周?算經卷上

周?算經卷上

漢趙君卿注

北周漢中郡守前司隸臣甄鸞重述

唐朝議大夫行大史令上輕車都尉臣李淳風等奉勑注釋

明趙開美校

昔者周公問於商高曰：竊聞乎大夫善數也。

周公姓姫名旦，武王之弟。商高，周時賢大夫，善算者也。周公位居冡宰，德則至高，尚自卑巳以自牧，下學而上逹，況其凡乎？請問古者包犧立周天曆度，

包犧，三皇之一，始畫八卦，以商高善數，能通乎微妙，逹乎無方，無大不綜，無幽不顯。聞包犧立周天曆度，運章蔀之法。易曰：古者包犧氏之王天下也，仰則觀象於天，俯則觀法於地，此之謂也。

夫天不可階而升，地不可將尺寸而度，邈乎懸廣，無階可升；蕩乎遐遠，無度可量。請問數從安出？

心昧其機，請問其目。

商高曰：數之法出於圓方。

圓徑一而周三，方徑一而匝四。伸圓之周而爲勾，展方之匝而爲股。共結一角，邪適弦五政，圓方邪徑相通之率。故曰數之法出於圓方。圓方者，天地之形，隂陽之數。然則周公之所問天地也。是以商高陳圓方之形以見其象，因竒耦之數以制其法，所謂言約㫖遠，微妙幽通矣。

圓出於方，方出於矩。

圓䂓之數，理之以方。方，周匝也。方正之物，出之以矩。矩，廣長也。

矩出於九九八十一，

推圓方之率，通廣長之數，當須乘除以計之。九九者，乘除之原也。

故折矩。

故者，申事之辭也。將爲勾股之率，故曰折矩也。以爲勾廣三，

廣圓之周，横者謂之廣勾亦廣，廣，短也。股修四，

應方之匝，從者謂之修，股亦修，修，長也。徑隅五，

自然相應之率，徑，直。隅，角也，亦謂之弦。旣方之外，半其一矩。

勾股之法，先知二數，然後推一，見勾股，然後求弦。先各自乘成其實，實成勢化，外乃變通，故曰旣方其外。或并勾股之實，以求弦實之中，乃求勾股之分，并實不正等，更相取與，互有所得，故曰半其一矩。其術，勾股各自乘，三三如九，四四一十六，并爲弦自乘之實。二十五減勾於弦，爲股之實。一十六減股於弦，爲勾之實。九

環而共盤，得成三四五。

盤讀如盤桓之盤。言取而并減之，積環屈而共盤之謂。開方除之其一面，故曰得成三四五也。

兩矩共長二十有五，是謂積矩。

兩矩者，勾股各自乘之實。共長者，并實之數。將以施於萬事，而此先陳其率也。故禹之所以治天下者，此數之所生也。禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，釋昏蟄之厄，使東注於海而無浸溺，乃勾股之所由生也。勾股圓方圖弦實二十五朱及黃勾股方圓圖注：

趙君卿曰：勾股各自乘併之爲弦實，開方除之，即弦也。案弦圖又可以勾股相乘爲朱實，二倍之爲朱實四。以勾股之差自相乘爲中黃實，加差實，亦成弦實。以差實減弦實，半其餘，以差爲從法。開方除之，復得勾矣。加差於勾，即股。凡并勾股之實，即成弦實。或矩於内，或方於外，形詭而量均，體殊而數齊。勾實之矩，以股弦差爲廣，股弦并爲袤，而股實方其裏。減矩勾之實於弦實，開其餘，即股。倍股在兩邊爲從法。開矩勾之角，即股弦差。加股爲弦，以差除勾實，得股弦并。以并除勾實，亦得股弦差。令并自乘，與勾實爲實，倍并爲法。所得亦弦勾實。減并自乘，如法爲股股實之矩。以勾股差爲廣，勾弦并爲袤，而勾實方其裏。減矩股之實於弦實，開其餘，即勾倍勾。在兩邊爲從法。開矩股之角，即勾弦差。加勾爲弦，以差除股實，得勾弦并。以并除股實，得勾弦差。令并自乘，與股實爲實，倍并爲法。所得亦弦股實。減并自乘，如法爲勾。兩差相乘，倍而開之，所得以股弦差增之爲勾，以勾弦差增之爲股，兩差増之爲弦。倍弦實，列勾股差實，見弦實者，以圖考之。倍弦實滿外大方而多黃實，黃實之多，即勾股差實。以差實減之，開其餘，得外大方。大方之面即勾股并也。令并自乘，倍弦實，乃減之，開其餘，得中黃方。黃方之面即勾股差。以差減并而半之，爲勾。加差於并而半之爲股。其倍弦爲廣袤。合。令勾股見者自乘爲其實。四實以減之，開其餘，所得爲差。以差減合半其餘爲廣。減廣於弦，即所求也。觀其迭相䂓矩，共爲反覆，互與通分，各有所得。然則統叙羣倫，弘紀衆理，貫幽入微，鈎深致逺。故曰其裁制萬物，唯所爲之也。釋圓方勾股注：

按君卿注曰：勾股各自乘并之爲弦實，開方除之，即弦。臣鸞曰：假令勾三自乘得九，股四自乘得十六，并之得二十五，開方除之得五，爲弦也。

注云：按弦圖又可以勾股相乘爲朱實，二倍之爲朱實，四以勾股之差自相乘爲中黃實。

臣鸞曰：以勾弦差二倍之爲四，自乘得一十六，爲左圖中黃實也。臣淳風等謹按：注云：以勾股之差自乘爲中黃實。鸞云：倍勾弦差自乘者，苟求異端，雖合其數，於率不通。注云：加差實亦成弦實

臣鸞曰：加差實一，并外矩青八得九，并中黃十六得二十五，亦成弦實也。

臣淳風等謹按：注云：加差實一，亦成弦實。鸞曰：加差實并外矩及中黃者，雖合其數，於率不通。

注云：以差實減弦實，半其餘，以差爲從法。開方除之，復得勾矣。

臣鸞曰：以差實九減弦實二十五，餘十六，半之得八，以差一加之得九，開之得勾三也。臣淳風等謹按：注宜云以差實一減弦實二十五，餘二十四，半之爲十二，以差一從開方除之，得勾三。鸞云：以差實九减弦實者，雖合其數，於率不通。注云：加差於勾，即股。

臣鸞曰：加差一於勾三，得股四也。注云：凡并勾股之實，即成弦實

臣鸞曰：勾實九，股實十六，并之得二十五也。注云：或矩於内，或方於外，形詭而量均，體殊而數齊。勾實之矩，以股弦差爲廣，股弦并爲袤臣鸞曰：以股弦差一爲廣，股四并弦五得九爲袤。左圖外青也。

