从电影《蝴蝶效应》中学习回溯算法的核心思想-轻识

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深度优先搜索算法利用的是回溯算法思想。这个算法思想非常简单，但应用却非常广泛。它除用来指导像深度优先搜索这种经典的算法设计之外，还可以用在很多实际的软件开发场景中，如正则表达式匹配、编译原理中的语法分析等。除此之外，很多经典的数学问题也可以用回溯算法解决，如数独、八皇后、0-1背包、图的着色、旅行商、求全排列等。在本文，我们就来学习一下回溯算法思想。

— 01 —

如何理解回溯算法

在我们的一生中，会遇到很多重要的“岔路口”。在人生的岔路口，每个选择都会影响我们今后的人生。有的人在每个“岔路口”都能做出正确的选择，生活、事业可能达到了一个很高的高度；而有的人一路选错，最后可能碌碌无为。如果人生可以量化，那么如何才能在人生的岔路口做出正确的选择，让自己的人生“最优”呢？我们可以借助贪心算法，在每次面对人生岔路口的时候，都做出当下看起来最优的选择，期望这一组局部最优选择可以使得我们的人生达到全局“最优”。

但是，贪心算法并不一定能得到最优解。那么，有没有其他办法能得到最优解呢？2004年，著名的电影《蝴蝶效应》上映，该部电影讲的就是主人公为了达到自己的目标，一直通过回溯的方法，回到童年，在关键的人生岔路口，重新做选择。当然，这只是科幻电影，我们的人生是无法倒退的，但这其中蕴含的思想其实就是回溯算法。回溯算法一般用到与“搜索”有关的问题上。不过这里说的搜索，并不是狭义地指图的搜索，而是在一组可能的解中搜索满足期望的解。回溯的处理思想有点类似枚举（或穷举）。

枚举所有的解，找出其中满足期望的解。为了有规律地枚举所有可能的解，避免遗漏和重复，我们把问题求解的过程分为多个阶段。每个阶段都会面对一个“岔路口”，我们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时候（不符合期望的解），就回退到上一个“岔路口”，另选一种走法继续走。

— 02 —

八皇后问题

我们来看一个有关回溯的经典例子：八皇后问题，以进一步解释回溯算法思想。有一个8×8的棋盘，我们往里放 8 个棋子（皇后），要求每个棋子所在的行、列、对角线都不能有另外一个棋子。如图1所示，左侧图是符合要求的放法，右侧图是不符合要求的放法。

八皇后问题就是期望找到所有满足这种要求的放棋子方式。我们把求解这个问题的过程划分成8个阶段：在第1行放置棋子、在第2行放置棋子、在第3行放置棋子……在第8行放置棋子。在放置的过程中，我们不停地检查当前的放法是否满足要求。如果满足，则跳到下一行继续放置棋子；如果不满足，就换一种放法，继续尝试。回溯算法比较适合用递归代码实现。

（1）八皇后问题中符合要求的放法和不符合要求的放法

八皇后问题的递归代码实现如下所示:

int[] result = new int[8];//下标表示行，值表示皇后存储在哪一列public void cal8queens(int row) { //调用方式：cal8queens(0);  if (row == 8) { //8个棋子都放置好了，输出结果 printQueens(result); return; //8行棋子都放好了，已经没法再往下递归了，因此返回 }  for (int column = 0; column < 8; ++column) { //每一行都有8种放法    if (isOk(row, column)) { //有些放法不满足要求      result[row] = column; //第row行的棋子放到了column列      cal8queens(row+1); //考察下一行 } }}//判断row行、column列放置是否合适private boolean isOk(int row, int column) { int leftup = column - 1, rightup = column + 1;  for (int i = row-1; i >= 0; --i) { //逐行往上考察每一行    if (result[i] == column) return false; //第i行、第column列有棋子    if (leftup >= 0) { //考察左上对角线：第i行、第leftup列有棋子吗？ if (result[i] == leftup) return false; }    if (rightup < 8) { //考察右上对角线：第i行、第rightup列有棋子吗？ if (result[i] == rightup) return false; } --leftup; ++rightup; } return true;}private void printQueens(int[] result) { //输出一个二维矩阵 for (int row = 0; row < 8; ++row) { for (int column = 0; column < 8; ++column) { if (result[row] == column) System.out.print("Q "); else System.out.print("* "); } System.out.println(); } System.out.println();}

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0-1 背包问题

0-1背包是一个非常经典的算法问题，很多场景可以抽象成这个问题模型。这个问题的经典解法是动态规划，不过还有一种简单但没有那么高效的解法，就是本文讲的回溯算法。

如何用回溯法解决这个问题。

0-1背包问题有很多变体，这里介绍一种比较基础的：假设有一个背包，可承载的最大重量是Wkg。现在有n个物品，每个物品的重量不等，并且不可分割。我们期望选择几件物品装到背包中。在不超过背包最大承载重量的前提下，如何让背包中的物品总重量最大？实际上，在贪心算法时，我们已经讲过一个背包问题了。

