三、股四、弦五、勾六、股八、弦十即。取竹空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日。以径寸之空，视日之影，?长则大，矩短则小，正满八尺也。捕犹索也，掩犹覆也。而日应空之孔

掩若重䂓。更言八尺者，举其定也。又曰：近则大，远则小，以影六尺为正。

由此观之，率八十寸而得径一寸，以此为日?之率。故以勾为首，以髀为股。

首犹始也，股犹末也。勾能制物之率，股能制勾之正，欲以为緫见之数，立精理之本。明可以周万事，智可以逹无方，所谓智出于勾，勾出于矩也。

从?至日下六万里而?无影，从此以上至日，则八万里。

臣鸾曰：求从?至日下六万

里者，先置南表晷六尺上十之，为六十寸，以两表相去二千里乘，得十二万里为实，以影差二寸为法除之，得日底地去表六万里。求从?至日八万里者，先置表高八尺上十之，为八十寸，以两表相去二千里乘之，得十六万为实，以影差二寸为法除之，得从表端上至日八万里也。若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘并，而开方除之，得邪至日。从?所旁至日所十万里

旁。此古邪字。求其数之术曰：以表南至日下六万里为勾，以日高八万里为股，为之求弦、勾股各自乘并，而开方除之，即邪至日之所也。臣鸾曰：求从?邪至日所法，先置南至日底六万里为勾，重张自乘，得三十六亿为勾实，更置日高八万里为股，重张自乘得六十四亿为股实，并勾股实得一百亿为弦实。开方除之，得从王城至日十万里。今有十万里。问径几何？曰：一千二百五十里。八十寸而得径一寸。以一寸乘十万里为实，八十寸为法，即得。

以率率之，八十里得径一里。十万里得径千二百五十里。

法当以空径为勾率，竹长为股率，日去人为大股，大股之勾即日径也。其术以勾率乘大股，股率而一。此以八十里为法，十万里为实。实如法而一，即得日径，

故曰日晷径千二百五十里。

臣鸾曰：求以率八十里得径一里，十万里得径千二百五十里。法：先置竹孔径一寸为十里，为勾。更置邪去曰十万里为股。以勾十里乘股十万里，得一亿为实。更置日去地八万里为法，除实，得日晷径千二百五十里，故云日晷径也。