注云：而股實方其裏

臣鸞曰：爲左圖中黃十六。

注云：減矩勾之實，於弦實。開其餘即股。臣鸞曰：減矩勾之實，九于弦實二十五，餘一十六。開之得四股也。

注云：倍股在兩邊爲從法。開矩勾之角，即股弦差。臣鸞曰：倍股四得八，在圖兩邊以爲從法。開矩勾之角九得一也。

注云：加股爲弦。

臣鸞曰：加差一於股四，則弦五也。注云：以差除勾實，得股弦并

臣鸞曰：以差一除勾實九，得九，即股四、弦五并爲九也。

注云：以并除勾實，亦得股弦差。

臣鸞曰：以九除勾實九，得股弦差一。注云：令并自乘與勾實爲實

臣鸞曰：令并股弦得九，自乘爲八十一。又與勾實九加之，得九十，爲實。

注云：倍并爲法。

臣鸞曰：倍股弦并九得十八者，爲法。注云：所得亦弦。

臣鸞曰：除之得五，爲弦。注云：勾實減并自乘，如法爲股。

臣鸞曰：以勾實九減并自乘八十一，餘七十二，以法十八除之，得四，爲股也。注云：股實之矩，以勾弦差爲廣，勾弦并爲袤臣鸞曰：股實之矩，以勾弦差二爲廣，勾弦并八爲袤。

注云：而勾實方其裏，減矩股之實于弦實，開其餘即勾

臣鸞曰：勾實有九方，在右圖裏。以減矩股之實十六，於弦實二十五，餘九，開之得三勾也。

注云：陪勾在兩邉。

臣鸞曰：各三也。

注云：爲從法。開矩股之角，即勾弦差。加勾爲弦

臣鸞曰：加差二於勾三，則弦五也。注云：以差除股實，得勾弦并。

臣鸞曰：以差二除股實十六，得八。勾三、弦五并爲八也。注云：以并除股實，亦得勾弦差。

臣鸞曰：以并除股實十六，得勾弦差二。注云：令并自乘，與股實爲實。

臣鸞曰：令并八自乘，得六十四，與股實十六加之，得八十爲實。

注云：倍并爲法。

臣鸞曰：倍勾弦并八得十六爲法。注云：所得亦弦。

臣鸞曰：除之得弦五也。注云：股實減并自乘，如法爲勾。

臣鸞曰：以股實十六減并自乘六十四，餘四十八，以法十六除之得三，爲勾也。注云：兩差相乘，倍而開之，所得，以股弦差增之，爲勾。

臣鸞曰：以股弦差一乘勾弦差二，得二，倍之爲四，開之得二。以股弦差一増之，得三，勾也。

注云：以勾弦差增之爲股。臣鸞曰：以弦差二增之得四股也。注云：兩差增之爲弦。

臣鸞曰：以股弦差一、勾弦差二増之得五弦也。

注云：倍弦實。列勾股差實見弦實者，以圖考之，倍弦實滿外大方而多黃實，黃實之多，即勾股差實

臣鸞曰：倍弦實二十五得五十，滿外大方七七四十九而多黃實，黃實之多，即勾股差實也。

注云：以差實減之，開其餘，得外大方。大方之面，即勾股并。

臣鸞曰：以差實一減五十，餘四十九，開之，卽大方之面七也。亦是勾股并也。注云：令并自乘，倍弦實乃減之，開其餘，得中黃方。黃方之面卽勾股差

臣鸞曰：并七自乘，得四十九，倍弦實二十五，得五十，以減之，餘卽中黃方差實一也。故開之。卽勾股差一也。

注云：以差減。并而半之爲勾

臣鸞曰：以差一減并七，餘六，半之得三勾也。注云：加差於并而半之爲股

臣鸞曰：以差一加并七得八，而半之，得四股也。

注云：其倍弦爲廣袤合。

臣鸞曰：倍弦二十五爲五十，爲廣袤合。臣淳風等謹按：列廣袤術，宜云倍弦五得十，爲廣袤合。今鸞云倍弦二十五者，錯也。

注云：而令勾股見者自乘爲其實，四實以減之，開其餘，所得爲差。

臣鸞曰：令自乘者，以七七自乘，得四十九，四實。大方勾股之中有四方，一方之中有方十二，四實有四十八，減上四十九，餘一也。開之得一卽，勾股差一。臣淳風等謹按注意，令自乘者十自乘得一百四實者，大方廣袤之中有四方。若據勾實而言，一方之中有實九，四實有三十六，減上一百，餘六十四，開之得八卽廣袤差。此是股弦差，減股弦并餘數。若據股實而言之，一方之中有實十六，四實有六十四，減上一百，餘三十六，開之得六卽廣袤差。此是勾股差，減勾弦并餘數也。鸞云：令自乘者，以七七自乘得四十九，四實者，大方勾股之中有四方，一方之中有方十二。四實者四十八，減上四十九，餘一也。開之，得一卽勾股。差一者，錯也。

注云：以差減合半，其餘爲廣。

臣鸞曰：以差一減合七，餘六，半之得三廣也。臣淳風等謹按注意，以差八、六各減合十，餘二四，半之，得一二，一卽股弦差，二卽勾弦差。以差減弦卽，各袤廣也。鸞云：以差一減合七，餘六，半之得三廣者，錯也。

注云減廣於弦，卽所求也。

臣鸞曰：以廣三減弦五卽，所求差二也。臣淳風等謹按注意，以廣一二各減弦五卽，所求股四勾三也。鸞云：以廣三減弦五卽，所求差二者，此錯也。周公曰：大哉！言數

心逹數術之意，故發大哉之數。請問用矩之道，

謂用表之宜，測望之法。

商高日：平矩以正繩，

以求繩之正，定平懸之體，將欲愼毫?之差，防千里之失。偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠。言施用無方，曲從其事，術在九章。環矩以爲圓，合矩以爲方。

旣以追尋情理，又可造製圓方，言矩之於物，無所不至。

方屬地，圓屬天，天圓地方，

物有圓方，數有竒耦。天動爲圓，其數竒；地靜爲方，其數耦。此配隂陽之義，非實天地之體也。天不可窮而見，地不可盡而觀，豈能定其圓方乎？又曰：北極之下高，人所居六萬里，滂沲四隤而下，天之中央亦高四旁六萬里。是爲形狀同歸而不殊塗，隆高齊耽而易以陳。故曰：天似葢笠，地法覆槃。

方數爲典，以方出圓。

夫體方則度影正，形圓則審實難。蓋方者有常，而圓者多變，故當制法而理之。理之法者，半周半徑相乘，則得方矣。又可周徑相乘，四而一；又可徑自乘，三之四而一；又可周自乘，十二而一。故圓出於方，

