勾股测望论

勾股测望论

勾股，所谓矩也。古人执数寸之矩，而日月运行，朓朒迟速之变，山谿之高深广逺，凡目力所及，无不可知，盖不能逃乎数也。勾股之法，横为勾，縦为股，斜为弦。勾股。求弦，勾股自乗相并为实，平方开之，得弦勾股。求股，勾弦自乗相减为实，平方开之，得股。股弦。求勾同法。盖一弦实蔵一勾一股之实，一勾一股之实，并得一弦实也。数非两不行，因勾股而得弦，因股弦而得勾，因勾弦而得股。三者之中，其两者显而可知，其一者蔵而不可知。因两以得三，此勾股法之可通者也。至如逺近可知，而高下不可知，如卑则塔影，高则日影之?，塔影之在地者可量，而人足可以至于戴日之下，而日与塔高低之数不可知，则是有勾而无股弦。三者缺其二，数不可起，而勾股之法穷矣。于是有立表之法，盖以小勾股求大勾股也。小勾股每一寸之勾为股长几何，则大勾股每一尺之勾其长几何可知矣。此以人目与表与所望之高三相直而知之也。人目至表，小弦也。人目至所望之高，大弦也。又法，表为小股，其高几何，与至塔下之数相乗，以小勾除之，则得塔高。盖横之则为小股至塔之积，縦之则为小勾至塔顶之积，縦横之数恰同，是变勾以为股，因横而得縦者也。勾、股、弦三者有一可知，则立表之法可得而用。若其高与逺之数皆不可知，而但目力可及，如隔海望山之?，则勾、股、弦三者无一可知，而立表之法又穷矣。于是有重表之法。盖两表相去几何，为影差者几何？因其差以求勾股，亦可得矣。立表者，以通勾股之穷也；重表者，以通一表之穷也。其实重表一表也，一表勾股也，无二法也。