臣淳风等谨按：夏至王城望日立两表，相去二千里，表高八尺，影去前表一尺五寸，去后表一尺七寸。旧术以前后影差二寸为法，以前影寸数乘表间为实。实如法得万五千里，为日下去南表里。又以表高八十寸乘表间为实，实如法得八万里，为表上去日里。仍以表寸为日高，影寸为日下。待日渐高，候日影六尺，用之为勾，以表为股，为之求弦，得十万里，为邪表数目。取管圆孔径一寸，长八尺，望日满筒以为率，长八十寸为一邪，去日十万里，日径即千二百五十里。以理推之，法云天之处心，高于外衡六万里者，此乃语与术违。勾六尺，股八尺，弦十尺，角隅正方，自然之数，盖依绳水之定，施之于表矩。然则天无别体，用日以为高下，术既随乎而迁，高下从何而出？语术相违，是为大失。又按二表下地，依水平法定其高下。若北表地高，则以为勾，以间为弦，置其高数，其影乘之，其表除之，所得益股为定间。若北表下者，亦置所下，以法乘除，所得以减股为定间。又以高下之数与间相约，为地高远之率。求远者，影乘定间差法而一，所得加表日之高也。求邪去地者，弦乘定间差法而一，所得加弦日邪去地。此三等至皆以日为正。求日下地高下者，置戴日之远近，地高下率乘之，如间率而一，所得为日下地高下。形势隆杀与表间同，可依此率。若形势不等，非代所知，率日径求日大小者，径率乘间，如法而一，得日径。此径当即得，不待影长六尺。凡度日者，先须定二矩。水平者，影南北立勾，齐高四尺，相去一丈，以二弦候牵于勾上，并率二则，拟为候影。勾上立表，弦下望日，前一则上畔，后一则下畔，引则就影合，与表日参直。二至前后三四日间，影不移处，即是。当以候表亦望人取一影，亦可。日径影端，表头为则。然地有高下，表望不同，后六术乃穷其实。　第一，后高前下术，高为勾，表间为弦，后复影为所求率，表为有所率，以勾为所有数，所得益股为定间。　第二后下术，以其所下为勾表，间为弦，置其所下，以影乘表，除所得减股，余为定间。第三邪下术，依其北高之率，高其勾影，合与地势隆杀相似。余同平法。假令?邪下而南，其邪亦同，不须别望，但弦短与勾股不得相应，其南里数，亦随地势，不得校乎平则促。若用此术，但得南望。若北望者，即用勾照南下之术，当北高之地。　第四邪上术，依其后下之率，下其勾影，此谓?望北极以为高逺者，望去取差，亦同南望。此术弦长亦与勾股不得相应，唯得北望，不得南望。若南望者，即用勾影北高之术。第五平术，不论高下，周?度日，用此平术，故东西南北四望皆通，远近一差，不须别术。　第六术者，是外衡，其径云四十七万六千里，半之得二十三万八千里者，是外衡去天心之处，心高于外衡六万里为率，南行二十三万八千里，下校六万里约之，得南行一百一十九里，下校三十里，一百一十九歩差下三十歩□三十歩大强差下十歩。以此为准，则不合有平地，地既平，而用术尤乖理验。且自古论晷影差变，毎有不同，今略其梗槩，取其推歩之要。尚书攷灵曜云：日永影尺五寸，日短一十三尺，日正南千里而减一寸。张衡灵宪云：悬天之晷，薄地之仪，皆移千里而差一寸。郑玄注周礼云：凡日影于地，千里而差一寸。王蕃、姜岌因此为说。按前诸说，是数并同，其言更出书，非直有此，以事考量，恐非实矣。谨按宋元嘉十九年歳在壬午，遣使徃交州度日影，夏至之日，影在表南三寸二分。太康地理志，交趾去洛阳一万一千里，阳城去洛阳一百八十里，交趾西南望阳城，洛阳在其东南。较而言之，令阳城去交趾近，于洛阳去交趾一百八十里，则交趾去阳城一万八百二十里，而影差尺有八寸二分，是六百里而影差一寸也。况复人路迂?，羊肠曲折，方于鸟道，所较弥多。以事验之，又未盈五百里而差一寸。眀矣千里之言，固非实也。何承天又云：诏以土圭测影，考校二至，□三日有余，从来积歳及交州所上，验其增减，亦相符合。此则影差之验也。周礼大司徒职曰：夏至之影，尺有五寸。马融以为洛阳，郑玄以为阳城。尚书攷灵曜：日永影一尺五寸。郑玄以为阳城日短十三尺。易纬通卦验：夏至影尺有四寸八分，冬至一丈三尺。刘向洪范传：夏至影一尺五寸八分。是时汉都长安，而向不言测影处所。若在长安，则非晷影之正也。夏至影长一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。向又云：春秋分长七尺三寸六分。此即緫是虗妄。后汉历志：夏至影一尺五寸。后汉洛阳冬至一丈三尺。自梁天监巳前，并同此数。魏景?夏至影一尺五寸。魏?都许昌，与颕川相近。后都洛阳，又在地中之数。但易纬因汉历旧影，似不别影之。冬至一丈三尺。晋姜岌影一尺五寸。宋都建康，在江表，验影之数，遥取阳城冬至一丈三尺。宋大明祖冲之历夏至影一尺五寸。宋都秣陵，遥取影同前，冬至一丈三尺。后魏信都芳注周?四术云：按永平元年戊子，是梁天监之七年也。见洛阳测影。又见公孙崇集诸朝士共观秘书影，同是夏至之日。以八尺之表测日中影皆长一尺五寸八分。虽无六尺，近六寸。梁武帝大同十年，太史令虞邝以九尺表于江左建康测夏至日中影长一尺三寸二分。以八尺表测之，影长一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分。八尺表影长一丈一尺六寸二分弱。隋开皇元年冬至，影长一丈二尺七寸二分。开皇二年夏至，影一尺四寸八分。冬至，长安测；夏至，洛阳测及王邵隋灵感志，冬至一丈二尺七寸二分，长安测也。开皇四年夏至，一尺四寸八分，洛阳测也。冬至一丈二尺八寸八分，洛阳测也。大唐正观二年己五五月二十三日癸亥夏至，中影一尺四寸六分，长安测也。十一月二十九丙寅冬至，中影一丈二尺六寸三分，长安测也。按汉、魏及隋所记，夏至中影，或长短齐其盈缩之中，则夏至之影尺有五寸，为近定实矣。以周官推之，洛阳为所交会，则冬至一丈二尺五寸亦为近矣。按梁武帝都金陵云，洛阳南北大较千里，以尺表令其有九尺影。则大同十年江左八尺表，夏至中影长一尺一寸七分。若是为夏至八尺表，千里而差一寸弱矣。此推验即是夏至影差，降升不同，南北逺近，数亦有异。若以一等永定，恐皆乖理之实。日高图日高图注：