笠以寫天，

笠亦如葢，其形正圓，戴之所以象天。寫猶象也。言笠之體，象天之形。詩云：何簑何笠，此之義也。

天青黑，地黃赤，天數之爲笠也。青黑爲表，丹黃爲裏，以象天地之位。

旣象其形，又法其位，言相方?，不亦似乎。是故知地者智，知天者聖。言天之高大，地之廣遠，自非聖智，其孰能與於此乎？

智出於勾，

勾亦影也。察勾之損益，加物之高遠，故曰智出於勾。

勾出於矩，

矩謂之表，表不移亦爲勾，爲勾將正，故曰勾出於矩焉。

夫矩之於數，其裁制萬物，唯所爲耳。言包含幾微，轉通旋環也。

周公曰：善哉！

善哉！言明曉之意。所謂問一事而萬事逹。

昔者榮方問於陳子，

榮方，陳子，是周公之後人，非周?之本文。然此二人共相解釋，後之學者謂之章句，因從其?列於事下，又欲尊而遠之，故云昔者時世官號未之前聞。

曰：今者竊聞夫子之道，榮方問陳子，能述商高之㫖，明周公之道，知日之高大，

日去地與圓徑之術，

光之所照，

日旁照之所及也。

一日所行，

日行天之度也。

遠近之數，

冬至夏至，去人之遠近也。人所望見，

人目之所極也。

四極之窮，

日光之所遠也。

列星之宿，

二十八宿之度也。

天地之廣袤，

袤，長也。東西南北謂之廣長。

夫子之道，皆能知之，其信有之乎？而明察之，故不昧不疑。

陳子曰：然。

言可知也。

榮方曰：方雖不省，願夫子幸而說之，欲以不省之情而觀大雅之法。

今若方者，可教此道邪？

不能自料，訪之賢者。

陳子曰：然。

言可教也。此皆算術之所及，

言周?之法出於算術之妙也。

子之於算，足以知此矣。若誠累思之，累，重也。言若誠能重累思之，則逹至微之理。

於是榮方歸而思之，數日不能得，

雖濳心馳思，而才單智竭。

復見陳子曰：方思之不能得，敢請問之。陳子曰：思之未熟，

熟猶善也。此亦望遠起高之術，而子不能得，則子之於數，未能通?？

定高遠者，立兩表，望懸邈者施累矩。言未能通?求勾股之意，

是智有所不及，而神有所窮。

言不能通?？是情智有所不及，而神思有所窮滯。

夫道術言約而用博者，智?之明。夫道術，聖人之所以極深而研幾。唯深也，故能通天下之志；唯幾也，故能成天下之務，是以其言約，其㫖遠，故曰智?之明也。問一?而萬事逹者，謂之知道。

引而伸之，觸?而長之，天下之能事畢矣，故謂之知道也。

今子所學，

欲知天地之數，

算數之術，是用智矣，而尚有所難，是子之智?單？算術所包，尚以爲難，是子智?單盡夫道術，所以難通者旣？學矣，患其不博，不能廣博

旣？博矣，患其不習，

不能究習

旣？習矣，患其不能知，

不能知?？

故同術相學，

術教同者，則當學通?之意。同事相觀，

事?同者，觀其㫖趣之?。

此列士之愚智。

列猶别也。言視其術，鑒其學，則愚智者别矣，賢不肖之所分，

賢者逹於事物之理，不肖者闇於照察之情，至於役神馳思，聦明殊别矣。

是故能?以合?，此賢者業精習智之質也。學其倫?，觀其指歸，唯賢智精習者能之也。夫學同業而不能入神者，此不肖無智而業不能精習，

俱學道術，明不察，不能以?合?而長之，此心遊目蕩，義不入神也。

是故算不能精習。吾豈以道隱子哉？固復熟思之。凡教之道，不憤不啓，不悱不發。憤而悱之，然後啓發。旣不精思，又不學習，故言吾無隱也爾。固復熟思之，舉一隅使及之以三也。榮方復歸，思之數日，不能得。復見陳子曰：方思之以精熟矣，智有所不及，而神有所窮，知不能得，願終請說之。

自知不敏，避席而請說之。

陳子曰：復坐，吾語汝。於是榮方復坐而請陳子說之曰：夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿測影。

臣鸞曰：南戴日下，立八尺表，表影千里而差一寸，是則天上一寸，地下千里。今夏至影有一尺六寸，故其萬六千里。冬至影一丈三尺五寸，則知其十三萬五千里。此一者，天道之數。

言天道數一，悉以如此。

周?長八尺，夏至之日晷一尺六寸。晷，影也。此數望之，從周城之南千里也。而周官測影尺有六寸，盖出周城南千里也。記云：神州之土，方五千里，雖差一寸，不出畿地之分。先王知之實，故建王國。?者，股也。正晷者，勾也。

以?爲股，以影爲勾，股定然後可以度日之高遠。正晷者，日中之時節也。

正南千里，勾一尺五寸；正北千里，勾一尺七寸。候其影，使表相去二千里，影差二寸。將求日之高遠，故先見其表影之率。

日益表，南晷日益長。候勾六尺，

候其影，使長六尺者，欲令勾股相應，勾三、股四、弦五、勾六、股八、弦十卽。取竹空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日。以徑寸之空，視日之影，?長則大，矩短則小，正滿八尺也。捕猶索也，掩猶覆也。而日應空之孔

掩若重䂓。更言八尺者，舉其定也。又曰：近則大，遠則小，以影六尺爲正。

由此觀之，率八十寸而得徑一寸，以此爲日?之率。故以勾爲首，以髀爲股。

首猶始也，股猶末也。勾能制物之率，股能制勾之正，欲以爲緫見之數，立精理之本。明可以周萬事，智可以逹無方，所謂智出於勾，勾出於矩也。

從?至日下六萬里而?無影，從此以上至日，則八萬里。

臣鸞曰：求從?至日下六萬

里者，先置南表晷六尺上十之，爲六十寸，以兩表相去二千里乘，得十二萬里爲實，以影差二寸爲法除之，得日底地去表六萬里。求從?至日八萬里者，先置表高八尺上十之，爲八十寸，以兩表相去二千里乘之，得十六萬爲實，以影差二寸爲法除之，得從表端上至日八萬里也。若求邪至日者，以日下爲勾，日高爲股，勾、股各自乘并，而開方除之，得邪至日。從?所旁至日所十萬里

旁。此古邪字。求其數之術曰：以表南至日下六萬里爲勾，以日高八萬里爲股，爲之求弦、勾股各自乘并，而開方除之，即邪至日之所也。臣鸞曰：求從?邪至日所法，先置南至日底六萬里爲勾，重張自乘，得三十六億爲勾實，更置日高八萬里爲股，重張自乘得六十四億爲股實，并勾股實得一百億爲弦實。開方除之，得從王城至日十萬里。今有十萬里。問徑幾何？曰：一千二百五十里。八十寸而得徑一寸。以一寸乘十萬里爲實，八十寸爲法，即得。

以率率之，八十里得徑一里。十萬里得徑千二百五十里。

法當以空徑爲勾率，竹長爲股率，日去人爲大股，大股之勾即日徑也。其術以勾率乘大股，股率而一。此以八十里爲法，十萬里爲實。實如法而一，即得日徑，

故曰日晷徑千二百五十里。

臣鸞曰：求以率八十里得徑一里，十萬里得徑千二百五十里。法：先置竹孔徑一寸爲十里，爲勾。更置邪去曰十萬里爲股。以勾十里乘股十萬里，得一億爲實。更置日去地八萬里爲法，除實，得日晷徑千二百五十里，故云日晷徑也。

