荅刘伯宗问朱子壶说书

荅刘伯宗问朱子壶说书

投壸经言壸颈修七寸，腹修五寸，口径二寸半，容斗五升。郑注：腹容斗五升，三分益一则为二斗，积三百二十四寸。以腹修五寸约之，所得求其圜周，得二尺七寸有竒，是为腹径九寸有余也。按：郑氏此说，皆整数二斗之积也。肰以二斗之积四分去一，则与经文斗五升合矣，故朱子欲去二斗，虚加之数是也。其实斗五升之积为二百四十三寸，以腹修五寸约之，五取一焉，得四十八寸六分即圜积也。圜积求径三归四，因开方之，是为腹径八寸，四?有竒。圆积求周十二，因开方之，是为圜周二尺四寸一分，四?有竒。若郑氏三分益一，以为二斗方积六十四寸八分既有虚加之数，则当用圆田法。即以六十四寸八分者，开方之径，得八寸四?，竒三因于径周，得二尺四寸一四，亦如前法。

朱子以积求径之法，谓广六十四寸八分，此六十四寸者自为正方，又取其八分者割裂而加于正方之外，则四靣各得二?五毫之数，径为八寸五?，此则朱子不明筭法，而不自知其误也。夫正方六十四寸，则一靣得八寸，试割二分加之，毎寸得二?五毫，四靣皆然，则八分者无余矣。而四角各缺方二?五毫，将何以补之哉。故开方之术，中间正方谓之方法，正方之外割裂而加之者，谓之亷㳒。补之于角者，谓之隅法。有亷则必有隅。朱子所言有亷而无隅，零星补凑，愈宻而愈疏矣。是故六十四寸八分，开方八寸四?，有竒而不可以为八寸五?也。今为图如左，