赵君卿曰：黄甲与黄乙，其实正等。以表高乘两表相去为黄甲之实，以影差为黄甲之广而一，所得则变得黄甲之袤，上与日齐。按图当加表高，今言八万里者，从表以上复加之。青丙与青已，其实亦等。黄甲与青丙相连，黄乙与青已相连，其实亦等。皆以影差为广。臣鸾曰：求日高法，先置表高八尺为八万里为袤，以相两表相去二千里为广，乘袤八万里，得一亿六千万里，为黄甲之实。以影差二寸为二千里为法，除之，得黄乙之袤八万里。即上与日齐。此言王城去天，名曰甲，日底地上至日名曰乙。上天名青丙，下地名青戊。据影六尺。王城上天南至日六万里，王城南至日底地亦六万里，是上下等数。日夏至南万六千里者，立表八尺，于王城影一尺六寸，影寸千里，故王城去夏至日底地万六千里也。法曰：周?长八尺，勾之损益寸千里。勾谓影也。言悬天之影，薄地之仪，皆千里而差一寸。

故曰极者，天广袤也。

言极之远近有定，则天广长可知。今立表高八尺以望极，其勾一丈三寸。由此观之，则从周北十万三千里而至极下，谓冬至日加卯酉之时，若春秋分之夜半，极南两旁与天中齐，故以为周去天中之数。荣方曰：周?者何？

陈子曰：古时天子治周。古时天子，谓周成王时以治周居王城。故曰：昔先王之经邑，奄观九隩，靡地不营，土圭测影，不缩不盈，当风雨之所交，然后可以建王城。此之谓也。

此数望之从周，故曰周?。

言周都河南，为四方之中，故以为望主也。?者，表也，

用其行事，故曰?。由此捕望，故曰表。影为勾，故曰勾股也。

日夏至，南万六千里。日冬至，南十三万五千里，日中无影。以此观之，从南至夏至之日中，十一万九千里。

诸言极者，斥天之中极去周十万三千里，亦谓极与天中齐时，更加南万六千里是也。北至其夜半亦然。

日极在极北，正等也。

凡径二十三万八千里，并南北之数也。

此夏至日道之径也。

其径者，圆中之直者也。

其周七十一万四千里。

周，匝也。谓天戴日行，其数，以三乘径。臣鸾曰：求夏至日道径法，列夏至日去天中心十一万九千里，夏至夜一日亦去天中心十一万九千里，并之，得夏至日道径二十三万八千里。三乘径，得周七十一万四千里也。

从夏至之日中至冬至之日中，十一万九千里。冬至日中去周十三万五千里，除夏至日中，去周一万六千里是也。

北至极下亦然。则从极南至冬至之日中，二十三万八千里。从极北至其夜半亦然，凡径四十七万六千里。此冬至日道径也。其周百四十二万八千里。从春秋分之日中，北至极下。十七万八千五百里。春秋之日影七尺五寸五分。加望极之勾一丈三寸。

臣鸾曰：求冬至日道径法，列夏至去冬至日中十一万九千里，从夏至日道北径亦十一万九千里，并之，得冬至日中北极下二十三万八千里，从极至夜半亦二十三万八千里。并之，得冬至道径四十七万六千里。以三乘径，即冬至日道周一百四十二万八千里。从极下北至其夜半亦然。凡径三十五万七千里，周一百七万一千里。故日月之道常縁宿，日道亦与宿正，

内衡之南，外衡之北，圆而成规，以为黄道，二十八宿列焉。日之行也，一出一入，或表或里。五月二十三分月之二十一道一交，谓之合朔、交会及月蚀相去之数，故曰縁宿也。日行黄道，以宿为正，故曰宿正于中衡之数与黄道等。臣鸾曰：求春秋分日道法，列春秋分日中，北至极下十七万八千五百里，从北极北至其夜半亦然。并之，得春、秋分日道径三十五万七千里。以三乘径，即日道周一百七万一千里。求黄道径法：列从北极南至夏至日中一十一万九千里，以从极北去冬至夜半二十三万八千里并之，得黄道三十五万七千里，从极南至冬至日，北至夏至日夜半，亦黄道径也。以三乘径周，得一百七万一千里也。