臣淳風等謹按：夏至王城望日立兩表，相去二千里，表高八尺，影去前表一尺五寸，去後表一尺七寸。舊術以前後影差二寸爲法，以前影寸數乘表間爲實。實如法得萬五千里，爲日下去南表里。又以表高八十寸乘表間爲實，實如法得八萬里，爲表上去日里。仍以表寸爲日高，影寸爲日下。待日漸高，候日影六尺，用之爲勾，以表爲股，爲之求弦，得十萬里，爲邪表數目。取管圓孔徑一寸，長八尺，望日滿筒以爲率，長八十寸爲一邪，去日十萬里，日徑即千二百五十里。以理推之，法云天之處心，高於外衡六萬里者，此乃語與術違。勾六尺，股八尺，弦十尺，角隅正方，自然之數，盖依繩水之定，施之於表矩。然則天無别體，用日以爲高下，術旣隨乎而遷，高下從何而出？語術相違，是爲大失。又按二表下地，依水平法定其高下。若北表地高，則以爲勾，以間爲弦，置其高數，其影乘之，其表除之，所得益股爲定間。若北表下者，亦置所下，以法乘除，所得以減股爲定間。又以高下之數與間相約，爲地高遠之率。求遠者，影乘定間差法而一，所得加表日之高也。求邪去地者，弦乘定間差法而一，所得加弦日邪去地。此三等至皆以日爲正。求日下地高下者，置戴日之遠近，地高下率乘之，如間率而一，所得爲日下地高下。形勢隆殺與表間同，可依此率。若形勢不等，非代所知，率日徑求日大小者，徑率乘間，如法而一，得日徑。此徑當即得，不待影長六尺。凡度日者，先須定二矩。水平者，影南北立勾，齊高四尺，相去一丈，以二弦候牽于勾上，并率二則，擬爲候影。勾上立表，弦下望日，前一則上畔，後一則下畔，引則就影合，與表日參直。二至前後三四日間，影不移處，即是。當以候表亦望人取一影，亦可。日徑影端，表頭爲則。然地有高下，表望不同，後六術乃窮其實。　第一，後高前下術，高爲勾，表間爲弦，後復影爲所求率，表爲有所率，以勾爲所有數，所得益股爲定間。　第二後下術，以其所下爲勾表，間爲弦，置其所下，以影乘表，除所得減股，餘爲定間。第三邪下術，依其北高之率，高其勾影，合與地勢隆殺相似。餘同平法。假令?邪下而南，其邪亦同，不須别望，但弦短與勾股不得相應，其南里數，亦隨地勢，不得校乎平則促。若用此術，但得南望。若北望者，即用勾照南下之術，當北高之地。　第四邪上術，依其後下之率，下其勾影，此謂?望北極以爲高逺者，望去取差，亦同南望。此術弦長亦與勾股不得相應，唯得北望，不得南望。若南望者，即用勾影北高之術。第五平術，不論高下，周?度日，用此平術，故東西南北四望皆通，遠近一差，不須别術。　第六術者，是外衡，其徑云四十七萬六千里，半之得二十三萬八千里者，是外衡去天心之處，心高於外衡六萬里爲率，南行二十三萬八千里，下校六萬里約之，得南行一百一十九里，下校三十里，一百一十九歩差下三十歩□三十歩大强差下十歩。以此爲准，則不合有平地，地旣平，而用術尤乖理驗。且自古論晷影差變，毎有不同，今略其梗槩，取其推歩之要。尚書攷靈曜云：日永影尺五寸，日短一十三尺，日正南千里而減一寸。張衡靈憲云：懸天之晷，薄地之儀，皆移千里而差一寸。鄭玄註周禮云：凡日影於地，千里而差一寸。王蕃、姜岌因此爲說。按前諸說，是數並同，其言更出書，非直有此，以事考量，恐非實矣。謹按宋元嘉十九年歳在壬午，遣使徃交州度日影，夏至之日，影在表南三寸二分。太康地理志，交趾去洛陽一萬一千里，陽城去洛陽一百八十里，交趾西南望陽城，洛陽在其東南。較而言之，令陽城去交趾近，於洛陽去交趾一百八十里，則交趾去陽城一萬八百二十里，而影差尺有八寸二分，是六百里而影差一寸也。况復人路迂?，羊腸曲折，方於鳥道，所較彌多。以事驗之，又未盈五百里而差一寸。眀矣千里之言，固非實也。何承天又云：詔以土圭測影，考校二至，□三日有餘，從來積歳及交州所上，驗其增減，亦相符合。此則影差之驗也。周禮大司徒職曰：夏至之影，尺有五寸。馬融以爲洛陽，鄭玄以爲陽城。尚書攷靈曜：日永影一尺五寸。鄭玄以爲陽城日短十三尺。易緯通卦驗：夏至影尺有四寸八分，冬至一丈三尺。劉向洪範傳：夏至影一尺五寸八分。是時漢都長安，而向不言測影處所。若在長安，則非晷影之正也。夏至影長一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。向又云：春秋分長七尺三寸六分。此即緫是虗妄。後漢曆志：夏至影一尺五寸。後漢洛陽冬至一丈三尺。自梁天監巳前，並同此數。魏景?夏至影一尺五寸。魏?都許昌，與頴川相近。後都洛陽，又在地中之數。但易緯因漢曆舊影，似不别影之。冬至一丈三尺。晉姜岌影一尺五寸。宋都建康，在江表，驗影之數，遥取陽城冬至一丈三尺。宋大明祖冲之曆夏至影一尺五寸。宋都秣陵，遥取影同前，冬至一丈三尺。後魏信都芳注周?四術云：按永平元年戊子，是梁天監之七年也。見洛陽測影。又見公孫崇集諸朝士共觀祕書影，同是夏至之日。以八尺之表測日中影皆長一尺五寸八分。雖無六尺，近六寸。梁武帝大同十年，太史令虞鄺以九尺表於江左建康測夏至日中影長一尺三寸二分。以八尺表測之，影長一尺一寸七分强。冬至一丈三尺七分。八尺表影長一丈一尺六寸二分弱。隋開皇元年冬至，影長一丈二尺七寸二分。開皇二年夏至，影一尺四寸八分。冬至，長安測；夏至，洛陽測及王邵隋靈感志，冬至一丈二尺七寸二分，長安測也。開皇四年夏至，一尺四寸八分，洛陽測也。冬至一丈二尺八寸八分，洛陽測也。大唐正觀二年己五五月二十三日癸亥夏至，中影一尺四寸六分，長安測也。十一月二十九丙寅冬至，中影一丈二尺六寸三分，長安測也。按漢、魏及隋所記，夏至中影，或長短齊其盈縮之中，則夏至之影尺有五寸，爲近定實矣。以周官推之，洛陽爲所交會，則冬至一丈二尺五寸亦爲近矣。按梁武帝都金陵云，洛陽南北大較千里，以尺表令其有九尺影。則大同十年江左八尺表，夏至中影長一尺一寸七分。若是爲夏至八尺表，千里而差一寸弱矣。此推驗卽是夏至影差，降升不同，南北逺近，數亦有異。若以一等永定，恐皆乖理之實。日高圖日高圖注：

