荅劉伯宗問朱子壺說書

荅劉伯宗問朱子壺說書

投壼經言壼頸修七寸，腹修五寸，口徑二寸半，容斗五升。鄭注：腹容斗五升，三分益一則爲二斗，積三百二十四寸。以腹修五寸約之，所得求其圜周，得二尺七寸有竒，是爲腹徑九寸有餘也。按：鄭氏此說，皆整數二斗之積也。肰以二斗之積四分去一，則與經文斗五升合矣，故朱子欲去二斗，虛加之數是也。其實斗五升之積爲二百四十三寸，以腹修五寸約之，五取一焉，得四十八寸六分卽圜積也。圜積求徑三歸四，因開方之，是爲腹徑八寸，四?有竒。圓積求周十二，因開方之，是爲圜周二尺四寸一分，四?有竒。若鄭氏三分益一，以爲二斗方積六十四寸八分旣有虛加之數，則當用圓田法。卽以六十四寸八分者，開方之徑，得八寸四?，竒三因於徑周，得二尺四寸一四，亦如前法。

朱子以積求徑之法，謂廣六十四寸八分，此六十四寸者自爲正方，又取其八分者割裂而加於正方之外，則四靣各得二?五毫之數，徑爲八寸五?，此則朱子不明筭法，而不自知其誤也。夫正方六十四寸，則一靣得八寸，試割二分加之，毎寸得二?五毫，四靣皆然，則八分者無餘矣。而四角各缺方二?五毫，將何以補之哉。故開方之術，中間正方謂之方法，正方之外割裂而加之者，謂之亷㳒。補之於角者，謂之隅法。有亷則必有隅。朱子所言有亷而無隅，零星補凑，愈宻而愈疏矣。是故六十四寸八分，開方八寸四?，有竒而不可以爲八寸五?也。今爲圖如左，