南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦径三十五万七千里，周一百七万一千里。

此皆黄道之数，与中衡等。

春分之日夜分，以至秋分之日夜分，极下常有日光。

春秋分者，昼夜等。春分至秋分，日内近极，故日光照及也。秋分之日，夜分以至春分之日，夜分，极下常无日光。

秋分至春分，日外远极，故日光照不及也。故春秋分之日，夜分之时，日所照适至极，隂阳之分等也。冬至、夏至者，日道?歛之所生也。至，昼夜长短之所极。

发，犹往也。歛，犹还也。极，终也。

春秋分者，隂阳之修，昼夜之象。

修，长也。言隂阳长短之等。昼者阳，夜者隂，

以明暗之差为隂阳之象。

春分以至秋分，昼之象，

北极下见日光也。日永主物生，故象昼也。秋分至春分，夜之象，

北极下不见日光也。日短主物死，故象夜也。故春秋分之日中，光之所照，北极下，夜半日光之所照，亦南至极，此日夜分之时也。故曰日照四旁，各十六万七千里。至极者，谓璇玑之际，为阳绝隂障，以日之时，而日光有所不逮，故知日旁照十六万七千里，不及天中一万一千五百里也。

人望所见远近，宜如日光所照。日近我一十六万七千里之内，及我，我自见日，故为日出。日远我十六万七千里之外，日则不见我，我亦不见日，故为日入。是为日与目见于十六万七千里之中，故曰逺近，宜如日光之所照也。从周所望见，北过极六万四千里。自此以下，诸言减者，皆置日光之所照，若人目之所见十六万七千里以除之，此除极至周十万三千里。

臣鸾曰：求从周所望见北过极六万四千里法，列人目所极十六万七千里，以王城

周去极十万三千里减之，余六万四千里，即人望过极之数也。

南过冬至之日三万二千里，除冬至日中，去周十三万五千里。臣鸾曰：求冬至日中三万二千里法，列人目所极十六万七千里，以冬至日中去王城十三万五千里减之，余即，过冬至日中三万二千里也。

夏至之日中光南过冬至之日中光四万八千里，除冬至之日中，相去十一万九千里。臣鸾曰：求夏至日中光南过冬至日中光四万八千里法，列日高照十六万七千里，以冬夏至日中相去一十一万九千里减之，余即南过冬至之日中光四万八千里，南过人所望见一万六千里，

夏至日中去周万六千里。

臣鸾曰：求夏至日中光南过，人所望见万六千里。法列王城去夏至日中光南过，人所望见万六千里，加日光所及十六万七千里，得十八万三千里，以人目所极十六万七千里减之，余即南。过人目所望见一万六千里也。

北过周十五万一千里，

除周夏至之日中一万六千里。

臣鸾曰：求夏至日中光北过周十五万一千里法，列日光所及十六万七千里，以王城去夏至日中一万六千里减之，余即北过周十五万一千里，

北过极四万八千里，除极去夏至之日十一万九千里。臣鸾曰：求夏至日中光北过极四万八千里法，列日光所及十六万七千里，以北极去夏至夜半十一万九千里减之，余即北过极四万八千里也。

冬至之夜半，日光南不至，人所见七千里。倍日光所照里数，以减冬至日道径四十七万六千里。又除冬至日中，去周十三万五千里。臣鸾曰：求冬至夜半日光南不至，人目所见七千里法，列日光十六万七千里，倍之，得三十三万四千里，以减冬至日道径四十七万六千里，余十四万二千里。复以冬至日中去周十三万五千里减之，余即不至，人目所见七千里。

不至极下七万一千里。

从极至夜半，除所照十六万七千里。臣鸾曰：求冬至日光不至极下七万一千里法，列冬至夜半去极二十三万八千里，以日光一十六万七千里减之，余即不至极下七万一千里。

夏至之日中，与夜半日光九万六千里过极相接，倍日光所照，以夏至日道径减之，余即相接之数。

臣鸾曰：求夏至日中日光与夜半相接九万六千里。法列倍日光所照十六万七千里，得径三十三万四千里。以夏至日过径二十三万八千里减之，余即日光相接九万六千里也。

冬至之日中，与夜半日光不相及十四万二千里，不至极下七万一千里。

倍日光所照，以减冬至日道径，余即不相及之数，半之，即各不至极下。

臣鸾曰：求冬至日光与夜半日不及十四万二千里，不至极下七万一千里。法列冬至日道径四十七万六千里，以倍日光所照三十三万四千里减之，余即日光不相及十四万二千里，半之，即不至极下七万一千里也。