趙君卿曰：黃甲與黃乙，其實正等。以表高乘兩表相去爲黃甲之實，以影差爲黃甲之廣而一，所得則變得黃甲之袤，上與日齊。按圖當加表高，今言八萬里者，從表以上復加之。青丙與青已，其實亦等。黃甲與青丙相連，黃乙與青已相連，其實亦等。皆以影差爲廣。臣鸞曰：求日高法，先置表高八尺爲八萬里爲袤，以相兩表相去二千里爲廣，乘袤八萬里，得一億六千萬里，爲黃甲之實。以影差二寸爲二千里爲法，除之，得黃乙之袤八萬里。卽上與日齊。此言王城去天，名曰甲，日底地上至日名曰乙。上天名青丙，下地名青戊。據影六尺。王城上天南至日六萬里，王城南至日底地亦六萬里，是上下等數。日夏至南萬六千里者，立表八尺，於王城影一尺六寸，影寸千里，故王城去夏至日底地萬六千里也。法曰：周?長八尺，勾之損益寸千里。勾謂影也。言懸天之影，薄地之儀，皆千里而差一寸。

故曰極者，天廣袤也。

言極之遠近有定，則天廣長可知。今立表高八尺以望極，其勾一丈三寸。由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下，謂冬至日加卯酉之時，若春秋分之夜半，極南兩旁與天中齊，故以爲周去天中之數。榮方曰：周?者何？

陳子曰：古時天子治周。古時天子，謂周成王時以治周居王城。故曰：昔先王之經邑，奄觀九隩，靡地不營，土圭測影，不縮不盈，當風雨之所交，然後可以建王城。此之謂也。

此數望之從周，故曰周?。

言周都河南，爲四方之中，故以爲望主也。?者，表也，

用其行事，故曰?。由此捕望，故曰表。影爲勾，故曰勾股也。

日夏至，南萬六千里。日冬至，南十三萬五千里，日中無影。以此觀之，從南至夏至之日中，十一萬九千里。

諸言極者，斥天之中極去周十萬三千里，亦謂極與天中齊時，更加南萬六千里是也。北至其夜半亦然。

日極在極北，正等也。

凡徑二十三萬八千里，并南北之數也。

此夏至日道之徑也。

其徑者，圓中之直者也。

其周七十一萬四千里。

周，匝也。謂天戴日行，其數，以三乘徑。臣鸞曰：求夏至日道徑法，列夏至日去天中心十一萬九千里，夏至夜一日亦去天中心十一萬九千里，并之，得夏至日道徑二十三萬八千里。三乘徑，得周七十一萬四千里也。

從夏至之日中至冬至之日中，十一萬九千里。冬至日中去周十三萬五千里，除夏至日中，去周一萬六千里是也。

北至極下亦然。則從極南至冬至之日中，二十三萬八千里。從極北至其夜半亦然，凡徑四十七萬六千里。此冬至日道徑也。其周百四十二萬八千里。從春秋分之日中，北至極下。十七萬八千五百里。春秋之日影七尺五寸五分。加望極之勾一丈三寸。

臣鸞曰：求冬至日道徑法，列夏至去冬至日中十一萬九千里，從夏至日道北徑亦十一萬九千里，併之，得冬至日中北極下二十三萬八千里，從極至夜半亦二十三萬八千里。并之，得冬至道徑四十七萬六千里。以三乘徑，卽冬至日道周一百四十二萬八千里。從極下北至其夜半亦然。凡徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里。故日月之道常縁宿，日道亦與宿正，

内衡之南，外衡之北，圓而成規，以爲黃道，二十八宿列焉。日之行也，一出一入，或表或裏。五月二十三分月之二十一道一交，謂之合朔、交會及月蝕相去之數，故曰縁宿也。日行黃道，以宿爲正，故曰宿正於中衡之數與黃道等。臣鸞曰：求春秋分日道法，列春秋分日中，北至極下十七萬八千五百里，從北極北至其夜半亦然。并之，得春、秋分日道徑三十五萬七千里。以三乘徑，卽日道周一百七萬一千里。求黃道徑法：列從北極南至夏至日中一十一萬九千里，以從極北去冬至夜半二十三萬八千里并之，得黃道三十五萬七千里，從極南至冬至日，北至夏至日夜半，亦黃道徑也。以三乘徑周，得一百七萬一千里也。

南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里。

此皆黃道之數，與中衡等。

春分之日夜分，以至秋分之日夜分，極下常有日光。

春秋分者，晝夜等。春分至秋分，日内近極，故日光照及也。秋分之日，夜分以至春分之日，夜分，極下常無日光。

秋分至春分，日外遠極，故日光照不及也。故春秋分之日，夜分之時，日所照適至極，隂陽之分等也。冬至、夏至者，日道?歛之所生也。至，晝夜長短之所極。

發，猶往也。歛，猶還也。極，終也。

春秋分者，隂陽之修，晝夜之象。

修，長也。言隂陽長短之等。晝者陽，夜者隂，

以明暗之差爲隂陽之象。

春分以至秋分，晝之象，

北極下見日光也。日永主物生，故象晝也。秋分至春分，夜之象，

北極下不見日光也。日短主物死，故象夜也。故春秋分之日中，光之所照，北極下，夜半日光之所照，亦南至極，此日夜分之時也。故曰日照四旁，各十六萬七千里。至極者，謂璇璣之際，爲陽絶隂障，以日之時，而日光有所不逮，故知日旁照十六萬七千里，不及天中一萬一千五百里也。

人望所見遠近，宜如日光所照。日近我一十六萬七千里之内，及我，我自見日，故爲日出。日遠我十六萬七千里之外，日則不見我，我亦不見日，故爲日入。是爲日與目見於十六萬七千里之中，故曰逺近，宜如日光之所照也。從周所望見，北過極六萬四千里。自此以下，諸言減者，皆置日光之所照，若人目之所見十六萬七千里以除之，此除極至周十萬三千里。

臣鸞曰：求從周所望見北過極六萬四千里法，列人目所極十六萬七千里，以王城

周去極十萬三千里減之，餘六萬四千里，卽人望過極之數也。

南過冬至之日三萬二千里，除冬至日中，去周十三萬五千里。臣鸞曰：求冬至日中三萬二千里法，列人目所極十六萬七千里，以冬至日中去王城十三萬五千里減之，餘卽，過冬至日中三萬二千里也。

夏至之日中光南過冬至之日中光四萬八千里，除冬至之日中，相去十一萬九千里。臣鸞曰：求夏至日中光南過冬至日中光四萬八千里法，列日高照十六萬七千里，以冬夏至日中相去一十一萬九千里減之，餘卽南過冬至之日中光四萬八千里，南過人所望見一萬六千里，

夏至日中去周萬六千里。

臣鸞曰：求夏至日中光南過，人所望見萬六千里。法列王城去夏至日中光南過，人所望見萬六千里，加日光所及十六萬七千里，得十八萬三千里，以人目所極十六萬七千里減之，餘卽南。過人目所望見一萬六千里也。