不过，那里讲的物品（豆子）是可以分割的，允许将某个物品的一部分装到背包中。对于本文讲的这个背包问题，物品是不可分割的，要么装要么不装，因此称为0-1背包问题。显然，这个问题已经无法通过贪心算法来解决了。现在我们来看一下，如何用回溯算法来解决。对于每个物品，都有两种选择：装进背包或者不装进背包。对于n个物品，总的装法就有2n种，从这些装法中选出总重量小于或等于Wkg并且最接近Wkg的。

不过，如何才能不重复地穷举出这2n种装法呢？这里就可以用到回溯算法思想。我们把物品依次排列，整个问题的求解过程就分解为了n个阶段，每个阶段对应一个物品怎么选择。首先，对第一个物品进行处理，选择装进去或者不装进去，然后递归地处理剩下的物品。对于该问题的处理思路，描述起来很费劲，我们直接看如下所示的代码。

这里用到了搜索剪枝的技巧，当发现已经选择的物品的总重量超过Wkg之后，我们就停止继续探测剩下的物品。

public int maxW = Integer.MIN_VALUE; //存储背包中物品总重量的最大值//cw表示当前已经装进去的物品的重量和；i表示考察到哪个物品了//w表示背包可以承载的最大重量；items表示每个物品的重量；n表示物品个数//假设背包可承受重量为100，物品个数为10，物品重量存储在数组a中，//那么可以这样调用函数：f(0, 0, a, 10, 100)public void f(int i, int cw, int[] items, int n, int w) {  // cw==w表示装满了；i==n表示已经考察完所有的物品 if (cw == w || i == n) { if (cw > maxW) maxW = cw; return; } f(i+1, cw, items, n, w); if (cw + items[i] <= w) { //没有超过背包可以承载的最大重量 f(i+1,cw + items[i], items, n, w); }}

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正则表达式匹配问题

讲完了0-1背包问题，我们再来看另外一个例子：正则表达式匹配。对于软件工程师，在平时的开发中，或多或少用过正则表达式。其实，正则表达式里非常重要的一种算法思想就是回溯。在正则表达式中，最重要的就是通配符。利用通配符可以表达非常丰富的语义。为了方便讲解，我们对正则表达式稍加简化，假设正则表达式中只包含“*”和“?”这两种通配符，并且对这两个通配符的语义稍微做些改变。

其中，“*”匹配任意多个（大于或等于0个）任意字符，“?”匹配0个或者1个任意字符。基于以上背景假设，我们来探讨一下，如何用回溯算法判断一个给定的文本能否与给定的正则表达式匹配？我们依次考察正则表达式中的每个字符，如果是非通配符，就直接与文本串中的字符进行匹配，如果相同，则继续往下处理；如果不同，则回溯。

如果遇到的是特殊字符，就有多种处理方式，也就是所谓的“岔路口”，如“*”可以匹配任意个文本串中的字符，我们就先随意地选择一种匹配方案，然后继续考察剩下的字符。

如果中途发现无法继续匹配下去，就再回到这个“岔路口”，重新选择一种匹配方案，然后继续匹配剩下的字符。我们将上述处理过程“翻译”成代码，如下所示。

public class Pattern { private boolean matched = false;  private char[] pattern; //正则表达式  private int plen; //正则表达式的长度 public Pattern(char[] pattern, int plen) { this.pattern = pattern; this.plen = plen; }  public boolean match(char[] text, int tlen) { //文本串及其长度 matched = false rmatch(0, 0, text, tlen); return matched; } private void rmatch(int ti, int pj, char[] text, int tlen) {    if (matched) return; //如果已经匹配，就不要继续递归了    if (pj == plen) { //正则表达式到结尾了      if (ti == tlen) matched = true; //文本串也到结尾了 return; }    if (pattern[pj] == '*') { //*匹配任意个字符 for (int k = 0; k <= tlen-ti; ++k) { rmatch(ti+k, pj+1, text, tlen); }    } else if (pattern[pj] == '?') { //?匹配0个或者1个字符 rmatch(ti, pj+1, text, tlen); rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen);    } else if (ti < tlen && pattern[pj] == text[ti]) { //纯字符匹配才行 rmatch(ti+1, pj+1, text, tlen); } }}

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内容小结

回溯算法思想非常简单，大部分情况下，用来解决广义的搜索问题，也就是从一组可能的解中选出一个满足要求的解。回溯算法非常适合用递归来实现，在实现的过程中，剪枝操作是提高搜索效率的一种技巧。利用剪枝，我们可以提前终止搜索不能满足要求的解的过程。

尽管回溯算法的原理非常简单，但可以解决很多问题，如深度优先搜索、八皇后、0-1背包、图的着色、旅行商、数独、求全排列和正则表达式匹配等。如果读者感兴趣，那么可以自己研究一下这些经典的问题，最好还能用代码实现。对于这几个问题，如果读者都能顺利地用代码实现，那么说明读者基本掌握了回溯算法。

本文摘自《数据结构与算法之美》，如果你想了解的更多，请查看本书。

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