夏至之日，正东西望直周，东西，日下至周五万九千五百九十八里半。

求之术，以夏至日道径二十三万八千里为弦，倍极去周十万三千里，得二十万六千里，为股，为之求勾。以股自乘，减弦自乘，其余，开方除之，得勾一十一万九千一百九十七里有竒，半之，各得周半数。

臣鸾曰：求夏至日正东西去周法，列夏至道径二十三万八千里为弦，自相乘，得五百六十六亿四千四百万为弦实。更置极去周十万三千里倍之，为二十万六千里，为股重张。自相乘，得四百二十四亿三千六百万为股实。以减弦实，余一百四十二亿八百万，即勾实。以开方除之，得正东西去周一十一万九千一百九十七里二十三万八千三百九十五分里之七万五千一百九十一半之即周，东西各五万九千五百九十八里半。经曰：竒者，分也。若求分者，倍分母得四十七万六千七百九十，即一方得五万九千五百九十八里半，四十七万六千七百九十分里之七万五千一百九十一。本经无所余算之次因而演之也。冬至之日正东西方，不见日。

正东西方者，周之卯酉，日在十六万七千里之外，不见日。

以算求之，日下至周二十一万四千五百五十七里半

求之术，以冬至日道径四十七万六千里为弦，倍极之，去周十万三千里，得二十万六十里为勾，为之求股。勾自乘减弦之自乘，其余开方除之，得四十二万九千一百一十五里有竒，半之，各得东西数。

臣鸾曰：求冬至正东西方，不见日法。列冬至日道径四十七万六千里为弦，重张相乘得二千二百六十五亿七千六百万里为弦实。更列极去周十万三千里，倍之，得二十万六千里为勾，重张相乘得四百二十四亿三千六百万，以减弦实，余一千八百四十一亿四十万即股实。开方除之，得周直东西四十二万九千一百一十五里八十五万八千二百三十一分里之三十一万六千七百七十五半。即周，一方去日二十一万四千五百五十七里半。亦倍分母，得一百七十一万六千四百六十二分里之三十一万六千七百七十五。凡此数者，日道之发歛。

凡此上周径之数者，日道徃还之所至，昼夜长短之所极。

冬至、夏至，观律之数，听钟之音。观律数之生，听钟音之变，知寒暑之极，明代序之化也。

冬至昼，夏至夜，

冬至昼夜日道径。半之，得夏至昼夜日道径法。置冬至日道径四十七万六千，半之，得夏至日中，去夏至夜半二十三万八千里。以四极之里也

差数及日光所还观之。

以差数之所及，日光所还，以此观之，则四极之穷也。

四极径八十一万里，

从极南至冬至日中二十三万八千里。又日光所照十六万七千里，凡径四十万五千里，北至其夜半亦然，故日径八十一万里。八十一者，阳数之终，日之所极。

臣鸾曰：求四极径八十一万里法，列冬至日中去极二十三万八千里，复加冬至日光所极十六万七千里，得四十万五千里，北至其夜半亦然。并南北即，是大径八十一万里，

周二百四十三万里。

三乘径即周

臣鸾曰：以三乘八十一万里，得周二百四十三万。自此以外，日所不及也。

从周至南，日照处三十万二千里半径除

周去极十万三千里臣鸾曰：求周南三十万二千里法，列半径四十万五千，以王城去极十万三千里减之，余即周南至日照处三十万二千里，周北至日照处五十万八千里，

半径，加

周去极十万三千里臣鸾曰：求周去冬至夜半日北极照处五十万八千里法，列半道径四十万五千里，加周夜半去极十万三千里，得冬至夜半北极照去周五十万八千里，

东西各三十九万一千六百八十三里半。求之术，以径八十一万里为弦，倍去周十万三千里，得二十万六千里，为勾，为之求股，得七十八万三千三百六十七里有竒。半之，各得东西之数。

臣鸾曰：求东西各三十九万一千六百八十三里半法，列径八十一万里，重张自乘，得六千五百六十一亿为弦实。更置倍周去北极二十万六千里为勾，重张自乘，得四百二十四亿三千六百万，以减弦实，余六千一百三十六亿六千四百万。即股实。以开方除之，得股七十八万三千三百六十七里一百五十六万六千七百三十五分里之十四万三千三百一十一。半之即，得去周三十九万一千六百八十三里半。分母亦倍之，得三百一十三万三千四百七十分里之十四万三千三百一十一也。周在天中南十万三千里，故东西矩中径二万六千六百三十二里有竒，求矩中径二万六千六百三十二里，有竒法。列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里有竒减之，余即矩中径之数。臣鸾曰：求矩中径二万六千六百三十二里，有竒法。列八十一万里，以周东西七十八万三千三百六十七里，有竒减之，余二万六千六百三十三里。取一里，破为一百五十六万六千七百三十五分，减一十四万三千三百一十一，余一百四十二万三千四百二十四。即径东西矩二万六千六百三十二里一百五十六万六千七百三十五分里之一百四十二万三千四百二十四。