北過周十五萬一千里，

除周夏至之日中一萬六千里。

臣鸞曰：求夏至日中光北過周十五萬一千里法，列日光所及十六萬七千里，以王城去夏至日中一萬六千里減之，餘卽北過周十五萬一千里，

北過極四萬八千里，除極去夏至之日十一萬九千里。臣鸞曰：求夏至日中光北過極四萬八千里法，列日光所及十六萬七千里，以北極去夏至夜半十一萬九千里減之，餘卽北過極四萬八千里也。

冬至之夜半，日光南不至，人所見七千里。倍日光所照里數，以減冬至日道徑四十七萬六千里。又除冬至日中，去周十三萬五千里。臣鸞曰：求冬至夜半日光南不至，人目所見七千里法，列日光十六萬七千里，倍之，得三十三萬四千里，以減冬至日道徑四十七萬六千里，餘十四萬二千里。復以冬至日中去周十三萬五千里減之，餘即不至，人目所見七千里。

不至極下七萬一千里。

從極至夜半，除所照十六萬七千里。臣鸞曰：求冬至日光不至極下七萬一千里法，列冬至夜半去極二十三萬八千里，以日光一十六萬七千里減之，餘卽不至極下七萬一千里。

夏至之日中，與夜半日光九萬六千里過極相接，倍日光所照，以夏至日道徑減之，餘卽相接之數。

臣鸞曰：求夏至日中日光與夜半相接九萬六千里。法列倍日光所照十六萬七千里，得徑三十三萬四千里。以夏至日過徑二十三萬八千里減之，餘卽日光相接九萬六千里也。

冬至之日中，與夜半日光不相及十四萬二千里，不至極下七萬一千里。

倍日光所照，以減冬至日道徑，餘卽不相及之數，半之，卽各不至極下。

臣鸞曰：求冬至日光與夜半日不及十四萬二千里，不至極下七萬一千里。法列冬至日道徑四十七萬六千里，以倍日光所照三十三萬四千里減之，餘卽日光不相及十四萬二千里，半之，卽不至極下七萬一千里也。

夏至之日，正東西望直周，東西，日下至周五萬九千五百九十八里半。

求之術，以夏至日道徑二十三萬八千里爲弦，倍極去周十萬三千里，得二十萬六千里，爲股，爲之求勾。以股自乘，減弦自乘，其餘，開方除之，得勾一十一萬九千一百九十七里有竒，半之，各得周半數。

臣鸞曰：求夏至日正東西去周法，列夏至道徑二十三萬八千里爲弦，自相乘，得五百六十六億四千四百萬爲弦實。更置極去周十萬三千里倍之，爲二十萬六千里，爲股重張。自相乘，得四百二十四億三千六百萬爲股實。以減弦實，餘一百四十二億八百萬，卽勾實。以開方除之，得正東西去周一十一萬九千一百九十七里二十三萬八千三百九十五分里之七萬五千一百九十一半之卽周，東西各五萬九千五百九十八里半。經曰：竒者，分也。若求分者，倍分母得四十七萬六千七百九十，卽一方得五萬九千五百九十八里半，四十七萬六千七百九十分里之七萬五千一百九十一。本經無所餘算之次因而演之也。冬至之日正東西方，不見日。

正東西方者，周之卯酉，日在十六萬七千里之外，不見日。

以算求之，日下至周二十一萬四千五百五十七里半

求之術，以冬至日道徑四十七萬六千里爲弦，倍極之，去周十萬三千里，得二十萬六十里爲勾，爲之求股。勾自乘減弦之自乘，其餘開方除之，得四十二萬九千一百一十五里有竒，半之，各得東西數。

臣鸞曰：求冬至正東西方，不見日法。列冬至日道徑四十七萬六千里爲弦，重張相乘得二千二百六十五億七千六百萬里爲弦實。更列極去周十萬三千里，倍之，得二十萬六千里爲勾，重張相乘得四百二十四億三千六百萬，以減弦實，餘一千八百四十一億四十萬卽股實。開方除之，得周直東西四十二萬九千一百一十五里八十五萬八千二百三十一分里之三十一萬六千七百七十五半。卽周，一方去日二十一萬四千五百五十七里半。亦倍分母，得一百七十一萬六千四百六十二分里之三十一萬六千七百七十五。凡此數者，日道之發歛。

凡此上周徑之數者，日道徃還之所至，晝夜長短之所極。

冬至、夏至，觀律之數，聽鐘之音。觀律數之生，聽鐘音之變，知寒暑之極，明代序之化也。

冬至晝，夏至夜，

冬至晝夜日道徑。半之，得夏至晝夜日道徑法。置冬至日道徑四十七萬六千，半之，得夏至日中，去夏至夜半二十三萬八千里。以四極之里也

差數及日光所還觀之。

以差數之所及，日光所還，以此觀之，則四極之窮也。

四極徑八十一萬里，

從極南至冬至日中二十三萬八千里。又日光所照十六萬七千里，凡徑四十萬五千里，北至其夜半亦然，故日徑八十一萬里。八十一者，陽數之終，日之所極。

臣鸞曰：求四極徑八十一萬里法，列冬至日中去極二十三萬八千里，復加冬至日光所極十六萬七千里，得四十萬五千里，北至其夜半亦然。并南北卽，是大徑八十一萬里，

周二百四十三萬里。

三乘徑卽周

臣鸞曰：以三乘八十一萬里，得周二百四十三萬。自此以外，日所不及也。

從周至南，日照處三十萬二千里半徑除

周去極十萬三千里臣鸞曰：求周南三十萬二千里法，列半徑四十萬五千，以王城去極十萬三千里減之，餘卽周南至日照處三十萬二千里，周北至日照處五十萬八千里，

半徑，加

周去極十萬三千里臣鸞曰：求周去冬至夜半日北極照處五十萬八千里法，列半道徑四十萬五千里，加周夜半去極十萬三千里，得冬至夜半北極照去周五十萬八千里，

東西各三十九萬一千六百八十三里半。求之術，以徑八十一萬里爲弦，倍去周十萬三千里，得二十萬六千里，爲勾，爲之求股，得七十八萬三千三百六十七里有竒。半之，各得東西之數。

臣鸞曰：求東西各三十九萬一千六百八十三里半法，列徑八十一萬里，重張自乘，得六千五百六十一億爲弦實。更置倍周去北極二十萬六千里爲勾，重張自乘，得四百二十四億三千六百萬，以減弦實，餘六千一百三十六億六千四百萬。卽股實。以開方除之，得股七十八萬三千三百六十七里一百五十六萬六千七百三十五分里之十四萬三千三百一十一。半之卽，得去周三十九萬一千六百八十三里半。分母亦倍之，得三百一十三萬三千四百七十分里之十四萬三千三百一十一也。周在天中南十萬三千里，故東西矩中徑二萬六千六百三十二里有竒，求矩中徑二萬六千六百三十二里，有竒法。列八十一萬里，以周東西七十八萬三千三百六十七里有竒減之，餘卽矩中徑之數。臣鸞曰：求矩中徑二萬六千六百三十二里，有竒法。列八十一萬里，以周東西七十八萬三千三百六十七里，有竒減之，餘二萬六千六百三十三里。取一里，破爲一百五十六萬六千七百三十五分，減一十四萬三千三百一十一，餘一百四十二萬三千四百二十四。卽徑東西矩二萬六千六百三十二里一百五十六萬六千七百三十五分里之一百四十二萬三千四百二十四。