周北五十万八千里。冬至日十三万五千里，冬至日道径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。日光四极，当周东西各三十九万一千六百八十三里有竒。

此方圆之法。此言求圆于方之法。万物周事。而圆方用焉。大匠造制。而䂓矩设焉。或毁方而为圆。或破圆而为方。方中为圆者。谓之圆方。圆中为方者。谓之方圆也。七衡图注。

赵君卿曰。靑图画者。天地合际。人目所远者也。天至高。地至卑。非合也。人目极观而天地合也。日入青图画内。谓之日出。出青图画外。谓之日入。青图画之内外皆天也。北辰正居天中之央。人所谓东西南北者。非有常处。各以日出之处为东。日中为南。日入为西。日没为北。北辰之下。六月见日。六月不见日。从春分至秋分，六月常见日，从秋分至春分，六月常不见日。见日为昼，不见日为夜。所谓一歳者，即，北辰之下，一昼一夜。黄图画者，黄道也，二十八宿列焉，日月星辰?焉。使青图在上不动，贯其极而转之，即交矣。我之所在，北辰之南，非天地之中也。我之卯酉，非天地之卯酉。内第一夏至日道也，出第四春秋分日道也；外第七冬至日道也。皆随黄道日。冬至在牵牛，春分在娄，夏至在东井，秋分在角。冬至从南而北，夏至从北而南，终而复始也。凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分，分一千里，凡用缯方八尺一寸。今用缯方四尺五分，分为二千里，

方为四极之图，尽七衡之意。

吕氏曰：凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里。

吕氏，秦相吕不韦作吕氏春秋。此之义在有始第一篇，非周?本文。尔雅云：九夷八，狄七，戎、六蛮，谓之四海。言东西南北之数者，将以明车辙马迹之所至。河图括地象云：而有君长之州九，阻中国之文德，及而不治。又云：八极之广，东西二亿二万三千五百里，南北二亿三万三千五百里。淮南子地形训云：禹使大章歩自东极，至于西极，孺亥歩自北极至于南极。而数皆然。或其广濶。将焉可歩矣。亦后学之徒未之或知也。夫言亿者。十万曰亿也。

凡为日月运行之圆周。春秋分。冬夏至。璿玑之运也。

七衡周而六间。以当六月节。六月为百八十二日八分日之五

节。六月者。从冬至至夏至，日百八十二日八分日之五，为半岁。六月节者，谓中气也，不尽其日也。此日周天通四分一之倍法，四以除之，即得也。

臣鸾曰：求七衡周而六间，以当六月节。六月为一百八十二日八分日之五，此为半岁也。列周天三百六十五日四分日之一，通分内子，得一千四百六十一为实，倍分母四为八，除实，得半岁一百八十二日八分日之五也。

故日夏至在东井极内衡，日冬至在牵牛极外衡也。

东井、牵牛为长短之限，内外之极也。衡复更终冬至。

冬至日从外衡还黄道，一周年，复于故衡终于冬至。

故曰，一岁三百六十五日四分日之一，一岁一内极一外极。

从冬至一内极及一外极，度终于星，月穷于次，是为一岁

三十日十六分日之七。月一外极一内极。欲分一岁为十二月，一衡间当一月。此举中相去之日数。以此言之，月行二十九日九百四十分日之四百九十九。则过周天一日。而与月合宿。论其入内外之极。六归粗通。未心得也。日光言内极。月光言外极。日阳从冬至起。月隂从夏至起。往来之始。易曰。日徃则月来。月往则日来。此之谓也。此数置一百八十二日八分日之五，通分内子五，以六间乘分母以除之，得三十。以三约法得十六，约余得七。臣鸾曰：求三十日十六分日之七法，列半岁一百八十二日八分日之五，通分内子得一千四百六十一为实。以六间乘分母八得四十八，除实得三十日，不尽二十一，更置法，实求等数，平于三，即以约法得十六，约余得七，即是从中气相去三十日十六分日之七也。

是故　衡之间万九千八百三十三里三分里之一，即为百歩。

此数夏至冬至相去十一万九千里，以六间除之得矣。法与余分皆半之。臣鸾曰：求一衡之间一万九千八百三十三里三分里之一。法置冬至、夏至相去十一万九千里，以六间除之即得法与余分，半之得也。

欲知次衡径倍而增内衡之径。

倍一衡间数以増内衡，

二之，以增内衡径。

二乘所倍一衡之间数，以増内衡径。即，得三衡径。次衡放此。

次至皆如数。

内一衡径二十三万八千里，周七十一万四千里。分为三百六十五度四分度之一。度得一千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三。

通周天四分之一为法。又以四乘衡周为实。实如法得一百歩，不满法者十之，如法得十歩，不满法者十之，如法得一歩，不满者以法命之。至七衡皆如此。

臣鸾曰：求内衡度法，置夏至径二十三万八千里，以三乘之，得内外衡周七十一万四千里。以周天分母四乘内衡周，得二百八十五万六千里为实。以周天分一千四百六十一为法，除之，得一千九百五十四里。不尽一千二百六，即而三之，为三千六百十八。以法除之，得二百歩，不尽六百九十六歩，上十之，如法而得四十歩，不尽一千一百一十六，复上十之，如法而一，得七歩，不尽九百三十三即，是一千九百五十四里二百四十七歩一千四百六十一分歩之九百三十三。

次二衡径二十七万七千六百六十六里二百歩，周八十三万三千里。分里为度，度得二千二百八十里百八十八歩千四百六十一分歩之千三百三十二。

通周天四分之一为法。四乘衡周为实。实如法得里数。不满者求歩数，不尽者命分。臣鸾曰：求第二衡法，列一衡间一万九千八百三十三里少半里，倍之，得三万九千六百六十六里太半里。増

内衡径二十三万八千里，得第二。衡径二十七万七千六百六十六里二百歩，是三分里之二。又以三乘之，歩满三百成一里，得二。衡周八十三万三千里。以周天分母四乘周，得三百三十三万二千为实。更置周天三百六十五度四分度之一，通分内子得一千四百六十一为法，除之得二千二百八十里，不尽九百二十，以三百乘之，得二十七万六千，复以前法除之，得一百八十八歩，不尽一千三百三十二，即是度得二千二百八十里一百八十八歩一千四百六十一分歩之一千三百三十二。

次三衡径，三十一万七千三百三十三里一百歩。周九十五万二千里分为度。度得二千六百六里百三十歩千四百六十一分歩之二百七十。通周天四分之一为法。四乘衡周为实。实如法得里数。不满法者，求歩数，不尽者，命分。臣鸾曰：求第三衡法，列倍一衡间，得三万九千六百六十六里三分里之二，增第二衡径二十七万七千里六百六十六里二百歩。即三分里之二，得第三衡径三十一万七千三百三十三里一百歩。以三乘径歩，歩满三百成里，得周九十五万二千里。又以分母四乘周，得三百八十万八千为实，以周天分一千四百六十一为法，以除实，得二千六百六里。不尽六百三十四，以三百乘之，以法除之，得一百三十歩，不尽二百七十，即是度，得二千六百六里一百三十歩一千四百六十一分歩之二百七十。

次四衡径三十五万七千里，周一百七万一千里，分为度。度得二千九百三十二里七十一歩千四百一十分歩之六百六十九。通周天四分之一为法。四乘衡周为实。实如法得里数。不满法者，求歩数。不尽者，命分。臣鸾曰：求第四衡法，列倍一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，増第三衡径三十一万七千三百三十三里一百歩歩，满三百成里，得径三十五万七千里。以三乘之，得周一百七万一千里。以分母乘之，得四百二十八万四千里为实。以周天分一千四百六十一除之，得二千九百三十二里。不尽三百四十八，以三百乘之，以法除之，得七十一歩，不尽六百六十九。即是度，得二千九百三十二里七十一歩一千四百六十一分歩之六百六十九。

次五衡径三十九万六千六百六十六里二百歩，周一百一十九万里。分为度，度得三千二百五十八里十二歩千四百六十一分歩之千六十八。

通周天四分之一为法。四乘衡周为实。实如法得里数。不满法者求歩数，不尽者命分。臣鸾曰：求第五衡法，列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，増第四衡径三十五万七千里，满三百成里，得第五衡径三十九万六千六百六十六里二百歩。以三分乘径，得周一百一十九万里。又以分母四乘周，得四百七十六万为实，以周天分一千四百六十一为法，除之得三千二百五十八里，不尽六十二，以三百乘之，以法除之，得十二歩，不尽一千六十八，即是度，得三千二百五十八里十二歩一千四百六十一分歩之一千六十八。