周北五十萬八千里。冬至日十三萬五千里，冬至日道徑四十七萬六千里，周一百四十二萬八千里。日光四極，當周東西各三十九萬一千六百八十三里有竒。

此方圓之法。此言求圓於方之法。萬物周事。而圓方用焉。大匠造制。而䂓矩設焉。或毁方而爲圓。或破圓而爲方。方中爲圓者。謂之圓方。圓中爲方者。謂之方圓也。七衡圖註。

趙君卿曰。靑圖畫者。天地合際。人目所遠者也。天至高。地至卑。非合也。人目極觀而天地合也。日入青圖畫内。謂之日出。出青圖畫外。謂之日入。青圖畫之内外皆天也。北辰正居天中之央。人所謂東西南北者。非有常處。各以日出之處爲東。日中爲南。日入爲西。日没爲北。北辰之下。六月見日。六月不見日。從春分至秋分，六月常見日，從秋分至春分，六月常不見日。見日爲晝，不見日爲夜。所謂一歳者，卽，北辰之下，一晝一夜。黃圖畫者，黃道也，二十八宿列焉，日月星辰?焉。使青圖在上不動，貫其極而轉之，卽交矣。我之所在，北辰之南，非天地之中也。我之卯酉，非天地之卯酉。内第一夏至日道也，出第四春秋分日道也；外第七冬至日道也。皆隨黃道日。冬至在牽牛，春分在婁，夏至在東井，秋分在角。冬至從南而北，夏至從北而南，終而復始也。凡爲此圖，以丈爲尺，以尺爲寸，以寸爲分，分一千里，凡用繒方八尺一寸。今用繒方四尺五分，分爲二千里，

方爲四極之圖，盡七衡之意。

吕氏曰：凡四海之内，東西二萬八千里，南北二萬六千里。

吕氏，秦相吕不韋作吕氏春秋。此之義在有始第一篇，非周?本文。爾雅云：九夷八，狄七，戎、六蠻，謂之四海。言東西南北之數者，將以明車轍馬跡之所至。河圖括地象云：而有君長之州九，阻中國之文德，及而不治。又云：八極之廣，東西二億二萬三千五百里，南北二億三萬三千五百里。淮南子地形訓云：禹使大章歩自東極，至于西極，孺亥歩自北極至于南極。而數皆然。或其廣濶。將焉可歩矣。亦後學之徒未之或知也。夫言億者。十萬曰億也。

凡爲日月運行之圓周。春秋分。冬夏至。璿璣之運也。

七衡周而六間。以當六月節。六月爲百八十二日八分日之五

節。六月者。從冬至至夏至，日百八十二日八分日之五，爲半歲。六月節者，謂中氣也，不盡其日也。此日周天通四分一之倍法，四以除之，卽得也。

臣鸞曰：求七衡周而六間，以當六月節。六月爲一百八十二日八分日之五，此爲半歲也。列周天三百六十五日四分日之一，通分内子，得一千四百六十一爲實，倍分母四爲八，除實，得半歲一百八十二日八分日之五也。

故日夏至在東井極内衡，日冬至在牽牛極外衡也。

東井、牽牛爲長短之限，内外之極也。衡復更終冬至。

冬至日從外衡還黃道，一周年，復於故衡終於冬至。

故曰，一歲三百六十五日四分日之一，一歲一内極一外極。

從冬至一内極及一外極，度終於星，月窮於次，是爲一歲

三十日十六分日之七。月一外極一内極。欲分一歲爲十二月，一衡間當一月。此舉中相去之日數。以此言之，月行二十九日九百四十分日之四百九十九。則過周天一日。而與月合宿。論其入内外之極。六歸粗通。未心得也。日光言内極。月光言外極。日陽從冬至起。月隂從夏至起。往來之始。易曰。日徃則月來。月往則日來。此之謂也。此數置一百八十二日八分日之五，通分内子五，以六間乘分母以除之，得三十。以三約法得十六，約餘得七。臣鸞曰：求三十日十六分日之七法，列半歲一百八十二日八分日之五，通分内子得一千四百六十一爲實。以六間乘分母八得四十八，除實得三十日，不盡二十一，更置法，實求等數，平於三，即以約法得十六，約餘得七，即是從中氣相去三十日十六分日之七也。

是故　衡之間萬九千八百三十三里三分里之一，卽爲百歩。

此數夏至冬至相去十一萬九千里，以六間除之得矣。法與餘分皆半之。臣鸞曰：求一衡之間一萬九千八百三十三里三分里之一。法置冬至、夏至相去十一萬九千里，以六間除之卽得法與餘分，半之得也。

欲知次衡徑倍而增内衡之徑。

倍一衡間數以増内衡，

二之，以增内衡徑。

二乘所倍一衡之間數，以増内衡徑。卽，得三衡徑。次衡放此。

次至皆如數。

内一衡徑二十三萬八千里，周七十一萬四千里。分爲三百六十五度四分度之一。度得一千九百五十四里二百四十七歩千四百六十一分歩之九百三十三。

通周天四分之一爲法。又以四乘衡周爲實。實如法得一百歩，不滿法者十之，如法得十歩，不滿法者十之，如法得一歩，不滿者以法命之。至七衡皆如此。

臣鸞曰：求内衡度法，置夏至徑二十三萬八千里，以三乘之，得内外衡周七十一萬四千里。以周天分母四乘内衡周，得二百八十五萬六千里爲實。以周天分一千四百六十一爲法，除之，得一千九百五十四里。不盡一千二百六，卽而三之，爲三千六百十八。以法除之，得二百歩，不盡六百九十六歩，上十之，如法而得四十歩，不盡一千一百一十六，復上十之，如法而一，得七歩，不盡九百三十三卽，是一千九百五十四里二百四十七歩一千四百六十一分歩之九百三十三。

次二衡徑二十七萬七千六百六十六里二百歩，周八十三萬三千里。分里爲度，度得二千二百八十里百八十八歩千四百六十一分歩之千三百三十二。

通周天四分之一爲法。四乘衡周爲實。實如法得里數。不滿者求歩數，不盡者命分。臣鸞曰：求第二衡法，列一衡間一萬九千八百三十三里少半里，倍之，得三萬九千六百六十六里太半里。増

內衡徑二十三萬八千里，得第二。衡徑二十七萬七千六百六十六里二百歩，是三分里之二。又以三乘之，歩滿三百成一里，得二。衡周八十三萬三千里。以周天分母四乘周，得三百三十三萬二千爲實。更置周天三百六十五度四分度之一，通分内子得一千四百六十一爲法，除之得二千二百八十里，不盡九百二十，以三百乘之，得二十七萬六千，復以前法除之，得一百八十八歩，不盡一千三百三十二，卽是度得二千二百八十里一百八十八歩一千四百六十一分歩之一千三百三十二。

次三衡徑，三十一萬七千三百三十三里一百歩。周九十五萬二千里分爲度。度得二千六百六里百三十歩千四百六十一分歩之二百七十。通周天四分之一爲法。四乘衡周爲實。實如法得里數。不滿法者，求歩數，不盡者，命分。臣鸞曰：求第三衡法，列倍一衡間，得三萬九千六百六十六里三分里之二，增第二衡徑二十七萬七千里六百六十六里二百歩。卽三分里之二，得第三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百歩。以三乘徑歩，歩滿三百成里，得周九十五萬二千里。又以分母四乘周，得三百八十萬八千爲實，以周天分一千四百六十一爲法，以除實，得二千六百六里。不盡六百三十四，以三百乘之，以法除之，得一百三十歩，不盡二百七十，卽是度，得二千六百六里一百三十歩一千四百六十一分歩之二百七十。

次四衡徑三十五萬七千里，周一百七萬一千里，分爲度。度得二千九百三十二里七十一歩千四百一十分歩之六百六十九。通周天四分之一爲法。四乘衡周爲實。實如法得里數。不滿法者，求歩數。不盡者，命分。臣鸞曰：求第四衡法，列倍一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二，増第三衡徑三十一萬七千三百三十三里一百歩歩，滿三百成里，得徑三十五萬七千里。以三乘之，得周一百七萬一千里。以分母乘之，得四百二十八萬四千里爲實。以周天分一千四百六十一除之，得二千九百三十二里。不盡三百四十八，以三百乘之，以法除之，得七十一歩，不盡六百六十九。卽是度，得二千九百三十二里七十一歩一千四百六十一分歩之六百六十九。

次五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百歩，周一百一十九萬里。分爲度，度得三千二百五十八里十二歩千四百六十一分歩之千六十八。

通周天四分之一爲法。四乘衡周爲實。實如法得里數。不滿法者求歩數，不盡者命分。臣鸞曰：求第五衡法，列倍第一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二，増第四衡徑三十五萬七千里，滿三百成里，得第五衡徑三十九萬六千六百六十六里二百歩。以三分乘徑，得周一百一十九萬里。又以分母四乘周，得四百七十六萬爲實，以周天分一千四百六十一爲法，除之得三千二百五十八里，不盡六十二，以三百乘之，以法除之，得十二歩，不盡一千六十八，卽是度，得三千二百五十八里十二歩一千四百六十一分歩之一千六十八。

次六衡徑，四十三萬六千三百三十三里一百歩。周一百三十萬九千里。分爲度，度得三千五百八十三里二百五十四歩千四百六十一分歩之六。通周天四分之一爲法。四乘衡周爲實。實如法得一里。不滿法者求歩，不盡者命分。臣鸞曰：求第六衡法，列倍第一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二，以増第五衡徑三十九萬六千六百六十六里一百歩。又三乘徑，得周一百三十萬九千里。又以分母四乘周，得五百二十三萬六千爲實，以周天分一千四百六十一爲法除之，得三千五百八十三里。不盡一千二百三十七。以三百乘之，以法除之，得二百五十四歩，不盡六卽是度，得三千五百八十三里二百五十四歩一千四百六十一分歩之六。

次七衡徑四十七萬六千里，周一百四十二萬八千里。分爲度，得三千九百九里一百九十五歩千四百六十一分歩之四百五。通周天四分之一爲法。四乘衡周爲實。實如法得里數。不滿法者，求歩數，不盡者，命分。臣鸞曰：求第七衡法，列倍第一衡間三萬九千六百六十六里三分里之二，増第六衡徑四十三萬六千三百三十三里一百歩，得第七衡徑四十七萬六十里。以三乘之，得周一百四十二萬八千里。以分母四乘之，得五日七十一萬二千爲實，以周天分一千四百六十一爲法，除之，得三千九百九里，不盡九百五十一。又以三百乘之，所得以法一千四百六十一除之，得一百九十五歩，不盡四百五。卽是度得三千九百九里一百九十五歩一千四百六十一分歩之四百五。

其次曰冬至所北照，過北衡十六萬七千里。冬至十一月，日在牽牛，徑在北方，因其在北，故言照過北衡，

爲徑八十一萬里。

倍所照，増七衡徑

周二百四十三萬里。三乘倍増七衡周

分爲三百六十五度四分度之一。度得六千六百五十二里二百九十三歩千四百六十一分歩之三百二十七。過此而徃者，未之或知。過八十一萬里之外，

或知者，或疑其可知，或疑其難知。此言上聖不學而知之。

上聖者，智無不至，明無不見。攷靈曜曰：微式出冥，唯審其形。此之謂也。故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸，冬至日晷長，夏至日晷短。日晷損益，寸差千里。故冬至、夏至之日，南北遊十一萬九千里，四極徑八十一萬里，周二百四十三萬里。分爲度，度得六千六百五十二里二百九十三歩千四百六十一分歩之三百二十七。此度之相去也。臣鸞曰：求冬至日所北照十六萬七千里，并南北日光，得三十三萬四千里。増冬至日道徑四十七萬六千里，得八十一萬里，三之，得周二百四十三萬。以周天分母四乘之，得九百七十二萬里爲實，以周天分一千四百六十一爲法，除之，得六千六百五十二里，不盡一千四百二十八，以三百乘之，得四十三萬八千四百，復以法除之，得二百九十三歩，不盡三百二十七，卽是度，得六千六百五十二里二百九十三歩一千四百六十一分歩之三百二十七。

其南北游日，六百五十一里一百八十二歩一千四百六十一分歩之七百九十八。

術曰：置十一萬九千里爲實，以半歳一百八十二日八分日之五爲法。

半歳考從外衡去内衡以爲法。除相去之數，得一日所行也，

而通之。

通之者，數不合齊，以法等，得相通入。以八乘也，得九十五萬二千爲實。通十一萬九千里，

所得一千四百六十一爲法。除之，通百八十二日八分日之五也。

實如法得一里，不滿法者三之，如法得百歩。一里三百歩。當以三百乘而言之。三之者，不欲轉法，便以一位爲百實，故從一位命爲百。不滿法者十之，如法得十歩。

上下用三百乘，故此十之，便以位爲十實，故從一位命爲十，不滿法者十之，如法得一歩。

復十之者，但以一位爲實，故從一位命爲一，不滿法者以法命之，

位盡於一歩，故以法命其餘分爲殘歩。臣鸞曰：求南北游法，置冬至十一萬九千里，以半歲日分母八乘之，得九十五萬二千爲實。通半歳一百八十二日八分日之五，得一千四百六十一，以除，得六百五十一里，不盡八百八十九，以三百乘之，得二十六萬六千七百，復以法除之，得一百八十二歩，不盡七百九十八卽，得日。南北遊日六百五十一里一百八十二歩一千四百六十一分歩之七百九十八。

周?算經卷上。