次六衡径，四十三万六千三百三十三里一百歩。周一百三十万九千里。分为度，度得三千五百八十三里二百五十四歩千四百六十一分歩之六。通周天四分之一为法。四乘衡周为实。实如法得一里。不满法者求歩，不尽者命分。臣鸾曰：求第六衡法，列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，以増第五衡径三十九万六千六百六十六里一百歩。又三乘径，得周一百三十万九千里。又以分母四乘周，得五百二十三万六千为实，以周天分一千四百六十一为法除之，得三千五百八十三里。不尽一千二百三十七。以三百乘之，以法除之，得二百五十四歩，不尽六即是度，得三千五百八十三里二百五十四歩一千四百六十一分歩之六。

次七衡径四十七万六千里，周一百四十二万八千里。分为度，得三千九百九里一百九十五歩千四百六十一分歩之四百五。通周天四分之一为法。四乘衡周为实。实如法得里数。不满法者，求歩数，不尽者，命分。臣鸾曰：求第七衡法，列倍第一衡间三万九千六百六十六里三分里之二，増第六衡径四十三万六千三百三十三里一百歩，得第七衡径四十七万六十里。以三乘之，得周一百四十二万八千里。以分母四乘之，得五日七十一万二千为实，以周天分一千四百六十一为法，除之，得三千九百九里，不尽九百五十一。又以三百乘之，所得以法一千四百六十一除之，得一百九十五歩，不尽四百五。即是度得三千九百九里一百九十五歩一千四百六十一分歩之四百五。

其次曰冬至所北照，过北衡十六万七千里。冬至十一月，日在牵牛，径在北方，因其在北，故言照过北衡，

为径八十一万里。

倍所照，増七衡径

周二百四十三万里。三乘倍増七衡周

分为三百六十五度四分度之一。度得六千六百五十二里二百九十三歩千四百六十一分歩之三百二十七。过此而徃者，未之或知。过八十一万里之外，

或知者，或疑其可知，或疑其难知。此言上圣不学而知之。

上圣者，智无不至，明无不见。攷灵曜曰：微式出冥，唯审其形。此之谓也。故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸，冬至日晷长，夏至日晷短。日晷损益，寸差千里。故冬至、夏至之日，南北游十一万九千里，四极径八十一万里，周二百四十三万里。分为度，度得六千六百五十二里二百九十三歩千四百六十一分歩之三百二十七。此度之相去也。臣鸾曰：求冬至日所北照十六万七千里，并南北日光，得三十三万四千里。増冬至日道径四十七万六千里，得八十一万里，三之，得周二百四十三万。以周天分母四乘之，得九百七十二万里为实，以周天分一千四百六十一为法，除之，得六千六百五十二里，不尽一千四百二十八，以三百乘之，得四十三万八千四百，复以法除之，得二百九十三歩，不尽三百二十七，即是度，得六千六百五十二里二百九十三歩一千四百六十一分歩之三百二十七。

其南北游日，六百五十一里一百八十二歩一千四百六十一分歩之七百九十八。

术曰：置十一万九千里为实，以半歳一百八十二日八分日之五为法。

半歳考从外衡去内衡以为法。除相去之数，得一日所行也，

而通之。

通之者，数不合齐，以法等，得相通入。以八乘也，得九十五万二千为实。通十一万九千里，

所得一千四百六十一为法。除之，通百八十二日八分日之五也。

实如法得一里，不满法者三之，如法得百歩。一里三百歩。当以三百乘而言之。三之者，不欲转法，便以一位为百实，故从一位命为百。不满法者十之，如法得十歩。

上下用三百乘，故此十之，便以位为十实，故从一位命为十，不满法者十之，如法得一歩。

复十之者，但以一位为实，故从一位命为一，不满法者以法命之，

位尽于一歩，故以法命其余分为残歩。臣鸾曰：求南北游法，置冬至十一万九千里，以半岁日分母八乘之，得九十五万二千为实。通半歳一百八十二日八分日之五，得一千四百六十一，以除，得六百五十一里，不尽八百八十九，以三百乘之，得二十六万六千七百，复以法除之，得一百八十二歩，不尽七百九十八即，得日。南北游日六百五十一里一百八十二歩一千四百六十一分歩之七百九十八。

周?算经卷上。